圆锥曲线的动态结构

1、圆锥曲线的动态结构以此让学生理为了丰富解析几何的教学， 本文想描述圆锥曲线的共有性质， 解“设而不求”的基本思想，以及“以直代曲”的基本方法。一、定义1、定义一2、定义二：离心率二、焦半径相关问题3、焦半径过焦点的垂线与切线的交点轨迹4、焦点在切线上射影的轨迹5、两焦点到切线距离乘积为定值6、焦半径圆7、焦点弦直径圆（阿基米德三角形）8、焦点三角形内心的轨迹三、焦点弦相关问题9、焦点弦的焦半径倒数和为定值10、正交焦点弦倒数和为定值11、焦点弦与其中垂线形成的定值12、焦点弦与其平行中心弦形成的定值13 、焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值14 、焦半径比之和为定值15 、焦点弦与准线关

2、系一：中点共线16 、焦点弦端点及焦点对准线上一点的斜率成等差17 、定点弦端点及定点对类准线上一点的斜率成等差18、焦点弦与准线关系三：三点共线19、焦点弦与准线关系四：对焦点直张角20、相交焦点弦与准线关系：三点共线21、相交焦点弦与准线关系：角平分线22 、相交定点弦与准线关系：三点共线四、相交弦的蝴蝶特征23、蝴蝶定理（特殊）24、蝴蝶定理（一般）五、切点弦相关问题25、切点弦性质一：等比中项26 、切点弦性质二：倒数和二倍27、切点弦性质三：定比28、切点弦性质四：平行线族29 、切点弦性质五：弦过定点六、等角问题30、焦点与准线的等角性质31、焦点与准线的等角性质（推广）32、焦点

3、对切线等张角33、倾斜角互补弦性质七、动弦中点相关问题34、弦中点与中心性质35、弦中垂线36 、定点弦中点轨迹八、内积定值问题37、焦点弦张角向量内积为定值38、定点弦张角向量内积为定值九、其他重要性质39、直角切线交点的轨迹（蒙日圆）40、内接直角三角形41、直中心角性质42、顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶43 、共轭点距离乘积为定值44、相似的椭圆或双曲线截得直线弦长相等圆锥曲线的动态结构（1）定义一【题目】动点Q在圆Fl :（x ）2 y2 =4上运动，定点F2C ,0）,求线段QF2的中垂线与直线QFi的交点P的轨迹方程.【分析】按照点与圆的位置关系进行分类讨论.抛物线：定直线（无穷大

4、定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹.【解析】当 =0时，圆P ： x2 y1 ；2当（-1,0）（0,1）时椭圆 P:x2 3；1c亠2S-丿 F2 = (0.0)F1 = (0, D)-=2.TzmJ QJ 2 7Fl = (Y.56,0) F2 = (0 56, 0)当二 h，1 时，点 P（- ,0）；2当 （-：,-1）（1/：）时，双曲线 p: x22y1 ；1加儡怏磁疑谡圉/斗血一】5=（1旳愠匕为 亘过点片（1. 0）且与乂愉不空舍.陞圓子匚D轴点.过片柞必卍的平行雄交D子点E.CI）研阴国K|+|EF|为弗鼠井韦出点E的轨诱方稈；cni谀点耳的物粧为曲塔

5、g. n垃!交口n两点.过b目与f垂已的贯线与囲.4兗于尸.o两点*嘩四过形阳/wq面帜附脈怕菇丽.圆锥曲线的动态结构（2）定义二：离心率【题目】平面上到定点O （焦点）的距离和到定直线丨（准线）的距离之比等于常数e （离心率）的点M的轨迹.【分析】圆锥曲线的极坐标方程（人教 B版4-4 ,17页）【解析】AO MO e= =AB MNP,其中p为半通径,P八+ pCOS 0eP1 -ecosv焦点弦长P . P2p21-ecos1 ecos1-(ecosr)抛物线焦点弦长卑sin日住山亍矗憑祢门己知0为施恼集心 丿=4工叫隹点过用阳屡直相垂宜的宜劇.h言期i与砍壬厶 点.宜坯h写阪于从 需阳

