圆的切线和切点弦方程的公式求法

1、圆的切线和切点弦方程的公式求法1 圆的切线的求法圆的切线方程的求法， 除一般解法外， 本文探索一种公式法 求切线，使求切线的方法更加完美。定理：已知点 p (m n),圆 C:( x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2。 当 p( m， n )，在圆 C 上时，过 p 的切线方程为：( m-a)( x-a )+( n-b )( y-b )= r2当p (m n)在圆C外时，若丨m -a |r时，过点p的两条 切线的斜率为：若|m-a | = r时，过点p的一条切线的斜率不存在，切线 方程为 x=m，另一条切线的斜率为：证明：1)当p (m n)在圆C上时，易得过p的圆的切线 方程为：( m-

2、a)( x-a ) +( n-b )( y-b ) = r2 。 2)当 p( m， n) 在圆C外时，(m-a) 2+ (n-b ) 2r2。设过P与C相切的直线 的斜率为 K,则有：y-n=k (x-m)即：kx-y-mk+n=0由于圆心到直线 kx-y-mk+n=0 的距离等于圆的半径，得即：两边平方，整理得 ( a-m) 2-r2k2+2( n-b )( a-m) k+(n-b ) 2-r2=0(*) 若 |m-a|zr 时， =4r2 ( m-a) 2+ (n-b )2-r2 ， 所以特别地，当a=b=O时若|m-a | =r时，一条切线的斜率不存，切线方程为x=m,另一条切线的斜率

3、由方程(*)式得。 特别地，当a=b=0时，例1从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向该圆 引切线，求切线方程。解t a=b=1, r=1 , m=2 n=3,且 |m-a | =r 二圆的一条切 线为 x=2，另一条切线的斜率由公式得K=所以，另一条切线为 y-3=(x-2 )即 3x-4y+6=0例2 ：已知圆 C： (x-a)2+(y+3) 2=9及圆外一点 P(2，2),求过点P的圆的切线方程。解.a=2, b=-3 , r=3 , m=2 n=2 且 m - a 工 r二由公式得k=二圆的切线方程为 y- 2=( x-2 ) 即4x-3y-2=0 或4x+3y-2=0

4、2 切点弦方程的求法问题：从圆外一点作圆 C：(x-a) 2+(y-b) 2=r2 的切线PA PB A B为切点，求直线 AB的方程。解：设切点坐标为 A (x1, y1) , B (x2, y2)，则过A、B 点的切线方程为：(x1-a)(x-a)+(y1-b )(y-b)=r2(1)(x2-a)(x-a)+(y2-b )(y-b)=r2(2)由p (m, n)即在PA上，又在PB上，故有:( x1-a ( m-a +( y1-b( n-b =r2(3( x2-a ( m-a +( y2-b( n-b =r2(4(3)( 4)表明，A、B点的坐标适合方程( x-a ( m-a+( y-b ( n-b =r2故直线 AB 的方程为：(m-a)( x-a ) +(n-b )( y-b ) =r2利用上述结论，可求切点弦的方程。例3从圆(x-1 ) 2+ (y-1 ) 2=1外一点P (2, 3)，向该圆 引切线，求过切点的直线方程。解：由于a=1，b=1，m=2 n=3,根据切点弦方程(*)式可得( x-1 )( 2-1 )+( y-1 )( 3-1 )=1 即： x+2y-4=03 圆的切线方程与切点弦方程的关系根据 1、2 可得下面的结论：已知圆(x-a ) 2+ (y-b) 2=r2及点P (m n)，当P在圆上时，过P的切线方程为：(m-a ) (x-