第56课时—平面的基本性质

1、咼三数学第轮复习讲义(56)2004.11.29平面的基本性质.复习目标：掌握平面的基本性质， 会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.课前预习:1. A、B、C表示不冋的点，a、l表示不冋的直线，、表示不冋的平面，下列推理不正确的是( )(A) A l,A,B l,Bl(B)A,A,B,BAB直线(C)l,AlA(D) A,B,C,代 B,C且A,B,C不共线与重合选C2. 个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ,腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()1 v22厂厂(A)(B)1(C)1-2(D)222 22选D3. 对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直

2、线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交.其中，使三条直线共面的充分条件有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个选B4. 空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定个平面.答案：7个.三.例题分析：例1.如图，在四边形 ABCD中，已知 AB/ CD，直线 AB, BC, AD, DC分别与平面a 相交于点E, G, H, F .求证：E, F , G, H四点必定共线.解： AB / CD, AB, CD确定一个平面 3 .又T AB a = E, AB 3 ， E a,

3、E 3,即E为平面a与3的一个公共点.同理可证F , G, H均为平面a与3的公共点.两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线, E, F, G, H四点必定共线.2，即先证明这些点都是某说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理 二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例2 .已知：a, b, c, d是不共点且两两相交的四条直线，求证： a, b, c, d共面.证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a, b, c相交于一点A,但A d,如图1.直线d和A确定一个平面a .又设直线d与a, b, c分别相交于E, F ,则 A, E, F,

4、 G a .T A, E a , A, E a, a a .同理可证b a , c a . a , b , c , d在同一平面a内.2。当四条直线中任何三条都不共点时，如图这四条直线两两相交，则设相交直线aiA/a /卜、da EF b G*cG ,图1/、H Kd /alb c图22.b确定一个平面a .设直线c与a , b分别交于点H , K,贝y H , Ka.又 H , K c , c a .同理可证d a . a , b , c , d四条直线在同一平面 a内.说明：证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：首先根据公理 3或推论，由题给条 件中的部分线（或点）确定一个平面，然后

5、再根据公理 1证明其余的线（或点）均在这个平面 内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中 每一句话的含义.例3.如图，点A, B, C确定的平面与点 D, E, F确定的平面相交于直线 I，且直线AB与I相交于点G,直线EF与I相交于点H，试作出平面 ABD与平面CEF的交线.解：如图3,在平面ABC内，连结AB，与I相交于点G,则G 平面DEF ;在平面DEF内，连结 DG ,与EF相交于点M，贝U M 平面 ABD，且M 平面CEF.所以,平面ABD与平面CEF的交线上.同理,平面ABD与平面CEF的交线上.连结例4.如图，已知平面a , 3 ,且aC

6、D3，求证：AB , CD, I共点证明梯形 ABCD 中，AD / BC, AB, CD是梯形ABCD的两条腰.AB, CD必定相交于一点,可作出点N, N在G设 AB CD = M .又 T AB a , CD 3 ， M a，且 M 3 .二 M a 3 又T a 3 = I, M I,即AB , CD , I共点.说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2,这与证明多点共线是一样的.四课后作业：班级学号姓名1.在空间四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E,F,G,H ,如果EF与(A) M 一定在直线(B) M 一定在直线(C) M可能在直线(D) M既不在直线 选A2

7、.有下列命题：AC上BD上AC上，也可能在直线 BD上AC上，也不在直线 BD上HG相交于一点M，那么()空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点中，其中任何三点不共线，则这 四点不共面；用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；垂直于同一直线的两直线平 行两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 .答案：3 .一个平面把空间分成 _2_部分，两个平面把空间最多分成_4_部分，三个平面把空间最多分成_8_部分.4四边形ABCD中，AB BC CD DA BD 1，则成为空间四面体时，AC的取值范围是.答案：（0,、3）.5.如图，P、Q、R分别是四面体 ABCD的棱AB, AC,

8、AD上的点，若直线 PQ与直线BC的交点为 M，直线RQ与直线DC的交点为N,直线PR与直线DB的交点为L,试证明M ,N, L共线.证明：易证 M , N , L 平面PQR,且M , N ,所以M , N, L 平面PQR 平面DBCD，即 M,6.如图,P、Q、R分别是正方体ABCD AiBiCiDi 的棱 AAi, BBi, DD 1 上的三点，试作AB出过P, Q, R三点的截面图.作法 连接PQ,并延长之交 AiBi的延长线于T;连接PR,并延长之交 AiDi的延长线于S;连接ST交CiDi、B1C1分别于M , N，则线段MN为平面PQR与面A1B1C1D1的交线.连接RM, Q

9、N，则线段 RM, QN分别是平面PQR与面DCCiDi,面BCCiBi的交线.得到的五边形 PQNMR即为所求的截面图（如图4).说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理i.解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点.有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识.壮/ 1 *Ci 卜i* jQ/CSAiBT7如图，在平行六面体 求证：ABCD AiBiCiDi 的中，AiCiBi Di = Oi, BiD 平面 AiBCi = P.证明T BiDT BiDP BOi.在平行六面体ABCD AiBiCiDi 中,平面 AiBCi = P,. P平面 AiBCi, P BiD .平面 BBiDiD.A P平面 AiBCi, 且 P 平面 P 平面 AiBCi 平面 BBiDiD,CT AiCi BiDi = Oi , AiCi 平面 AiB