6、点.圆锥曲线的动态结构（3）焦半径过焦点的垂线与切线的交点轨迹【题目】2 2椭圆笃爲=1上存在动点P，a bQF2 PF? =0，QPPFi【分析】【解析】求点Q轨迹.PF2圆锥曲线上一点处的切线与该点焦半径在对应焦点处的垂线的交点的轨迹为准线.由QPPFi PF2PF；|=0可知Q在椭圆点P处切线上,PFiPF2（其中住吕+芝乌表不N F1PF2平分线方向）PFi记P（acos,bsi nR，则椭圆点P处切线Ip.XqCOSyQ si记QgyQ），则七先a2由 QF2 PF? =0 可得（c -XQ）（acos c）二 byQ sin联立，Q（b（C-aC0S5即点Q的轨迹方程c sin 日

7、另一动点Q满足QF；昌+雪=0Fi贬|丿抛物线焦点在其切线上的射影的轨迹为与其顶点相切的直线（无穷大的圆）圆锥曲线的动态结构（4）焦点在切线上射影的轨迹2 2【题目】已知动点P在双曲线上 笃一爲=1,a bQP + &昌乌=0求点Q轨迹. hl HI 丿【分析】椭圆焦点在其切线上的射影的轨迹为以长轴为直径的圆双曲线焦点在其切线上的射影的轨迹为以实轴为直径的圆【解析】由QP+讣娄+陰 =0知Q在双曲线点P处切线上, 幘I阳丿由 QF； 肖+陰=0可知 |PF_, _ PF2 =2a = 2OQ JPF用丿从而点Q的轨迹方程为x2 ya2.圆锥曲线动态结构(5)焦点到切线距离乘积为定值2 2【题目

8、】证明：椭圆X2 yr=1两焦点到椭圆任意切线的距离乘积为定值a b【分析】椭圆与双曲线的两焦点到切线的距离乘积为 b2.【解析】记椭圆上一点P(xP,yP)处切线辔 辔a b则焦点到切线距离的乘积CXphhhF2a2-1| |CXpa2-1|Xpyp4 b4xpyp4b42 2lC-?-i|a2 2xp ypa b2 2Xp .丄（1生、4-2 （1 一 2 ）a b ab2 |c2xp -a41（b2a2）x； a4圆锥曲线的动态结构（6）焦半径圆2 2【题目】已知动点P在爲丄1上，PQ FQ=O，探究2OQ PF是否为定值; a b【分析】椭圆中以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切双

9、曲线中以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切抛物线中以焦半径为直径的圆与以其顶点相切的直线相切（无穷大的圆）【解析】由PQ FQ =0知Q为PF中点，从而2OQ PF二PF，PF = 2a圆锥曲线的动态结构（7）焦点弦直径圆（阿基米德三角形）【题目】过抛物线x2 =4y上两点A,B分别作抛物线切线，相交于点P，且PA-PB =0（1）求点P轨迹方程；（2）已知点F（0,1），是否存在，使得FA FB（FP）2 = 0.【分析】椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切2 2【解析】记A（巧），Bg，手），过A,B的切线斜率

10、分别为 鬓，且今 ”1，2 2 , 则过A,B的切线分别为1a：“冬x-冬；1a：“竺x-立，交点P（生 ,-1）24242即点P轨迹方程为y二由 FA FB = x-|X2+ 2 + 2和（FP）2 =（亠昙）2 *二亠虽 2可知存在 =1.24圆锥曲线的动态结构(8)焦点三角形内心的轨迹2 2【题目】已知动点P在爲占=1上，点Q为PF1F2内心，求点Q的轨迹方程； a b2 2已知动点P在笃-爲=1上，点Q为PF1F2内心，求点Q的轨迹方程.a b【分析】椭圆中焦点三角形内心的轨迹是以焦点为顶点的椭圆双曲线中焦点三角形内心的轨迹是与顶点相切的开线段(且长为虚轴长)抛物线中焦点三角形内心的轨

