利用晶体建模实例理解晶体对称元素和对称操作 -final

1、利用晶体建模实例理解晶体对称元素和对称操作任若静，陈巧，彭彧，施洪龙*(中央民族大学 理学院，北京，100081)摘要：晶体学是材料科学、物理学、化学、矿物学、生物学等诸多学科的先导性学科在晶体学教学中，四种宏观对称元素和三种微观对称元素是“教”与“学”的重点和难点，它要求学生有较好的立体感和空间想象能力，但大多数教材、课件仍以二维图像的形式进行讲解本文将利用 CrystalMaker 晶体学软件通过简单的晶体建模就能实现这些对称元素的随堂演示，课后学生也可以亲自动手练习，有助于学生对晶体对称元素的深入理解该教学方法已在笔者多年的教学实践中取得较好的反响关键词：晶体学软件；对称元素；对称操作；

2、晶体学中图分类号：O711；文献标识码：A；文章编号：1000-0712晶体学是一门以确定固体中原子或离子在三维空间中的排列方式为目的的实验科学，主要研究晶体的形成、晶体形貌、晶体结构，及其物理化学性质规律的学科，已成为材料科学、物理学、化学、矿物学、生物学等诸多学科的基础性学科目前，国内各高校都已开设相关的专业课，比如，固体物理、材料物理、材料科学基础、结晶学与矿物学、X-射线晶体学等课程显然，学生对晶体学相关知识的深入理解是学好这些专业课的前提在晶体学中，晶体对称元素是描述晶体结构的主要结构参数，包括四种宏观对称元素(对称中心或反演中心、镜面、旋转轴、旋转反演轴)和三种微观对称元素(平移轴

3、、螺旋轴、滑移面)1-5对这些对称元素的理解要求学生有较好的立体感和空间想象能力虽然，国内外都有一些知名的晶体学网站6、课件以动画的形式生动、形象地介绍晶体对称元素，但大多数教材、课件仍以二维图像的形式进行讲解7-8学生仅从课本或课件的描述进行学习而不动手操作，往往会碰到难以理解、难以想象的困难目前，虽然有一些简单的晶体结构模型可以用于晶体教学的简单演示，但还没有有关晶体对称元素的教学器材以供教师或学生动手操作为此，我们基于一些常见的晶体学软件设计了一些晶体对称操作的实验，以供教师随堂演示或学生的课后练习收稿日期：2015-01-12；修回稿日期：2015-03-16基金项目：中央高校基本科研

4、业务费专项资金资助(2014MDLXYQN09)；2012 年度中央民族大学应用物理学专业综合改革试点项目；北京市大学生科学研究与创业行动计划(BEIJ2014110004，BEIJ201 5110022，BEIJ2015110023)；中央民族大学本科生研究训练计划(URTP2014110037)作者简介：任若静（1993），女，天津市，本科生，E-mail：R建模方法CrystalMaker9是一套比较常用的晶体及分子结构可视化软件，其功能全面、界面友好、操作简单、能全方位观察晶体的三维结构，是晶体教学和结构分析较为理想的辅助工具在 CrystalM

5、aker 软件中进行晶体建模实现对称元素的三维可视化操作，其典型步骤如下：(1) 晶体建模：打开 CrystalMaker 软件，选择“File/New Crystal”菜单新建晶体结构文件，在弹出窗口中设置空间群、晶格常数和原子坐标(2) 设置观察方向：可使用快捷键“Ctrl+D”设置观察方向，也可以用旋转工具旋转晶体进行实时观察(3) 其它设置：为便于观察，我们可以把不相干的原子隐藏( 选中不相干原子，点击“Selection/Hide/Selection”菜单，或快捷键 Ctrl+J)，显示原子标记(选择菜单“Model/Model Options”，在弹出框中设置标记类型 Type=A

