《反比例函数》实际问题与反比例函数

1、反比例函数实际问题与反比例函数解答题121（2003荆门）如图，已知一次函数y=x+8和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B（1）求实数k的取值范围；（2）若AOB的面积S=24，求k的值122（2002烟台）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a0），ACx轴，垂足为点C，且AOC的面积为2（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点（a，y1），（2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；（3）求AOB的面积123如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，点B的

2、坐标为（，m），过点A作AHx轴，垂足为H，AH=HO（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积124如图，点A（m，m+1），B（m+3，m1）都在反比例函数的图象上（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式125已知：反比例函数和在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，ABy轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与，的图象交于点C、D（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；（2）若点A的横坐标为m，比较OBC与ABC的面积的大小

3、，并说明理由；（3）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标126如图所示，已知点A（4，m），B（1，n）在反比例函数y=的图象上，直线AB分别与x轴，y轴相交于C，D两点（1）求直线AB的解析式；（2）求C，D两点坐标；（3）SAOC：SBOD是多少？127如图，直线y=kx+2k（k0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限（1）求双曲线的解析式；（2）求B点的坐标；（3）若SAOB=2，求A点的坐标；（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，

4、请说明理由128如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过B作BCx轴，垂足为C，且BOC的面积等于4（1）求k的值；（2）求A、B两点的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由129如图，直线y=kx+2k（k0）与x轴交于点B，与双曲线交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限（1）求B点的坐标；（2）若SAOB=2，求A点的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标130如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1

5、），B（2，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA，OB求三角形OAB的面积131如图，反比例函数（x0）与一次函数y2=kx+b的图象相交于A、B两点，已知当y2y1时，x的取值范围是1x3（1）求k、b的值；（2）求AOB的面积132如图：P是反比例函数y=（k0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知POM的面积为2（1）求k的值；（2）若直线y=x与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，2）的直线表达式；（3）过A作ACy轴于点C，若ABC与POM相似，求点P的坐标133（2001广州）已知直线y=x+6和反比例函数y

6、=（k0）（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，AOB是锐角还是钝角？134（2002苏州）已知反比例函数和一次函数y=kx1的图象都经过点P（m，3m）（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；（2）若点M（a，y1）和点N（a+1，y2）都在这个一次函数的图象上试通过计算或利用一次函数的性质，说明y1大于y2136（2003海南）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6（1）求这个一次函数的解析式；（2）求POQ的面积137己知：如图，梯形ABCD中，ADBC，B

7、Cy轴于C，AD=1，BC=4，tanABC=反比例函数y=的图象过顶点A、B（1）求k的值；（2）作BHx轴于H，求五边形ABHOD的面积138（2003泰州）点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，RtAOP的面积大小是否变化？若不变，请求出RtAOP的面积；若改变，试说明理由；（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1_S2（选填“”、“”、“=”）；（3）如图丙，AO的延长线与

8、双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数139一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6x12cm，求小矩形宽的范围140已知反比例函数图象过第二象限内的点A（2，m），ABx轴于B，RtAOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，），（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式；2求AOC的面

9、积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由141（2008湖州）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k0）的图象与AC边交于点E（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记S=SOEFSECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由142如图，已知反比例函数y=的图象经过点

10、A（1，3），一次函数y=kx+b的图象经过点A与点C（0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B（3，n）（1）试确定这两个函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）根据图形直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围参考答案与试题解析解答题121（2003荆门）如图，已知一次函数y=x+8和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B（1）求实数k的取值范围；（2）若AOB的面积S=24，求k的值考点：反比例函数综合题专题：计算题；数形结合分析：（1）解由它们组成的方程组，得关于x的二次方程，运用根与系数关系求实数k的取值范围；（2）SAOB=SCOBSCOA，据此得关系式