11、迹是以焦点为顶点的抛物线【解析】记P(acosr,bsi)，其中sin八0，内切圆半径为r，11则 S pFF? =2 2c b|sinr 2(2c 2a)r，即 r = -C |sin |=| yQ | c + a由内切圆特点，及椭圆焦半径可得(c Xq) _(c _Xq) =1 PF11 TPF2 戶(a ccosR -(a -ccos，2 / + 2 2 从而Xq二c cosn，点Q的轨迹方程为-a c) y 1( y = 0).cb由内切圆特点，及双曲线定义可得|(c + Xq) - (c -Xq)F|IPF1 I - IPF2卜2a，从而点Q的轨迹方程为|x|二a,y （-b,b）.

12、圆锥曲线的动态结构（9）焦点弦：焦半径倒数和为定值2 2【题目】已知椭圆 冷 2“，过左焦点h的直线交椭圆于A，B两点,a b是否存在 使IABLRA RB恒成立，并由此求|AB|最小值.【分析】圆锥曲线（双曲线A,B同支）焦点弦:（若为双曲线A,B异支：|F1A|RB广p）其中P为半通径.1 1 _ 2 ifai tfbi【解析】由F1在线段AB上知_歸异需H1計話|点2 由椭圆焦半径知|AR| P , |BFi|P ，其中p为半通径一.1ecos 日1 + ecos 日a从而-一丄12 2a|BR |AR | p b|ABh-ba|AF1| |BF!|.b则 lABAdAFJ |BR |)

13、(丄222| BR | |AR | 2a 2a匕（1 1）2二空，当AB为通径时取等.a圆锥曲线的动态结构（10）正交焦点弦倒数和为定值【题目】2 2已知椭圆 笃 爲=1，过左焦点F1的两条直线1（2相互垂直,a b且分别交椭圆于A,B两点和C,D两点，问是否存在实数，使 AB CDh AB CD恒成立，并由此求 Sabcd取值范围.【分析】【解析】由椭圆焦半径知AB=圆锥曲线正交焦点弦:P十1 -ecosr 1 ecos 1 -e2 cos2 二 PP2pn1ecos(r )1 ecos)2 2 -1 e sin1 1_ + CD AB 2pp卫为半通径.aSaBCD2p22p21蔦AB|C

14、D卜24.2.2. -121 -e e sincos d 2 1 4 . 2 1 e + e sin 2日 4从而 Sabcd 2p22p242d 21 4 1 e1 -e ej_x = my _ c由22田乞+孔“ka2 b2则yi2mb2ca2 m2b2，_b4a2m2b2从而 | AB |二 1 m2 讥屮 y2)2 -4y1y2(m2 1)2ab2a2 m2b2圆锥曲线的动态结构（11 ）焦点弦与其中垂线形成的定值2 2【题目】已知椭圆C:爲yT=1，过左焦点Fl的直线丨交椭圆于A,Ba b两点，线段AB的中垂线交x轴于点D，是否存在实数， 使|AB|DFi |恒成立.【分析】圆锥曲线

15、焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则匹AB 2【解析】当 l ： y =0 时，I AB 1= 2a， | DFi = c，此时，=；c e当 l 斜率不为零时，记 l:x = my-c, A（xi,yj，B（x2,y2），2得(m2 冷)y2 2mcy b2 =0 ,b线段AB的中垂线xm（y 一宁）丫1mb2ca2c即 x_m(y-a2 m2b2)a2 m2b2，3则点 D0),|DF1|=|m2bc| =2 2(m 1)b c 2 2 a m b因此c e圆锥曲线动态结构（12）焦点弦与其平行中心弦形成的定值2 2【题目】过椭圆笃焦点F2的a b直线Iab交椭圆于代B两点,过原点且平行与直

