直角三角形边与角的关系专题复习导学案课件

1、北师大版九年级下册教材北师大版九年级下册教材 复习导航复习导航 直角三角形的边角关系是中考的重点内容 之一，在中考题中占有较高的比例，设计 的知识点不是很多，一是对三角函数概念 和特殊角的三角函数值的考察，主要以填 空选择形式出现，二是应用三角函数解决 实际问题，主要以解答题形式出现。复习 时，要正确理解三角函数的概念，把握本 质，做到“脑中有图，图中有式“，数形 结合。 http:/ 知识回顾知识回顾 c a c b 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 1 1、锐角三角函数：、锐角三角函数： 在在rtrtabcabc中，中，c c是直角，如图是直角，如图 （1 1）正弦：）正弦：a a的的_

2、与与_的比叫做的比叫做a a的正弦，记的正弦，记 作作sinasina， 即即sina= sina= _； （2 2）余弦：）余弦：a a的的_与与_的比叫做的比叫做a a的余弦，的余弦， 记记 作作cosacosa，即，即cosa=cosa=_； （3 3）正切：）正切：a a的的_与与_的比叫做的比叫做a a的正切，记的正切，记 作作 tanatana，即，即tana=tana=_； a b c a b c 对边对边斜边斜边 斜边斜边 对边对边 邻边邻边 邻边邻边 b a c a c b b a 相互交流相互交流,合作探究合作探究 1 1、直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：

3、（1）三边关系三边关系：_； （2）两锐角关系：两锐角关系：_； （3）边、角间的关系边、角间的关系sina=_；cosa=_cosa=_； tana=_tana=_ 2、同角三角函数关系：、同角三角函数关系： 平方关系：平方关系：sina+cosa=_； 3、互余两角的三角函数关系、互余两角的三角函数关系 sin( )=cosb; cosa=sin( ) ; tanatanb=( ) 4、锐角三角函数的范围锐角三角函数的范围：_sina_； _cosa_； tana_， 22 a b c a b c a a2 2b b2 2c c2 2 a a b b 90 90 ab 0 01 10 1

4、1 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 cos sin 60 角角 度度 三角函数三角函数 2 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4530 tan 填表填表: :已知一个角的三角函数值已知一个角的三角函数值, ,求这个角的度数求这个角的度数 ( (逆向思维逆向思维) ) a=a=a= a=a=a= a=a=a= 2 1 sina 2 1 cosa 3 3 tana 0 30 2 3 sina 0 60 2 2 cosa 0 30 3tana 2 2 sina 2 3 cosa 1tana 0 60 0 45 0 45 0 30 0 60 0 45 3 3、运用三角函数

5、解决与直角三角形有关的实际、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际 问题：问题： 仰角与俯角仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，：在进行测量时，从下往上看， 视线与水平线的夹角叫做视线与水平线的夹角叫做_角；从上往下看，角；从上往下看， 视线与水平线的夹角叫做视线与水平线的夹角叫做_角角.如图如图1. 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 仰仰 俯俯 铅铅 直直 线线 水平线水平线 视线视线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 l h tan 坡角与坡度：坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做_ 角，图角，图2中的中的 是坡角；坡面的是坡角；坡面的_高度高度h和和 _距离距离l的比

6、叫坡度。的比叫坡度。 即：即：i=_=_ 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 l h i 坡坡 铅直铅直 水平水平 方向角：方向角： 从指从指_方向或指方向或指_方向到目标方向所形成的方向到目标方向所形成的 小于小于_的角叫做的角叫做方向角方向角通常表通常表示示成北成北 （南）偏东（西）（南）偏东（西）度度. 提纲导学提纲导学,自主学习自主学习 30 45 b o a 东东西西 北北 南南 北北南南 90 4 5 4 3 d 5 4 c 5 5 b 5 3 、a 5 4 sincosab 5 4 5 4 cos )0(5,4 5 4 sin k k c a b kkcka c a a设， 1