6、toms Number)，或者更改选中原子的颜色(选择菜单“Selection/Atoms/Colour”)1. 实例理解晶体对称元素本节我们将以实例的形式具体介绍反演中心、镜面、滑移面、旋转轴、旋转反演轴、螺旋轴六种对称元素2.1 反演中心反演中心是一个几何点，操作前后两原子位于同一直线、等距反向为理解该对称元素的特征，我们选用空间群P 1和P 1进行比较分析，建模参数如表 1 所示，所得结构如图 1(A-B)所示(注：表中数据并非硅的真实结构，而是为便于理解而假设的参数，可自行设置)表 1 晶体结构建模参数：反演中心研究对象反演中心实验目的理解反演操作前后单胞内原子的分布特征空间群P 1(

7、1)P 1(2)晶格常数a = 3 , b = 4 , c = 5 a = 3 , b = 4 , c = 5 原子坐标Si(0.2, 0.3, 0.7)Si(0.2, 0.3, 0.7)从图 1 可以看出， P 1空间群在单胞中只显示一个原子，因为该空间群只有 1 重旋转轴；如果选用P 1空间群，在相同的建模参数下，每个单胞中有两个原子其中，原子“2”就是由原子“1”通过中心对称操作(或反演操作)得到的，两者相对于反演中心等距、反向为提高晶体建模的便捷性，在接下来的晶体建模中仅通过改变空间群来考察相应的对称元素，保持晶格常数、原子种类和原子坐标不变设置空间群的方法是：点击“Edit/ Str

8、ucture”菜单，在弹出的窗口中设置空间群即可图 1 经反演操作后单胞内原子的分布特征：(A) P 1；(B) P 12.2 镜面与滑移面镜面：操作前后两原子位于镜面同一法向的两侧，且等距反向滑移面：原子先经镜面反映，之后沿垂直于镜面法向的方向平移特定单位的距离该部分主要考察镜面和滑移面操作的异同，为此我们选用空间群P m(6)和P c(7)进行比较分析由于所考察的对称元素m和c的法向均平行于010方向，所以从100或001方向才能较好地观察到这些对称元素的操作特征，细节请看图 2图 2 镜面与滑移面的异同：(A) 利用空间群P m介绍镜面操作；(B) 利用空间群P c介绍滑移面操作从图 2

9、(A)中可以看出，原子“1”通过镜面操作后得到原子“2”所以，单胞内共有 2 个原子且镜面对称；从图 2(B)中可以看出，原子“2”经镜面操作后平移 1/2 个单位得到原子“1”；原子“1”经镜面操作后再平移 1/2 个单位就能得到原子“10”，即原子“2”的等效位置所以，经c滑移面操作能得到 3 个原子2.3 旋转轴与旋转反演轴旋转轴：旋转轴是一几何直线，初始原子绕轴依次旋转 = 2 ，经 次操作后返回到最初位置旋转反演轴：旋转反演操作是一几何直线，是旋转和反演的联合操作原子旋转后再进行反演完成一次完整的联合操作，依次经 次完整的联合操作后返回到最初位置为了理解与区分旋转轴和旋转反演轴，我们

10、选用P 3(143)、P 3(147)、P 6(168)和P 6(174)四个空间群，对称轴都为001其中，通过P 3和P 6空间群的建模来理解旋转操作的特征；通过P 3和P 3，以及P 6与P 6的对比来理解旋转反演操作三重旋转轴(图 3A)，原子“2”经120旋转得到原子“6”，该原子再旋转120后得到原子“13”，最后原子“13”旋转120就能回到最初位置所以，经 重旋转操作后会生成 个原子，这些原子均位于同一平面上图 3 旋转轴与旋转反演轴的异同：(A-B) 利用空间群P 3和P 3介绍三重旋转轴和三重旋转反演轴的特征；(C-D)利用空间群P 6和P 6比较介绍六重旋转轴和六重旋转反演

