基础送分专题三不等式讲义理

1、基础送分专题三不等式1.A.C.不等式的性质及解法题组练透（2019届高三南宁二中、柳州高中联考 ）设ab, a, b, c R,则下列式子正确的2 2ac bcaB.b12 . 2D . a b解析：选C若c= 0，则ac2= bc2，故A错；若bb c,故C正确；若a, b都小于0,贝U a2b2,故D错.于是选 C.2.1已知关于x的不等式（ax 1）（ x + 1）0,1x2q： | x| 20，解得 x5 或 x 4. q：由 冈 一 20? (1 x2)(|x| 2)0 时，可化为(x+ 1)( x1)( x 2)0，解得 0wx2.1 x2当 x0 时，可化为(x 1)( x+

2、1)( x + 2)0，解得一1x0 或 x 2,故 | x| 20 的解为x 2或一1x2,所以由p? q,但q制p,故选A.4若不等式（a24） x2 + （a+2）x 10的解集是空集，则实数 a的取值范围为（）6A. 2，56B 2, 5c 6 c 6c. 2, 5d. 2， 5 U 2解析：选B当a2-4 = 0时，解得a= 2或a=-2,当a= 2时，不等式可化为 4x 10,解集不是空集，不符合题意；当a= 2时，不等式可化为10,此式不成立，解集为空集.当a2 4工0时，要使不等式的解集为空集，则有2a 40,6622解得2a6.综上，实数a的取值范围为 2, 故A = a+

3、2+ 4a 4 0在区间1,5上有解，则a的取值范围是 解析：由A = a2 + 80,知方程x2+ ax 2= 0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，23百,-pm所以方程x2+ ax 2= 0必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是23f(5) 0,解得a ，故a的取值范围为5答案：,+m题后悟通快 审 题1. 看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质.2. 看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤.准解题1. 明确解不等式的策略(1) 一兀一次不等式：先化为一般形式ax + bx+ c0(a0)，再结合相应一次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.(

4、2) 含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解.2. 掌握不等式恒成立冋题的解题方法(1) f (x) a 对一切 x 1 恒成立？ f(x)mina；f (x) a 对一切 x I 恒成立？ f (x) maxg(x)对一切x I恒成立？ f(x)的图象在g(x)的图象的上方.(3) 解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般 地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常 用到函数单调性、基本不等式等.避误区解形如一元二次不等式ax2 + bx+ c0时，易忽视系数 a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0,

5、 a 0,1. （2019届高三重庆调研）若实数x, y满足约束条件 2x y 30,则 z= 2xy 2 0,2. （2018 广州测试）若x, y满足约束条件2y10,则 z = x2+ 2x+ y2 的最小值为（）A. 2B.C.解析：选 D画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z = x2+ 2x+ y2= （x + 1）2+ y2 1的几何意义是平面区域 内的点到定点（一1,0）的距离的平方再减去1,观察图形可得，平面区域内的点到定点（一1,0）的距离的最小值为2,故 Zmin = 4 1 = 4.y x,3. （2019届高三湖北八校联考）已知x, y满足约束条件

6、x+ y m,2y的最大值为4,则实数m的值为（）A. 4C. 1解析：选B作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z= x+ 2y过A点时z取得最大值4,由x+ y= 2,得 A（0,2），所以 m2X 0 2 = 2.x+ 2y = 4,4. （2018 合肥质检）某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A, B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时,B设备6小时，生产一件乙产品需用 A设备3小时，B设备1小时.A, B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最

7、大值为（）A. 320千元B . 360千元C. 400千元D . 440千元解析：选B设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为2x+ 3y 0,y w 0,则z= 3x+ 2y的最大值为.解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示. ,/口3 z由z = 3x + 2y,得y=尹+夕3作直线Io： y =尹.平移直线10,当直线y = |x+1过点（2,0）时，z 取最大值，Zmax= 3X 2+ 2X 0= 6.答案：6题后悟通$ zjf-y+l=D快审题1. 看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解.22v b2. 看到形如z= (x a) m (y b)和形如z=，想到其几何