7、1、（、（20102010年怀化市）在年怀化市）在rtabc中中c=90sina= 则则cosb的值等于（的值等于（ ）c 考点一：注重对锐角三角函数定义的考查考点一：注重对锐角三角函数定义的考查 a b c a b c 方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关系方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关系 方法二：定义法方法二：定义法 当堂训练当堂训练,巩固提高巩固提高 2.（济南）在（济南）在84的矩形网格中，每格小正方形的边长都的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是是1，若，若abc的三个顶点在图中相应的格点上，则的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanacb的值为（）的值为（） abcd

8、3 1 3 1 2 2 2 a 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题， 关键是掌握锐角三角函数的定义 3 4 tan;90 2534 22222 cd bd cbdc bccdbd 3 3、（2011江苏苏州）如图，在四边形江苏苏州）如图，在四边形abcd中，中， e、f分别是分别是ab、ad的中点，若的中点，若ef=2，bc=5， cd=3，则，则tanc 等于等于（ ） a. b. c. d. b 解：连接bd，e、f分别为ab、ad中点，bd=2ef=22=4 4、在、在abc中，中，c90，则，则sina+cosa的（的（ ） a.等于等于1 b.大于大于1 c.小于小于1

9、 d.不一定不一定 b 方法一：定义法方法一：定义法 1cossin cossin c b cosa c a sin aacba c ba c b c a aa a ， ， 方法二：特殊值法：方法二：特殊值法： 12 2 2 2 2 45cos45sin45 ， 令 a a b c a b c 5 5、如图、如图, ,在等腰直角三角形在等腰直角三角形abcabc中，中，c=90c=90，ac=6ac=6，d d是是acac上上 一点，若一点，若tandba ，求，求ad的长。的长。 c d a b 点拨：点拨：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知解三角函数题目最关键的是要构造

10、合适的直角三角形，把已知 角放在所构造的直角三角形中。本题已知角放在所构造的直角三角形中。本题已知tantandbadba ，所以可，所以可 以过点以过点d d作作dedeabab于于e e，把，把dbadba放于放于rtrtdbedbe中，然后根据正切函数中，然后根据正切函数 的定义，即可弄清的定义，即可弄清de与与be的长度关系，再结合等腰的长度关系，再结合等腰rt的性质，此的性质，此 题就不难解答了。题就不难解答了。 e 5 5 512 2222 dfafad 5 5 5 1 sin ad df 6 6（2010湖北省咸宁市湖北省咸宁市）如图，已知直如图，已知直l1l2l3l4相邻相邻

11、两条平行直线间的距离都是两条平行直线间的距离都是1，如果正方形，如果正方形abcd 的四个顶点分别在四条直线上，则的四个顶点分别在四条直线上，则sin=_。 ef 分析：分别作bel1，dfl1，垂足分别为e、f 易证：dfa aeb af=be=2 在rtdfa中由勾股定理得： 3d 2 3 c 2 2 b 2 1 、a 30 1 1、（2011湖北黄冈）湖北黄冈）cos30=（ ）c 考点二：注重对特殊角的三角函数值的考查考点二：注重对特殊角的三角函数值的考查 2 2、（、（20102010年怀化市）在年怀化市）在rtabc中中,c=90， sina= 则则a=_ 330sin223 2

12、1 0 2 3 3、（、（20201212年郴州市）年郴州市）计算：计算： 73 2 1 21-4解：原式 30 1 1、如图所示，某河堤的横断面是梯形、如图所示，某河堤的横断面是梯形abcd,bcadabcd,bcad， 迎水坡迎水坡abab长长1313米，且迎水坡米，且迎水坡abab的坡度为的坡度为12:512:5，d= d= 则背水坡则背水坡cdcd的长为的长为_米。米。 24 分析：分别作bead，cfad，垂足分别为e、f e f 1313beaeab )0( ,5,12 , 5 12 22 x xxaexbe ae be aebrt 根据勾股定理 设 中在 12, 1bex 由四边