11、求解解答：解：（1）（x4）2=16k整理得x28x+k=0图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B=644k0解得：k16，0k16；（2）令一次函数y=x+8中x=0，解得y=8，故OC=8，SCOB=OCx2，SCOA=OCx1，24=4（x2x1），（x2x1）2=36，（x1+x2）24x1x2=36，一次函数y=x+8和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点，x+8=，x28x+k=0设方程x28x+k=0的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得：x1+x2=8，x1x2=k644k=36k=7点评：此题把函数与一元二次方程根与系数关系联系起来，重点在运用一元二次方程根与

12、系数关系解题122（2002烟台）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a0），ACx轴，垂足为点C，且AOC的面积为2（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点（a，y1），（2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；（3）求AOB的面积考点：反比例函数综合题专题：计算题；数形结合分析：（1）由SAOC=xy=2，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=4；（2）由于反比例函数的性质是：在x0时，y随x的增大而减小，a2a，则y1y2；（3）连接AB，过点B作BEx轴，交x轴于E点，通过分割面积法SAOB=SAOC+S梯形ACEBSBOE求得解答

13、：解：（1）SAOC=2，k=2SAOC=4；y=；（2）k0，函数y在各自象限内随x的增大而减小；a0，2aa；y1y2；（3）连接AB，过点B作BEx轴，SAOC=SBOE=2，A（a，），B（2a，）；S梯形=，SAOB=SAOC+S梯形ACEBSBOE=3点评：此题重点检查函数性质的应用和图形的分割转化思想同学们要熟练掌握这类题型123如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，点B的坐标为（，m），过点A作AHx轴，垂足为H，AH=HO（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积考点：反比例函数综合题专题

14、：计算题；数形结合分析：（1）在RtOAH中，OA=，根据它们可以求出A的坐标，然后代入反比例函数解析式中，就可以确定反比例函数的解析式，再把B的坐标代入确定B的坐标，最后代入y=kx+b确定k，b的值；（2）根据一次函数的解析式可以确定D的坐标，然后利用面积的分割法求出AOB的面积，可以分割成SAOB=SAOD+SBOD去求解答：解：5=AH2+4AH2，AH=1，HO=2，A（2，1）（2分）点A在反比例函数的图象上1=，k=2；反比例函解析式为（3分）将，（4分）把A（2，1）和B（，4）代入y=ax+b中得解得a=2，b=3一次函数解析式为y=2x3；（6分）（2）OD=|b|=3SA

15、OB=SAOD+SBOD=（8分）点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用函数解析式确定点的坐标，再根据坐标确定不规则图形的面积124如图，点A（m，m+1），B（m+3，m1）都在反比例函数的图象上（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式考点：反比例函数综合题专题：计算题；数形结合；方程思想分析：（1）求m、k两个未知字母，把A、B两点代入反比例函数即可；（2）按图中所给情况，M、N有可能都在坐标轴的正半轴，也有可能在坐标轴的负半轴，平移应找到对应点，看是如何平移得到求出直线MN的

16、函数表达式，需求出A，B两点的坐标解答：解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m1），解得m=3，（2分）A（3，4），B（6，2），k=43=12；（3分）（2）存在两种情况，如图：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1），四边形AN1M1B为平行四边形，线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），N1点坐标为（0，42），即N1（0，2），M1点坐标为（63，0），即M1（3，0），（4

17、分）设直线M1N1的函数表达式为y=k1x+2，把x=3，y=0代入，解得，直线M1N1的函数表达式为；（5分）当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2），ABN1M1，ABM2N2，AB=N1M1，AB=M2N2，N1M1M2N2，N1M1=M2N2，四边形N1M2N2M1为平行四边形，点M1、M2与线段N1、N2关于原点O成中心对称，M2点坐标为（3，0），N2点坐标为（0，2），（6分）设直线M2N2的函数表达式为y=k2x2，把x=3，y=0代入，解得，直线M2N2的函数表达式为所以，直线MN的函数表达式为或（7分）点评：过某个

