圆锥曲线汇总

1、专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0;(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程；(3) 代入转移法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(xo, yo)的变化而变化，并且 Q(xo，yo)又在某已知曲线上，贝U可先用x，y的代数式表示xo，yo，再将xo，yo代入已知曲线得 要求的轨迹方程.1. 一个区别一一“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变 量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出

2、方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、 大小等有关的数据.2. 双向检验一一求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性 与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P(x，y)与两定点M( 1,0), N(1,o)连线的斜率之积等于常数 g0).(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 试根据入的取值情况讨论轨迹C的形状.解(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零,所以kpM kPNy yx+ 1 x 1当 心0且 存1时，是椭圆

3、的轨迹方程; 当 X0时，是双曲线的轨迹方程；当 A 0时，是直线的轨迹方程. 综上，方程不表示抛物线的方程.【答案】 C考向二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆Oi和02,它们的半径分别是1和2,且|0i02匸4.动圆M与圆0i内切, 又与圆02外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.【解】 如图所示，以O1O2的中点0为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由 IO1O2匸4,得 01( 2,0), 02(2,0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆01内切，有|M01|= r 1;由动圆 M 与圆 02外切，有 |M02|= r + 2.JMO

4、2| |M01|= 3.点M的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. .| o .,22271 xw |. a = 2， c= 2,b = c a = 4.点M的轨迹方程为警竽【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A: (x+ 2)2 + y2= 1与点B(2,0), 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.( FAB的周长为10;(2) 圆F与圆A外切，且过B点(F为动圆圆心);(3) 圆F与圆A外切，且与直线x= 1相切(F为动圆圆心).【解】(1)根据题意，知 |FA|+ |FB|+ |AB匸 10, 即 |PA|+|PB匸 6 4= |AB|,图 8-8-1故P点轨迹

5、是椭圆，且 2a=6,2c= 4,即a = 3, c= 2, b= ,5.22因此其轨迹方程为 + =仪工0).(2)设圆 P 的半径为 r，则 |FA|= r + 1, |PB|= r，因此 |PA| |PB|= 1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a= 1,2c= 4,即a=舟，c= 2, b= 2, 因此其轨迹方程为4x212= 1 x1 .图 8-8-2依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x= 2的距离，故其轨迹为抛物线，且 开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为y2= 8x.考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P是圆x2 + y2=

6、 25上的动点，4 点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|= 5IPDI.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；4(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的长度.XP= X,【解】(1)设M的坐标为(x, y), P的坐标为(XP, yP)，由已知得5yp=4y.、 2 25亠25,即卩c的方程为25+16二1.44(2)过点(3,0)且斜率为2的直线方程为y= 5(x 3)，设直线与C的交点为A(X1, y”, B(X2,4x(x 3)2y2)，将直线方程y=5(x 3)代入C的方程，得25+ 矿 =1,即x 3x 8= 0.3 413 + 7 41 X1 =2

7、, x2 =2.线段AB的长度为AB|=p (X1- X2 j +(y1-乎勺=P 在圆上，：x2+ 4 -42X2【对点练习2】(2014合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点O的射线交大圆于点P,交小圆于点Q, P在y轴上的射影为 M.动点N满足PM = ?PN且PM QN= 0.(1)求点N的轨迹方程；过点A(0,3)作斜率分别为k1, k2的直线l1, l2与点N的轨迹分别 交于E, F两点，k1 k2二一9.求证：直线EF过定点.【解】(1)由PM = ?PN且PM QN = 0可知N, P, M三点共线且PM JQN.y/%、JIX图

8、8-8-5414125X 4仁 41.过点 Q 作 QNJPM，垂足为 N,设 N(x, y),.|OP| = 3, |OQ|= 1,由相似可知 P(3x, y).2 2-P 在圆 x2 + y2= 9 上, (3x)2 + y2= 9, 即y + x2= 1.所以点 N 的轨迹方程为鲁 + x2= 1.y= k1x+ 3,(2)证明：设 E(xe, yE), F(xf , yF)，依题意，由 y2o? (k1 + 9)x2 + 6k1X= 0,+ x9十x2= 1解得x= 0或x= 6 . 所以xe= 6kk2 + 9k2 + 9yE 二 k k2+ 9丿6k127 3k2-+ ，6ki：k