11、轴三重旋转反演轴(图 3B),初始原子“2”绕001轴旋转120(位置 9)后反演得到原子“24”完成一次完整的联合操作依此类推，经过 6 次联合操作后回到初始位置，其操作路径为：所以，经三重旋转反演操作后会生成 6 个原子(不是 11 个原子)，其中三个原子(2、9、25)位于垂直于对称轴的同一平面上，另三个原子位于与之平行的另一平面上由于两平面上的原子存在反演对称性，故三重旋转反演可视为是经过三重旋转操作后再进行反演操作来得到即，3 =31如果从平行于3旋转反演轴的方向观察，6 个原子看似六重对称，很容易与六次轴混淆在此，为加深理解我们还选用P 6和P 6进行比较分析六次轴(图 3C)，原

12、子“2”旋转60得到原子“4”，并依次操作六次回到原来位置所以，六次旋转操作能得到 6 个原子，且都在同一平面上，这与3有着本质的区别类似地，六重旋转反演6(图 3D)经六次旋转和反演的联合操作后能回到原来位置，其操作路径是：经六重旋转反演操作可以得到 6 个原子，其中三个三重对称的原子(2、9、25)位于同一平面，另三个原子位于另外一个平面与三重旋转反演不同的是，两平面内的原子，不是具有反演特征，而是存在镜面对称所以，六重旋转反演可以看成是三重旋转和镜面操作的组合，即6 = 3/m2.4 螺旋轴螺旋轴是一几何直线，初始原子绕螺旋轴旋转后沿轴线方向平移一定单位，经 次操作后回到原来位置在此，选

13、用空间群P 61和P 65进行比较理解图 4 螺旋对称操作的顶视图和侧视图：(A) P 61；(B) P 6561轴，如图 4(A)所示，原子“2”旋转60沿001方向平移 1/6 个单位得到原子“4”，完成第一次完整操作接下来依次操作 6 次后回到原子“56”的位置，即原子“2”的等效位置，其操作路径如下：所以，经61操作后生成六个原子，这些原子都不在同一平面上，而是沿001方向相互错开 1/6 个单位，呈螺旋状类似地，65螺旋轴(图 4B)是原子“9”旋转300后沿001方向平移 1/6 个单位得到原子“4”，完成一次完整操作依此类推，依次操作 6 次就能到达原子“63”的位置，即原子“9

14、”的等效位置，操作路径如下：细心的读者可能会发现，65螺旋轴，右旋300和左旋60是等效的所以，我们既可以用右旋来理解螺旋轴，也可以用左旋来操作2. 结论在晶体学的“教”与“学”的过程中，我们可以利用 CrystalMaker 软件进行简单的晶体建模教师可以随堂进行对称操作，来形象生动地展示晶体对称特征，提高学生的理解能力学生课后也可以亲自动手建模，加深对所学知识的理解这在很大程度上克服了晶体学“教”与“学”的脱节问题该方法不局限于 CrystalMaker 软件，也可使用其它晶体学软件进行建模教学参考文献1 Tilley, R.J.DCrystals and crystal structur

15、eMWest Sussex：John Wiley & Sons Inc，2006：672 黄孝瑛材料微观结构的电子显微学分析北京：冶金工业出版社，2008：103 施洪龙，张谷令射线粉末衍射和电子衍射常用实验技术与数据分析北京：中央民族出版社，2014：204 Powell, R.CSymmetry, group theory, and the physical properties of crystalsMNew York：Springer，2010：105 钱逸泰，结晶化学导论合肥：中国科技大学出版社，2005：286 r.it/sites/default

16、/files/abc/abc/abc.htm7 秦善，晶体学基础北京：北京大学出版社，2006：208 Yoshio, W., Eiihiro, M., Kozo, S. X-ray diffraction crystallographyM. New York: Springer, 2011: 2199 /crystalmakerComprehension of crystal symmetry and symmetric operation based on the CrysalMaker softwareRen Ruo-jing, Che

17、n Qiao, Peng Yu, Shi Hong-long*(School of Science, Minzu University of China, Beijing, 100081)Abstract: Crystallography plays an important part in a wide range of disciplines, including physics, materials science and technology, chemistry, mineralogy, biology, as well as engineering. Crystal symmetry and symmetric operation require students having the spatial-visualization and imaginary skills, are the keystone and difficulty of the cryptography teaching. To overcome this, in this paper we will introduc