18、点，这个点的坐标应适合这个函数解析式平行四边形从动态来看也可以是由一条线段平移得到的125已知：反比例函数和在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，ABy轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与，的图象交于点C、D（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；（2）若点A的横坐标为m，比较OBC与ABC的面积的大小，并说明理由；（3）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标考点：反比例函数综合题专题：计算题；数形结合；几何变换分析：（1）首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式，可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标根据点

19、C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式，根据题意，得点F的横坐标是2，再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标；（2）根据（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四个点的坐标，从而求得直角三角形ABC的面积；由于三角形OBC的形状不规则，可以对其面积进行转换作BMx轴于点M作CNx轴于点N根据反比例函数的解析式可知：SOCN=SOBM=1所以该三角形的面积即为梯形CNMB的面积，根据梯形的面积公式进行计算，再进一步比较其大小；（3）根据两个三角形相似，则夹直角的两组对应边的比应相等，即AB2=ACBD，再结合（2）中的坐标计算出线段的长度，列方程得m4=16，又m

20、0，则m=2解答：解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（，4），D（8，1）（1分）解一：直线CD的解析式为（2分）ABy轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，x=2时，点F的坐标为（3分）解二：梯形ACBD，ACBD，F为梯形ACBD的对角线的交点，ACFBDF，点F的纵坐标为（2分）点F的坐标为；（3分）（2）如图，作BMx轴于点M作CNx轴于点N当点A的横坐标为m时，点A、B、C、D的坐标分别为（4分）SOBC=S梯形CNMB+SOCNSOBM=S梯形CNMB=（5分）SOBCSABC；（6分）（3）点A的坐标为（2，4

21、）（7分）点评：注意几个结论：（1）双曲线y=上任意一点向x轴或y轴引垂线，这点、垂足和原点组成的三角形的面积是；（2）平行于x轴的线段的长等于两个点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段的长等于两个点的纵坐标的差的绝对值126如图所示，已知点A（4，m），B（1，n）在反比例函数y=的图象上，直线AB分别与x轴，y轴相交于C，D两点（1）求直线AB的解析式；（2）求C，D两点坐标；（3）SAOC：SBOD是多少？考点：反比例函数综合题专题：计算题；数形结合；待定系数法分析：（1）把A，B两点代入反比例函数解析式就能求得完整的坐标，设出一次函数解析式，代入即可；（2）结合（1）所求的函数解析式，

22、当x=0时，是D的坐标，当y=0时，是C的坐标；（3）利用相应坐标算出它们的面积，求出比值解答：解：（1）A（4，m），B（1，n）在反比例函数y=上，m=2，n=8，A（4，2），B（1，8），设直线AB的解析式为y=kx+b，2=4k+b，8=k+b，解得k=2，b=6，y=2x6；（2）当y=0时，x=3，当x=0时，y=6，C（3，0），D（0，6）；（3）SAOC=32=3，SBOD=61=3，SAOC：SBOD=1：1点评：过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式注意坐标轴上的点的特点127如图，直线y=kx+2k（k0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A、

23、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限（1）求双曲线的解析式；（2）求B点的坐标；（3）若SAOB=2，求A点的坐标；（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题专题：开放型；分类讨论分析：（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值；（2）利用y=kx+2k当y=0时，x=2就知道B的坐标；（3）根据（1）知道OB=2，而SAOB=2，利用它们可以求出A的坐标；（4）存在点P，使AOP是等腰三角形只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解解答：解：（1）y=（m+5）x2m+

24、1是双曲线m=1（2分）（3分）（2）直线y=kx+2k（k0）与x轴交于点B当y=0时，0=kx+2kx=2（5分）B（2，0）（6分）（3）B（2，0）OB=2（7分）过A作ADx轴于点D点A在双曲线y=上，设A（a，b）ab=4，AD=b（8分）又SAOB=OBAD=2b=2b=2（9分）a=2，A（2，2）（10分）（4）P1（2，0），P2（4，0），P3（2，0），P4（2，0）（写对一个得一分）（14分）点评：此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标128如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，过