9、2 + 9同理可得F6k1Alt212 13k279+21999k2= 订用k2= 话替代中的ki,F关于原点对称，.直线EF必过原点0.【达标训练】一、选择题1. 若M , N为两个定点，且|MN|= 6,动点P满足PM PN = 0,则P点的轨迹是()求轨迹方程-3A 圆B 椭圆C.双曲线D 抛物线i2已知点F 4, 0，直线I: x= 4点B是I上的动点若过B垂直于y轴的直线与线 段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A 双曲线B 椭圆C 圆D 抛物线3. (2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1), B( 1,3),若点C满足OC= hOA +乃OB(0为原点)

10、，其中入，加R,且入+瓜=1,则点C的轨迹是()A 直线 B 椭圆 C 圆D双曲线图 8-8-44. (2014合肥模拟)如图8-8-4所示，A是圆O内一定点，B是圆周上 一个动点，AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是()A 圆B 椭圆C.双曲线D.抛物线 O为坐标原点，若BP = 2PA,)3 22B.qx2 3y2 = 1(x0, y0)2 3 2D. 3x2 + 2y2= 1(x0, y0)5设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A, B两点，点Q与点P关于y轴对称,且OQ AB= 1,则点P的轨迹方程是(3 22A.qx + 3y = 1(x0, y0)

11、3 2C. 3x 2V = 1(x0, y0)6已知动点P在曲线2xaa10. (2014佛山模拟)在厶ABC中，A为动点，B, C为定点，B 2, 0 , C 0 (a0),1 且满足条件sin C sin B = 2sin A,则动点A的轨迹方程是.三、解答题11. 已知定点F(0,1)和直线l1： y= 1,过定点F与直线I1相切的动圆的圆心为点C. 求动点C的轨迹方程； 过点F的直线I2交轨迹于P, Q两点，交直线I1于点R,求RPRQ的最小值.12. (2011课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, 1), B点在直线y= 3 y= 0上移动，则点A(0, 1)与点P连

12、线中点的轨迹方程是()2B. y= 8x2C. 2y= 8x 12D . 2y= 8x2 + 1、填空题7. 平面上有三个点 A( 2, y), B 0, 2 , C(x, y),若AB丄BC,则动点C的轨迹方程是8. 动圆与OC仁x2 + y2= 1外切，与O C2: x2 + y2 8x+ 12 = 0内切，则动圆圆心的轨迹是9. 已知 ABC的顶点B(0,0), C(5,0), AB边上的中线长|CD匸3,则顶点A的轨迹方程为 上，M点满足MB / OA, MAAB= MB BA, M点的轨迹为曲线 C.(1) 求C的方程；(2) P为C上的动点，I为C在P点处的切线，求0点到I距离的最

13、小值.13. (2013课标全国卷U )在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2, 在y轴上截得线段长为2 3.(1) 求圆心P的轨迹方程；(2) 若 P点到直线y= x的距离为 乎，求圆P的方程.【达标训练】参考答案一、选择题1. A.【解析】-PM PN= 0，/PM _LPN，a点P的轨迹是以线段 MN为直径的圆.2. D.【解析】由已知：|MF匸|MB|，由抛物线定义知，点 M的轨迹是以F为焦点，I为准线 的抛物线.x= 3 入一厶3. A.I解析】设C(x,y),因为OC=入OA+乃OB,所以(x,y)=入(3,1)+浪一1,3)，即ry+ 3x* 71 10，解