8、意义.x a3. 看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义.准解题记牢三种常见的目标函数及其求法(1)截距型：形如z= axm by,求这类目标函数的最值常将函数z = axm by转化为y =ax+b通过求直线的截距 若的最值间接求出z的最值. 距离型：形如z= (x a)2m (y b)2,设动点P(x, y)，定点Ma, b)，则z =2| PM .y b斜率型：形如 z=，设动点F(x, y)，疋点M(a, b)，则z kPM避误区1. 忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值.2. 求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将

9、各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.题组练透111 .已知正数 a, b的等比中项是 2,且m= b+-，n = a+二，贝U vm- n的最小值是()abA. 3B . 4C. 5D . 611解析：选C由正数a, b的等比中项是2,可得ab= 4，又m= b+-，n= a+二，ab所以mmn= ambm1 + 2+勺= 5,当且仅当 a= b= 2时取=”，故mm n的最小值为5.221422. 已知Ra, b)为圆x my = 4上任意一点，则当 -m 2取最小值时，a的值为()a b4A.B . 254C3D . 3.

10、. 2 2 2 2解析：选 C / p(a, b)为圆 x + y= 4 上任意一点，二 a + b = 4.又 az0, bz0,14114二 a2+b2=4 a+ b2.2 ,214221 b 4a(+ b) = 4 5+ 尹盲22824当且仅当b = 2a = 3时取等号，故 a = 3,选C.33设x,则函数y = x+才-丈勺最小值为 11 111解析:x+ 22- 2 = 0.当且仅当x + -= ，即x =訓寸2 1 2 12 x+2x+2等号成立.答案：04. (2018 石家庄质检)已知直线 I : ax+ by ab= 0(a0, b0)经过点(2,3)，贝U a+ b 的

11、最小值为.解析：因为直线I经过点(2,3),所以 2a+ 3b ab= 0,即 a+1= 1 a b所以 a+ b= (a+ b) 3+ b = 5 + 3b+ 2J5+ 乐，当且仅当字2?，即 a= 3+击,b= 2+ ,6时等号成立.答案：5 + 2 .6甲乙8 876八0802 y6 591 3 65. (2018 洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中 各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们 取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a, b满14足a, G b成等差数列且x, G y成

12、等比数列，则J石的最小值为 解析：由甲班学生成绩的中位数是81,可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x= 1.由乙班学生成绩的平均数为86,可得(10) + ( 6) + ( 4) +(y 6) + 5+ 7+ 10 = 0,解得y= 4.由x, G, y成等比数列，可得 U= xy = 4,由正实数a,141141b 满足 a, G, b 成等差数列，可得 G= 2, a+ b= 2G= 4，所以 a+ =47+ ( a+ b) =4b 4a 191491+ a+4 4X (5+4) = j当且仅当b=2a时取等号).故a+ b的最小值为4答案：94题后悟通快 审

13、题看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”.准解题掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1) 凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.(2) 凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从 而可利用基本不等式求最值.(3) 换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子A分开，即化为y 耐+ Bqx)(A0, B0), g( x)恒正或恒负的形式，然后运用基g x本不等式来求最值.避误区运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正” “二定”“三相等”.所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积

14、为定值；“三 相等”是指满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等 号成立的条件一致，否则最值取不到专题过关检测一、选择题1.已知不等式X2 2x 3 v 0的解集为 A不等式X2+ x 6v 0的解集为B,不等式x2 + ax+ bv 0 的解集为 An B,贝U a+ b=()A. 1B. 0C. 1D. 3解析：选D由题意得，不等式 x2 2x 3v 0的解集A= ( 1, 3)，不等式x2+ x 6v 0的解集B= ( 3,2)，所以An B= ( 1,2)，即不等式x2 + ax+ bv 0的解集为(一1,2)，所 以 a= 1, b= 2,所以 a+ b= 3

15、.2若xy0, nn,则下列不等式正确的是()A. xmymB. x ny nx y C. n mD . x xy解析：选D A不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m可能为0或负数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，因为 m, n的正负不确定.故选D.x一 33. 已知a R,不等式 1的解集为p,且一2?p，则a的取值范围为()x+ aB . ( 3,2)A. ( 3,+s)C. ( g, 2) U (3 , +g)D . ( g, 3) U 2 , +g)2 3解析：选D 2?p,- 1或2+ a= 0，解得宀或a0在0 ,+)上恒成立，则实数a的取值范