25、B作BCx轴，垂足为C，且BOC的面积等于4（1）求k的值；（2）求A、B两点的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：反比例函数综合题专题：开放型分析：（1）用B点坐标表示BOC的面积建立关系式求k；（2）解由函数解析式组成的方程组；（3）存在分别以OA为斜边和直角边分类讨论解答：解：（1）设点B（x，y），则BC=|y|=y，CO=|x|=x，B（x，y）在反比例函数的图象上，xy=k，因BOC的面积等于4，k=8；（2）k=8，所以反比例函数的解析式为，解方程组：，得：x1=4，y1=2；x2=4，y2=2，

26、点A（4，2），B（4，2）；（3）存在当APx轴时，如图（1）点P（4，0），当APAO时，如图（2）设P（m，0），过点A作ADx轴于D，由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m4，在RtADO中，AO2=AD2+DO2=20，在RtADP中，AP2=AD2+DP2=4+（m4）2，在RtAOP中，PO2=AO2+AP2，即：20+4+（m4）2=m2，解得m=5，所以P（5，0），综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得POA为直角三角形点评：注意点的坐标与线段长度的联系；分类讨论思想的应用，培养严谨的思维习惯129如图，直线y=kx+2k（k0）与x轴交于点B，与双曲线

27、交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限（1）求B点的坐标；（2）若SAOB=2，求A点的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标考点：反比例函数综合题专题：开放型分析：（1）利用y=kx+2k，当y=0时，可以求出x的值，从而求出B的坐标；（2）设点A坐标为（a，b），OB=2，根据SAOB=2可以求出b，然后求出a，也就求出了A的坐标；（3）存在这样的点P，使AOP是等腰三角形，找P时没有确定谁是腰，谁是底，所以要分类讨论解答：解：（1）对于y=kx+2k，当y=0时，x=2，（2分）B点坐标为（2，0）；（2分）（2）

28、设点A坐标为（a，b），点A在第一象限，a0，b0，SAOB=2，b=2（4分）点A在双曲线上，a=2（5分）A坐标为（2，2）；（6分）（3）符合条件的点P有4个，坐标为：（0，2），（0，4），（0，），（0，）（10分）点评：此题主要考查利用一次函数，反比例函数的性质，利用他们确定点的坐标，图形的变换130如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（2，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA，OB求三角形OAB的面积考点：反比例函数综合题专题：计算题；待定系数法分析：（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B

29、点坐标，进而求一次函数解析式；（2）求出直线与一条坐标轴的交点坐标，将OAB分割成两个三角形求面积解答：解：（1）x=3，y=1代入y=，m=3，反比例函数的解析式为y=，把x=2，y=n代入y=得n=把x=3，y=1；x=2，y=分别代入y=kx+b中：得，解得一次函数的解析式为y=x；（2）设直线AB交x轴于点E，E（1，0）则SAOB=SAEO+SBOE=0.5+0.75=1.25点评：此题主要考查检查利用待定系数法确定函数关系式及图形的面积分割转化思想方法131如图，反比例函数（x0）与一次函数y2=kx+b的图象相交于A、B两点，已知当y2y1时，x的取值范围是1x3（1）求k、b的

30、值；（2）求AOB的面积考点：反比例函数综合题专题：计算题；方程思想分析：（1）根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，A、B的横坐标分别为1、3，代入方程求解得到k、b的值；（2）求直线与x轴交点C的坐标，SAOB=SAOCSBOC解答：解：（1）由已知得A、B的横坐标分别为1，3，所以有，（3分）解得（4分）（2）设直线AB交x轴于C点，由y2=x+4得，C（4，0），A（1，3），B（3，1），（8分）SAOC=，SBOC=，SAOB=SAOCSBOC=62=4点评：此题考查了从函数图象中获取信息的能力，求面积运用了分割转化思想132如图：P是反比例函数y=（k0）图象在第一象限上的一个