13、形befc为矩形得cf=be=12米 （米）；，中在24cf2cd30d90cfdcfdrt 考点三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用考点三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用 （海里）中在 （海里），方法一： 36 2 3 1260sinpbpcpcbrt 1226babp30bpapab （米）中在 米方法二：设 x x ac ac pc pacacprt x 3 30tan ,tan pc 2 2、如图，、如图，一艘渔船以一艘渔船以6海里海里/时的速度至西向东航行，小时的速度至西向东航行，小 岛岛p周围周围 海里内有暗礁，渔船在海里内有暗礁，渔船在a a处，测得小岛处，测得小岛

14、p p在在 北偏东北偏东60方向上，方向上，航行航行2小时后在小时后在b处处，测得测得小岛小岛p在在 北偏东北偏东30方方向上，向上，如果渔船不改变航向有没有触礁危如果渔船不改变航向有没有触礁危 险？险？ 海里，解得， （海里）中在 36, 36:12 3 3 312 3 3 60tan ,tan pcxxxabbcac x x bc bc pc pbcacprt 66 c 解：过点解：过点p作作pcab，交，交ab延长线于延长线于c点，根据垂线段最短知点，根据垂线段最短知pc就是最近距离就是最近距离 危险。渔船不改变航向有触礁,6636 3 3、 如图，某货船以如图，某货船以2020海里海里

15、/ /时的速度将一批重要物资由时的速度将一批重要物资由a a处运处运 往正西方向的往正西方向的b b处，经处，经1616时的航行到达，到达后必须立即卸货，时的航行到达，到达后必须立即卸货， 此时接到气象部门通知，一台风中心正以此时接到气象部门通知，一台风中心正以4040海里海里/ /时的速度由时的速度由a a 向北偏西向北偏西6060方向移动，距台风中心方向移动，距台风中心200200海里的圆形区域（包括海里的圆形区域（包括 边界）均会受到影响。边界）均会受到影响。 （1 1）问）问b b处是否会受到影响？请说明理由。处是否会受到影响？请说明理由。 （2 2）为避免受到台风的影响，该船应在多长

16、时间内卸完货物）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物? ? 点拨：点拨：台风中心在台风中心在acac上移动，要知道上移动，要知道b b处是否处是否 受影响，只要求出受影响，只要求出b b到到acac的最短距离并比较这的最短距离并比较这 个最短距离与个最短距离与200200的关系，若小于或等于的关系，若小于或等于200200 海里则受影响，若大于海里则受影响，若大于200200海里则不受影响。海里则不受影响。 b处会受到影响处会受到影响 （2 2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台）要使卸货过程不受台风影响，就应在台 风中心从出发到第一次到达距风中心从出发到第一次到达距b200b20

17、0海里的这海里的这 段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直 角三角形边角关系，此题就不难得到解决。角三角形边角关系，此题就不难得到解决。 该船应在该船应在3.8时内卸完货物时内卸完货物。 c 北北 西西 b a 1：应用三角函数解决实际问题一般是把问题转化成如图所示的：应用三角函数解决实际问题一般是把问题转化成如图所示的 双直角三角形双直角三角形 解题思路：解题思路： 数学模型数学模型简单实际问题简单实际问题 双直角三角形双直角三角形 构建构建 解解 双直角三角形的双直角三角形的公共边公共边是解决问题的关键是解决问题的关键;方程方程是解决问题的有是解决问题

18、的有 效方法。效方法。 5 4 d 5 3 c 4 3 b 3 4 、a 5 4 1、（2010年怀化市）在rtabc中c=90sina= 则tanb的值等于（ ） 2、（2011山东烟台）如果山东烟台）如果abc中，中，sina=cosb= ，则下列最，则下列最 确切的结论是（确切的结论是（ ） a. abc是直角三角形是直角三角形 b. abc是等腰三角形是等腰三角形 c. abc是等腰直角三角形是等腰直角三角形 d. abc是锐角三角形是锐角三角形 3 3、(20011江苏镇江江苏镇江)的补角是的补角是120,则则=_,sin=_. 4 4、（、（2009沈阳市）如图，市政府准备修建一座高沈阳市）如图，市政府准备修建一座高abab6m的过街天桥，已知的过街天桥，已知 天桥的坡面天桥的坡面acac与地面与地面bcbc的夹角的夹角acbacb的正弦值为的正弦值为0.60