第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理

1、精选文档可编辑第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅涅劳斯定理定理1若直线I不经过？ABC的顶点，并且与？ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、 Q、 R，则BPPCCQ ARQA?RB= 1证明：设？?、？?、？?分别是A、B、C到直线I的垂线的长度，则:BP CQ AR ? ? = 一? ?一 ?一 PC QA RB? ? ?注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例1若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是/ AC的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF /CE。【解析】因为在？EBC中，作/B的平分线BH ,贝/ EBC=

2、/ ACK / HB(=/ ACE / HBG / HCB= / AC& / HCB= 90 ,即 BH 丄CE,所以？EBC为等腰三角形，作 BC上的高EP,则：CK= EP,对于?ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有:CD AE KFKFEKCKEPBPBK? ? =1 ，于 = = = = = 一DA EK FCFCAEACACBCBEKF BK即*=晁，根据分比定理有:KF BKKC KE 所以?FKB ? ?CKE，所以 BF /CE。例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与 A、B、C、D和A1 , B1 , q , D1，试证:AC ADA1C1 A1 D1BC : BD

3、 = B1 C1 : B1 D1【解析】若AD /A1D1，结论显然成立；若 AD与A1D1相交于点L,则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1BL可得:AD ? LD1 ?A1K = LC ? AK ?AC = LD A1D1 AK = 1，AC A1K LC1 =1匹申尊二1， LC B1C1 BKBDLD11,将上面四个式子相乘，可得:AD?聖翠边=1 即:AC BD A1D1 B1C1AC ADA1C1 B1 D1BC BDB1C1 B1C1定理2设P、Q、R分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点， 并且P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为 0或BP C

4、Q AR这时右pc ?qa ?rb = i，求证P、Q、R三点共线。BP cq arbp cq ar证明：设直线PQ与直线AB交于R,于是由定理I得: ? ? = I,又因为pc?ca?aB =AR AR则B=希，由于在同一直线上 P、Q、R三点中，位于？ABC边上的点的个数也为 0或因此R与R或者同在AB线段上，或者同在 AB的延长线上；若 R与R同在AB线段上,R与R必定重合，不然的话，设 AR ?R；这时AB - AR ? ?R即BR AR 这与AR= AR矛盾，类似地可证得当R与R同在AB的延长线上时，R与R也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。再相乘;注：此定理常用于证明三点共线的问

5、题，且常需要多次使用例3点P位于?ABC的外接圆上；Ai、Bi、Ci是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点 Ai、Bi、Ci共线。【解析】易得:BA BP?cos Z PBC CBi CAi - - CP?cos Z PCB ABiCP?cos Z PCAAP?cos Z PACACiBCiAP?cos Z PABBP?cos Z PBA，将上面三丨式子相乘，且因为PBCA1CAAC”?話=1，根据梅涅劳斯定理可知 Ai、BD，将上面的式子相乘可。一，小 BA i CBiZ PAB= Z PCB Z PC/+ Z PBA= I80 ,可得胡？崙Bi、Ci三点共线。例4设不等腰?ABC

6、的内切圆在三边 BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,贝U EF与BC, FD与CA, DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。【解析】?ABC被直线XFE所截，由定理i可得:XC ?ea ?fb = i，BX FBCY DC AZ又因为AE = AF，代入上式可得XC = CE，同理可得YA = AF，ZbBX cy AZ得：苏？云？去=i，又因为X、Y、Z丢不在?ABC的边上，由定理 2可得X、Y、Z三点共XC YA ZB线。例5已知直线AAi ,BBi ,CCi相交于O ,直线AB和A1B1的交点为 C , 直线BC和BiCi的交点为A2，直线AC和AiCi的交点为B2，试证A?、

7、 B2、C三点共线。【解析】设A2、B2、C2分别是直线 BC和BiCi，AC和AiG，AB和AiBi的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（Ai，Bi，C2），OBC和（Bi，Ci，A2），OAC和（Ai，Ci，B2）应用梅涅劳斯定理有:AAi?OBi?BC2= iOAi BBi AC2OCi?BBi?CA2= iCCi OBi BA2竺？竺进=iAAi OCi CB2将上面的三个式子相乘,可得:BC2 ?ab2 ca2 _CB2 ?瓦=i,由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2 共线。例6在一条直线上取点 E、C、A，在另一条上取点 B、F、D，记直线 AB和ED，CD和AF，EF和B

8、C的交点依次为 L、MN，证明：L、M、N共线。用梅涅劳斯疋理于五组三兀点r亠 UE VL(L, D,E), (A, M,F), (B, C,N), (A, C,E), (B, D, F)，则有 VE ?WL【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对?UVW，应WB UD ?VB WD=i，将上面五个i，UF式子相乘可得：生?WM ?UN = 1 占 L、M、N 共线。 WL UM VN，点 Lvin 共线。WDVAUFWMUN WC VBWA UCVE =i ? ? =i ? ?=i ? ?UDWA VF YMVN UC WBVA WC UE、塞瓦定理AP、B

9、Q、CR三线共点的充定理：设P、Q、R分别是?ABC的BC、CA、AB边上的点，则要条件是?CQ ?AR = 1。PC QA RB证明：先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点BPS?abpM，则对爲S?BMP _ S?ABMS?CMPS?acm 同理CQQAS?BCMS?ABM AR = S?acmRBS?bcm ，以上三式相乘,BPCQAR得：PC?Q?RB= 1，再证充分性：右BP?CQ?AR =PC QA RB1，设与BQ相交于 M，且直线 CM交AB于R；由塞瓦定理有:APBP?CQ?A =PC QA R B1 ,约翰斯:ARARRB,因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP

10、、BQ、CR相交于一点 M。C例8在锐角?ABC中，/C勺角平分线交 AB于L,从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P,证明：CP丄AB。【解析】 作CK丄AB，下证CK、BM、AN三线共点,且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定am CN bk理即要证： 丽？届？尿=1，又因为MC= CN,即要证m AM BK，明：AK ? = 1，因为?AML ? ?AKC ?AM _ ALAK = Ac，AC ?BL =1，?BNL ? ?BKC ? NB= BC，即要证 AC?BC =1 ,根据三角形的角平分线定理可知:所以CK、BM、AN三线共点，且为 P点，

11、所以CP丄AB。例9设AD是?ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点,BP、CP 分别与 AC、AB 交于 E 和 F,则 / EDA： / FDA【解析】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于 M、N。欲证/ EDA= / FDA可以转化为证明 AM = AN，因为AD丄BC,故AM ae anMN /BC,可得?AME ? ?CDE, ?ANF ? ?BDF，所以石=毘,CD CE BDBD CE? ?DC EA AFBF，于是AMAE?CDAF?BD, AN = B厂,因为AD、BE、CF共点与P,根据塞瓦定理可得:AFFBAE?CD AF?BDX所以w所以 AM = AN,所以 / EDA= / FDA例10 在？ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、G，证明AC1 BA 1 CB1sin Z ACC sin Z BAA sin Z CBBC1B ?A?C ?B1A = sin ZCCB ?sin ZAAC ?sin ZB BA【解析】 如图对?ACCi和？BCCi应用正弦定理，可得AC1 _ cIC =sin Z ACC CCi sin ZB sin ZA ， Ci B = sin ZCCB，ACi sin Z ACC sin ZB Ci B =