31、动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知POM的面积为2（1）求k的值；（2）若直线y=x与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，2）的直线表达式；（3）过A作ACy轴于点C，若ABC与POM相似，求点P的坐标考点：反比例函数综合题专题：动点型；数形结合分析：（1）设出点P的坐标，用它表示出三角形的面积，反比例函数的比例系数=这点横纵坐标的积；（2）让正比例函数和反比例函数组成方程组求出在第一象限的交点A，把A，B两点代入一次函数解析式即可；（3）直角相等是固定的，当另两对角的对应是不固定的，所以应分两种情况进行讨论解答：解：（1）POM的面积为2，设P（x，y），xy=

32、2，即xy=4，k=4；（2）解方程组，得，或，点A在第一象限，A（2，2），（3分）设直线AB的表达式为y=mx+n，将A（2，2）B（0，2）代入得：解之得，直线AB的表达式为y=2x2；（3）若ABCPOM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，又PMOM=2，即2PMPM=2，得PM=P（2，）；若ABCOPM，同上述方法，易得OM=，P（，2），符合条件的点P有（2，）或（，2）（9分）点评：反比例函数的比例系数等于它上面的点的横纵坐标的积；求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；当没有给出相似三角形的对应顶点时，需注意分情况探讨133（2001广州）已知直线y=x+6和

33、反比例函数y=（k0）（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，AOB是锐角还是钝角？考点：反比例函数综合题专题：分类讨论；方程思想分析：（1）当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次方程的判别式大于0时，两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；（2）结合（1）中k的取值范围，分情况探讨AOB是锐角还是钝角解答：解：（1）分两种情况：当比例系数符号相同，即k0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；解方程组，整理得：x26x+k=0，它们有两个公共点，364k0，解得k9，在第一，三象限，0k9

34、故当0k9或k0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；（2）当k0时，如图1，点A、点B分别在第二、四象限，连接OA、OB，可知AOBxoy=90，故AOB为钝角；当0k9时，如图2，点A、点B都在第一象限，连接OA、OB，可知AOBxOy=90，故AOB为锐角点评：一次函数和反比例函数有两个交点时，这两个交点可能在两个不同的象限内，也可能在同一个象限内134（2002苏州）已知反比例函数和一次函数y=kx1的图象都经过点P（m，3m）（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；（2）若点M（a，y1）和点N（a+1，y2）都在这个一次函数的图象上试通过计算或利用一次函数的性质，

35、说明y1大于y2考点：反比例函数综合题专题：待定系数法分析：（1）将点P（m，3m）代入反比例函数解析式可得m=1；故P的坐标（1，3）；再将点P（1，3）代入一次函数解析式可得：3=k1；故k=2；故一次函数的解析式为y=2x1；（2）将MN的值代入一次函数解析式可得y1=2a1，y2=2（a+1）1=2a3，做差可得y1y2=2a1（2a3），由a的值判断可得y1大于y2解答：解：（1）将点P（m，3m）代入反比例函数解析式可得：3m=3；即m=1，故P的坐标（1，3），将点P（1，3）代入一次函数解析式可得：3=k1，故k=2，故一次函数的解析式为y=2x1；（2）M、N都在y=2x1上

36、，y1=2a1，y2=2（a+1）1=2a3，y1y2=2a1（2a3）=1+3=20，y1y2点评：此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用136（2003海南）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6（1）求这个一次函数的解析式；（2）求POQ的面积考点：反比例函数综合题专题：数形结合；待定系数法分析：（1）首先根据点P的纵坐标是6，结合反比例函数的图象求得点P的横坐标，再根据点P的坐标求得一次函数的解析式；（2）可以求得直线和x轴的交点坐标以及联立解方程组求得点Q的坐标，再进

37、一步根据x轴所分割成的两个三角形的面积进行计算解答：解：（1）把y=6代入，x=2，把（2，6）代入一次函数y=kx+4，k=1，一次函数的解析式是y=x+4；（2）根据（1）中的直线的解析式，令y=0，则x=4，即直线与x轴的交点M的坐标是（4，0），根据题意得，解得或即点Q（6，2），SPOQ=SOMQ+SOMP=42+46=4+12=16点评：此题要求学生既能够根据函数的解析式求得点的坐标，也能够根据点的坐标求得函数的解析式，还也能够运用分割法求得不规则三角形的面积137己知：如图，梯形ABCD中，ADBC，BCy轴于C，AD=1，BC=4，tanABC=反比例函数y=的图象过顶点A、B