16、线Iab的直线交椭圆于P,Q两点，试证明：|PQ = 2a|AB【分析】圆锥曲线的焦点弦、长轴、其平行中心弦成等比【解析】记 AF2X，则Ipq： xC。，其中t为参数. y = ts in 日将其代入2 2笃笃=1得到|OP|2 = t2a ba2ba2 sin2 v b2 cos2.2椭圆的极坐标方程p-，其中p =为半通径.2p1 - e2 cos21 + e cos 日a从而焦点弦ABP +Pr1+ecos 廿 1 -ecoso因此匕PQ =4t2 =4a2b2a2sin2 v b2 cos2=2a AB得证.圆锥曲线的动态结构(13)焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值2 22k

17、 a cxi x2?2k a +b2/| 2 2 . 2X， a (k c -b ) %x2 :k2a2 b2【分析】圆锥曲线焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值【解析】直线I斜率显然存在，记l:y=k(xc)，A(xi,yj，BEy?)y=k(x + c)2由 x2y2 得(与 k2)x2 2k2cx k2c2-b2=0,则孑P1&贝y，_ MAMB_ |Xi I |X2 I _ |c(Xi X2) 2X1X2 I= 2a2、AF|BF1 区+cI|x2+c| nx2+c(x;)+ (ZA+LA)(M A )2+(M;)MeAU+ (M mualalumu Lu).(NA +;)(bA

18、mA )十(bA + mA )( NA ;) M (bA NA mA;)cxl叵(M 十以)M (ZA 十LA)M H MY (eAM MZA)+ ALA AM ALAM(bAUILAUJ)(eAU Mlu)0弓AY I MLA)+ ( LA)MeAU+ VA m)mlalu=u Lu)VAU LAUJ)(eAU lu)03ZA MLiLU-HoALA mm)u+(zala二 AeAU+ va m)mlalu=u Lu)IIIIiiii圆锥曲线的动态结构（21 ）相交焦点弦与准线的关系：角平分线且交点与焦点的连线平分 AFiC .【解析】在“圆锥曲线的动态结构（14）”中已证明三点共线, 下证

19、PFi为.AFQ平分线：b2a2（yi - y4）（ + myj点 P（-,yic ）cmyj _ ny4至卩h : x = my_c的距离hp2|(m-n)y4( myj|cIm% -ny41 , 1 m2，到dx = ny-c的距离hp_L2b2|(m-n)y( n y4)| c2 ，| my _ ny41、1 n因此只需验证:2|( n y4)| |(myj|c = c| y41 1 n2 | y1 | . 1 m2 ?b22 2|X4 -I|X1 a|即-宀I y41 1 n I % I . 1 m得证.圆锥曲线的动态结构（22）相交定点弦与准线关系：三点共线2 2【题目】过椭圆X2

20、+V2 _i点N（t,0）的 a bhx直线li, l?分别交椭圆于A, B和C,D，记Iad交Ibc于点P ,2 证明：点P的轨迹.t【分析】由（20）中的焦点弦推广到定点弦【解析】记 h：x=my t， J：x二 ny t， A（Xi,yJ， B（X2,y2）， Cgy?）， Dg,4），从而 Iad : yyi(x-myi-t) %， Ibc : y吐(x-my2-t) y?，myi ny4my? ny3x=my+t2由* x2 v2 .得 (与+m2)y2 +2mty+t2 a2 =0 贝叮2将l AD与l : X二乞父点t2aP(yiyi y2 = _2mbt22 2a m b2 2

21、2、b (t-a )a2 m2b22a(yi-y4)(t -myi)t)横坐标代入Ibc,my1 - ny42nb2t3+4=2丄，2a + n b| b2(t2-a2)V3V4 二验证如下:a2(y2 - y3)(t - my2)2a(yi - y4)(t myi)y2my? - ny3myi - ny4(m-n)y4 (匚-t)(yi - Mmyi - ny4my? - ny32a(m _n)y2y3(myi-ny4) -yMgy?-ny?)(7-t)(yiy4)(my2-ny?)-厲 - y3)(myi- ny4)(my? - ny3)(myi - ny4)aa(m -n、河3(7 -t