14、得3y xy= A1 + 3A,y+ 3x 3yx又？1 + ?2= 1，所以 + = 1，即x+ 2y= 5,所以点C的轨迹为直线，故选A.4. B .【解析】由题意知，|EA|+ |EO|=|EB| + |EO|= r(r为圆的半径)且r |OA|,故E的轨迹为 以O, A为焦点的椭圆，故选B.5. A.【解析】设 P(x, y), A(xa,0), B(0, yB),则 BP= (x, y yB), PA= (xa x, y),3XA= x,即 2yB= 3y.BP= 2PA,Ax = 2 xa x ,Iy yB= 2y,2x, 0 , B(0,3y).6.3:又 Q( x, y)，-

15、OQ=( x, y), AB= i 2x， 3y ,3 22则点P的轨迹方程是2x2 + 3y2= 1(x0, y0).3 22OQ AB=x + 3y = 1,C.【解析】设 AP 中点 M(x, y), P(x , y),则 x=耸，y=,x = 2x,二 2y+ 1,代入 2x2 y= 0,得 2y= 8x2 1,故选 C.-2 ， BC=(x, y)- 0， 2 = x，二、填空题8x。【解析】AB= 0, 2 ( 2, y)= 2,求轨迹方程-5ABjBC,AB BC=0,二 2，- 2 -x，y - o, 即y2 = 8x. 动点C的轨迹方程为y2= 8x.8. 以Ci, C2为焦

16、点的双曲线的右支。【解析】OC2的圆心为C2(4,0),半径为2,设所求动圆的圆心为 M，半径为r，因为动圆与。Ci外切，又与OC2内切，所以r2, |MCi|= r + 1，|MC2匸r 2.由一得|MCi|- |MC2| =3v |CiC2|= 4.根据双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以Ci, C2为焦点的双曲线的右支.9. (x 10)2 + y2二36(yM0).【解析】设 A(x, y)，贝U D,匸寸g 5$+ 4 = 3, 化简得(x 10)2 + y2= 36,由于A, B, C三点构成三角形， A不能落在x轴上，即 严0.2 210. I答案】 哆3=1(x0且 严0).【解

17、析】由正弦定理： 雳-gx紫1,即AB|1aAC|= 2BC|，故动点a是以b, c为焦点，2为实轴长的双曲线右支.三、解答题11. 【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到11的距离，点C的轨迹是以F为焦点，11为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x2= 4y.(2)由题意知，直线12的方程可设为y= kx+ 1(kM0),与抛物线方程联立消去y,得x2 4kx 4= 0.设 P(X1,y”，Q(x2,yz),则対 + X2= 4k,X1xz = 4.又易得点 R 的坐标为 i ， 1 ,+ 2，y1+ 1 沖2+ 2, y2+ 1 = Jx1 + k 1X2+k + (kx1 + 2)(

18、kx2+ 2)2f242I 4(2 1 =(1 + k )X1X2+ k+ 2k(X1 + X2)+ 孑+ 4= 4(1 + k)+ 4k 匚+ 2k + 孑+ 4= 4 k + 只 + 8.2 1 2k + k2,当且仅当k = 1时取等号，RP FRQ 4X 2+ 8= 16,即 RP 昴的最小值为 16.12. 【解】(1)设 M(x, y),由已知得 B(x, 3).又 A(0, 1),所以 MA = ( x, 1 y), MB = (0, 3 y), AB= (x, 2).再由题意可知(MA + MB) AB= 0,1 2即(x, 4 2y) (x, 2)= 0,所以曲线 C 的方程为 y=4x2 2.设P(X0, y。)为曲线C:1 2 1 1y= 4x 2上一点，因为丫 =來，所以I的斜率为X0.21 21勿0 X0|因此直线I的方程为y y0 = 2X0(XX0)，即X0X 2y+ 2y0 X2 = 0.则O点到I的距离d = b2,2 /xo + 41 2 2.1 22X0+ 41又 y0= 4x0 2,所以 d=, _=一4xo + 4当X0 = 0时取等号，所以O点到I距离的最小值为2.13. 【解】设P(x, y),圆P的半径为r.由题设y2 + 2= r2, x2 + 3= r2,从而y2 + 2 = x2+ 3.故P点的轨迹方程为y2 x