38、（1）求k的值；（2）作BHx轴于H，求五边形ABHOD的面积考点：反比例函数综合题专题：数形结合；几何变换分析：（1）根据三角函数的定义，把ABC放在直角三角形中，所以作AEBC于点E，由已知可求CD长，即是A、B两点纵坐标的差，据此得方程求k值；（2）S五边形ABHOD=S梯形ABCD+S矩形BHOC解答：解：（1）作AEBC于点E，BE=BCAD=41=3，（1分），AE=DC=2，（2分）设A（1，y1）B（4，y2），y1=k，y1y2=CD=2，（4分）；（5分）（2），当x=4时，（6分）S五边形ABHOD=S梯形ABCD+S矩形BHOC=（8分）点评：此题打破常规，把图形放在第

39、二象限研究问题，需注意点的坐标与线段长度的关系138（2003泰州）点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，RtAOP的面积大小是否变化？若不变，请求出RtAOP的面积；若改变，试说明理由；（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2（选填“”、“”、“=”）；（3）如图丙，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为

40、一个常数考点：反比例函数综合题专题：动点型分析：（1）本题还可依据比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于|k|=，因而当点P在x轴的正方向上运动时，RtAOP的面积大小不变；（2）根据（1）可以得到BDO的面积，因而S1S2解答：解：（1）RtAOP的面积不变，总等于；（2）根据AOP的面积等于S1，BOD的面积大于S2，S1S2；（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（a，b），则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线的图象上，因而ab=1，则四边形APFH的面积是2ab=2点评：本题考查函数图象交点坐标的求

41、法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|139一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6x12cm，求小矩形宽的范围考点：反比例函数综合题专题：开放型；待定系数法分析：（1）根据图象信息利用待定系数法可以确定函数解析式；（2）根据（1）的函数关系式可以知道小矩形的面积，从而可以求出“E”图案的面积；（3）根据（1）的函数

42、关系式可以确定小矩形的宽的取值范围解答：解：（1）设函数关系式为，函数图象经过（10，2）k=20，0x16，0y16，0x16，016，x16；（2）xy=20，SE=S正=162220=216；（3）当x=6时，当x=12时，小矩形的长是6x12cm，小矩形宽的范围为点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质求点的坐标140已知反比例函数图象过第二象限内的点A（2，m），ABx轴于B，RtAOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，），（1）求反比例函数的解析式和直线y=ax+b解析式；2求AOC的面积；（3）在坐标轴

43、上是否存在一点P，使PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由考点：反比例函数综合题专题：开放型分析：（1）根据AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式进而求得C点的坐标根据C、A的坐标即可求得直线AC的解析式；（2）将AOC分成AOM和COM两部分进行求解先根据直线AC的解析式求出M的坐标，即可得出OM的长，然后根据A、C的纵坐标即可求出AOC的面积；（3）以O为圆心，OA为半径，交坐标轴于四点，这四点均符合点P的要求以A为圆心，AO为半径，交坐标轴于两点，作AO的垂直平分线，交坐标轴于两点，因此共有8个符合要求的点解答：解：（1）在RtOAB中，OB=2，SOAB=3，AB=3，即A（2，3），反比例函数的解析式为y=，C（4，），设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，y=x+；（2）根据（1）y=x+，得M（2，0），OM=2，SAOC=SAOM+SOCM=23+2=4.5；（3）存在A（2，3），OA=，当OA=OP时，P1（0，）、P2（，0）、P3（0，）、P4（，0）；当OA=AP时，P5（0，6）、P6（4，0）；当AP=OP时，P7（0，）、P8（，0）点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力要注意（3）在不确定等