22、)(y2 -y3)(m n)myiy2(y3 -丫4)门丫3丫4(% - y?) (7 -t)n(壯庆 一 %丫3) m(yiy y?y4)(my? - ny3)(myi -ny4)2 a(m -n)myiy2(y3 -y4)ny3y4(yi -y?) 匚-t)( y3 - 丫2丫4)(my2 - ny3)(myi ny4)其中 河3 -河4=河3*1河3 河3)河4 =小lOyZsf同理 2(yiy3 丫2丫4)=(yi - gly y4)3 - y4)(yi 财.a2 -t2(m -n)myiy2(y3 沖)叹山力)丁3 -y4)(yi %) 5 y4)(my? -ny3)(myi - n

23、y4)2 .2 y 、a -t(m n)( y3 y4)myiy2(yi y?) (yi y2)ny3y42ta2 -t2(my? - ny3)(myi - ny4)2t r,得证.【题目】32BN与ls: x =t的交点分别为M(t,y1(yr)my1)，my1 - ny4N(t,y2_(y2 y3)my2)my? nya2 2将x = my . t代入笃每a b2=1 可得(冷 m2)y2 2mty t2 -a2 = 0， b-2mb2tb2(t2-a2)a2 m2b2，2 = a2 m2b2同理y y42n b2tb2(t2a2)，W a2 n2b2，从而 | MT | - | NT F

24、 丫2-砒2(0 y1 my1(yr)my? nyamy ny4(m -n)y2ya . (m - n)y4my2 - nyamy ny4(m - n)y2y3(m% - ny4)yEmy? - nya)(my? - nya)(my1 - ny4)(m n)my1y2(ya y4) nyay4(yyjj(my? - nya)(my1 - ny4)圆锥曲线的动态结构（23）蝴蝶定理（特殊）2 2已知椭圆 笃 爲=1，过点T（t,O）的 a b直线12分别交椭圆于A,B和C,D直线la : x二t交直线AD , BC于M , N证明：|TM|=|TN|.【分析】圆锥曲线两弦交点在对称轴上的蝴蝶定理

25、【解析】记 h：x=my t， J：x= ny t， B(x2, y2)， C(xa,ya)， D(x4, y4)，I ad ： y(x myi ， l bc ： y(x my t) y，myi ny4my2 ny3【解析】以点0为坐标原点，MN所在直线为y轴，建立平面直角坐标系记圆锥曲线方程为 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0 , M (0,t), N(0,-t), 则一t为Cy2 Ey F =0的两个根，即E =0.1) 当 Irs和 Itu 有一条斜率不存在时，|OP|=|OM |=|ON|=|OQ| ；2) 记 1 RS : y = k1x，|TU y = k2X， R(x

26、1, y1 ), S(x2, y2 ), T (X3, y3),U(X4 , y4)贝S Iru : y 二人人kzX4 & 一为)&X1， & : y = kN _k2X3 & _%2)&X2，(kjX2 k2X3)X2X2 _X3捲 一 x4x2 - x3从而 P(0,kN -(k1X1k2X4)X1) , Q(0*X2 捲_X4D将 y = k1x代入 Ax2 Bxy Cy2 Dx F = 0可得(A Bk1 Ck；)x2 Dx F = 0-D则有 X1X2_ A .Bk1Ckj，X1X2_ A BkCk2；同理 X3X4- 人Bk2Ck；，X3X ABk2Ck22.从而 |OP| -|

27、OQ |*X1KX1MX1 k1X2x1 - x4(kjX2 - k2X3)X2X2 -X3= 3 .3te=(k2_k1)XjX4X2x3X1X2(X3X4)-X3X4任X2)=0(Xi -X4)(X2 -X3)圆锥曲线的动态结构(25)切点弦性质一：等比2 2【题目】已知椭圆笃，过原点O ,a b及点Q的直线Ioq交椭圆于点N , 过点Q的中点弦为AB，过A,B分 别作椭圆切线1a,1b相交于点P， 证明：|OQ| |OP|=|ON |2.【分析】圆锥曲线的中心O与点P，的连线交曲线于点N，交切点弦于点Q，则点Q平分切点弦，且|OQ| |OP|=|ON |2【解析】1)当 Ioq斜率不存在

28、时，记 Q(0,Yq)， A(-x,yQ)， B(xo, Yq)，由点 P(0,yp)在 Ia ： X0 -Yq2Y =1 上，可得 YqYp 二 b2，即 |OQ | | OP |=|ON |2a b2)当 Ioq斜率存在时，记 A(Xi,yJ，By?)，由点P(Xp，Yp)在Ia：竽普，Ib：答书胡上，可得Iab：智晋， a ba ba b2 2代入务 占=1，得到(b2xP a2yP)x2 -2a2b2XPX a4(b2 - yP) = 0，a b2a2b2XP.2 222b Xp a YpYiY2 二b Xp +a yp2. 22 2即 Q( a b xpa b yp )2 2 2 2

29、 2 2 2 2 /b Xp +a yp b Xp +a yp则 O,Q, N, P 四点共线.记 Ioq :y =kx， P(Xp,kXp)， Qg%)， “风闷)，l 2由点Q(xQ,kxQ)在Iab：彎 晋 =1上可得警 =1，a ba b2 2 2 .2且点N(xN,kXN)在椭圆笃 2=1上可得鸽气=1，a ba b从而 XpXQ =xN，即 |OQ| IOPFION I2圆锥曲线的动态结构（26）切点弦性质二：倒数和二倍则詁詁PQ【解析】记P（xp,yp），则切点弦 巻 怡 1，bAB 2a1）若1CD斜率不存在，记1CD :X = Xp，贝 y yyp(1-笃)，yc,D =b、

30、1 Xp，aa从而 IPQi. Ipqi _I yQ -yp I. IyQ -yp I _IPC| IPDI Iycyp I Ndyp I ycy。-yp(yc+y。)+ yP(yQ - yP)(yC yD-2yp)(yQ - yp)(-2yP)2.ycyD yP2)若 Icd 斜率存在，记 Icd ： y = k(x -Xp) yp，则 Xq kxPyP - ypbI 2kyp2 xpa2 2 将 Icd : y 二 k(x -Xp) yp 代入令 ab22 =1 得到(7 k2)x2 2k(yp -kxp)x ( yp - kxp)2 -b2 = 0， ba2 2即Xc，。用如寸“心厂如一

31、巴“,k2 ak2 baXcXd-Xp(Xc Xd) Xp(kxpyp _yP b2(bkyp xpakxpyp - yp bb 、-2( - -2-Xp)(kyp2Xp)i + baky-2 x-ab 2yp - b 2 Xpa圆锥曲线的动态结构（27）切点弦性质三：定比则 |PC|QD|=|PD|QC|.【解析】过点P（Xp, yp）做椭圆切线，切于点A,B，则切点弦Iab：竽 YpYab21，2 21) I ： x = Xp，Q(xp, yQ)，C(xp,yo)，D (xp, yo)，其中2，乌-1，a b由 |PC|QD|=|PD|QC|可得 Yp 一 Yo = YoYq， Yp +

32、Yo Yq + Yo2yoYq-，yp2从而Q（xp,血）的轨迹方程为彎響；- byp2) l : y 二k(x -Xp) yp， Q(Xq, yQ)，C(xc , yC )，D(Xdd)2 2将y二k(x _Xp) yp代入笃笃 a bb2=1 得到(= k2)X2 2k(yp -kxp)x (ypa2 2-kxP) -b = 0，则有*，a2 2(kxpyp) -bXcXd2 一22ay 、-2-y(kXp - yp) yCyD 二 2jk2a2 b 2 2 (kXP Tp) -2 -k b yCyD2_3与+k2ayc - yQyQ 一 yD由 |PC|QD|=|PD|QC|可得Xp_X

33、cXcyp yc即XqXp(Xc * Xd ) 2Xc Xd2Xp _(Xc Xd)yP(yc +yD)2ycy。 目Q二2 yP (yc + yD)XpX ypyV(kx y Wb2 .XpC&p _yp)+kb2xx yy从而Q(yp(kXp 7p)b , -)的轨迹方程为巻罟=1b ,b ,a b2xp kyp2 xp kypaa圆锥曲线的动态结构（28）切点弦性质四：平行线族【分析】圆锥曲线外一点与原点的连线在与圆锥曲线交点处的切线与切点弦平行【解析】过点P（Xp,yp）做椭圆切线，贝卩切点弦 嗚：巻=1，a b1）当Iop斜率不存在或为零时，结论显然成立;2 22）当Iop斜率存在时

34、，记G：y二上x，代入笃 每=1得到， xPa bXc 二XdabxPva2yp +b2xpabypyc = Jd= iCD22i 22a yp b Xp,从而椭圆在点c处的切线ic：2 ab 2 2（竽晋）=i；a yp b Xp a b椭圆在点D处的切线Id：严2 2（竽告）刊；Ja2yp+b2xpa b均平行于切点弦Iab：C=1.a b圆锥曲线的动态结构（29）切点弦性质五：弦过定点则过点R作圆锥曲线的切点弦必过OP与原切点弦的交点.b2 【解析】1）当Iop斜率不存在时，点P（o,yp）的切点弦Iab：嚳=1，点Q（0,）， bypb2显然点R（Xr, yp）的切点弦为Icd：X =

35、1过Q（0,）.a byP2）当Iop斜率存在时，点P（xp,yp）的切点弦%：竽与=1,a b点昭从）的切点弦Icd：竽与=1，分别交Iop：厂上x于a bxp点 Q（ 2Xp 2，占2）和点 Q（Xp, 空），乞 匪 XpXpXr + ypyR XpXr + ypyRb7b2a2 b2a2b2由于点R（Xr, yR）在Ipr：叫也 叫洱“上，ab从而点Q与Q重合，即Icd过点Q.圆锥曲线的动态结构(30)焦点与准线的等角性质【分析】圆锥曲线准线与对称轴的交点与焦点弦端点连线成角被对称轴平分【解析】1)当Iab斜率为零时，显然 APFi = BPFi =0 ；2 22)当Iab斜率不为零时，

36、将Iab：X二myC代入笃丄1a b得到(a2 b2m2)y2 -2mb2cy-b4 =0，22mb c yB 222 a +b m-b4 YaY厂 cm7，从而YaYamyA _c _xPYbmyB _ c _ xP2myAYB -(c Xp)(yA Yb)(myA -c-XP)(myB -c-Xp)得到2m-b4a2b2m2-(c Xp)严加2b m2从而存在p(-红,0)，使得.APFi =/BPFi恒成立.c口刃別疥嫌赫Q设椭圜G +於=1的右焦点为北过F珀亘疾宀O交于儿冃两風点M的坐标再(2, 0) 2(1) 当!与工轴垂总时求巨线AM的方程；(2) 设O为坐标原点，证明：圆锥曲线的

37、动态结构（31 ）焦点与准线的等角性质（推广）2 22 22）当斜率存在时，将lAB：x=myt代入二 茶1a b得到(a从而存在P（y ,0），使得.APN BPN恒成立. b2m2)y2 2mb2ty t2 -a2 = 0，2mb2t从而 yyB=cm2 2t - ayAyB222 ，a +b m由 kpA kpB=+myA J - xP myB t - xP2myAyB (t -Xp)(yA Yb)o(myAt -Xp)(myBt -Xp)得到 2m 2 2 2 -(t -Xp) 2 2 2a +b ma +b m圆锥曲线的动态结构(32)焦点对切线等张角2 2【题目】过椭圆冷爲外一 a b点P(xp,yp)作椭圆的两条切线，切于点AB，证明：.APFBPF2.【分析】过圆锥曲线外一点作两条切线与对应焦点的张角相等【解析】过点P(Xp,yp)所作切线|人：竽召，|b：竽辱胡， a ba b2 2 将切点弦lAB :竽里代入笃2 =1a ba b得到(b22 a yA（Xp c）-b XaYpxP a2y；)x2 _2a2b2xPx a4(b2 _ yP) = 0，从而Xa - Xb2a2b2xPa4（b2_yP）72222 ， XaXb 2 222 ，b xp a yPb Xp a yP22422、2a b