16、围为()A. (0，+m)B . 1，+g)C. 1,1D . 0，+m)解析：选B法一：当x= 0时，不等式为10恒成立;122I当 x0 时，x + 2ax +10? 2ax (x + 1)? 2a x + 一，又一 x1x+一x 2? a 1,所以实数a的取值范围为 法二：设f (x) = x2 + 2ax+1,函数图象的对称轴为直线x = a.1,当一aw 0,即即 a0 时，f(0)当一a 0,即av 0时，要使=1 0,所以当x 0，+g)时，f (x)0恒成立；f (x)0 在0，+g)上恒成立，需 f( a) = a2 2a2 + 1 =2a +10,得1 w av 0.综上,

17、实数a的取值范围为1,+).5.已知函数f (x)=2x ax,x2 1, xw0,若不等式f (x) + 10在R上恒成立,则实数a的取值范围为(A.(汽0)B . 2,2C. ( g,2D . 0,2解析：选C由f (x) 1在R上恒成立，可得当 xwo时，2x 1 1,即2x 0,显然成立；又x0 时,2 /2x + 111x ax一1，即为 aw= x+，由 x + 2，xX，X1x2,当且仅当x= 1时,取得最小值 2,可得aw2,综上可得实数 a的取值范围为(g, 2.6.若1b0,给出下列不等式:a b-1 1 a+L 0； ab； ln a l n b . ab其中正确的不等式

18、的序号是 (A.C.解析：选C法一：因为ab0，故可取 a= 1, b= 2.显然 |a| + b= 1 2 = 10,所以错误，综上所述,可排除A、B、D,故选C.法二：由1 1 0,可知 ba0. a b1 1 中，因为a+ b0,所以二，故正确；a十 b ab 中，因为 ba a0,故一b|a|，即| a| + b0,故错误；111111 中，因为ba0,又-匚匚0,所以ab匚，故正确；a ba ba b 中，因为baa20，而y = In x在定2 2义域（0 ,+s）上为增函数，所以In b ln a ,故错误.解析：选B41由 4x + y = xy，得y + -= 1,贝Uy x

19、41x+ y= (x+ y) y + x =空+ y + 1+ 42 ：4y x由以上分析，知正确.7.(2018 ，长春质检）已知x 0, y 0，且4x + y= xy，则x + y的最小值为（A.8B .9C.12D .16B.+ 5 = 9，当且仅当坐=,即卩x= 3, y = 6时取“=”，故选y xx + y 3w 0,目标函数z = kx y的最大值为6,&如果实数x,y满足不等式组 x 2y 3 1,最小值为0,则实数k的值为（）A. 1C. 3解析：选B作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.则 A（1,2） , B（1 , 1） , C（3,0）,因为目标函数z=

20、kx y的最小值为0,所以目标函数z= kx y的最小值可能在 A或B处取得,所以若在A处取得，则k 2= 0,得k= 2,此时，z= 2x y在C点有最大值，z= 2X3 0 = 6，成立;若在B处取得，则k + 1 = 0，得k= 1,此时，z= x y, 在B点取得最大值，故不成立，故选 B.9. （2019届高三湖北五校联考）某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为（）甲乙原料限额A吨3212B吨128A. 15万元C. 17万元B . 1

21、6万元D . 18万元解析：选D设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润元，由题意可知3x+ 2y w 12,x + 2yw 8,x 0,y 0,z= 3x+ 4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,直线z= 3x + 4y过点M时取得最大值,3x+ 2y = 12,x = 2,x+2y=8,得 y = 3,二 M2,3),故z = 3x + 4y的最大值为18，故选D.10.已知实数x, y满足约束条件X+ y 0,x 0,x- y + 5 0,解析：选A由约束条件x+ y0,x 2k3,厶十冋p、x+jr-011解得-5w k0, y0,且 + 3 = 1,3x y所以y y x+ 4= x+41 313 3xy+ =+ + 212 y + 12x 12 +3x y133xy 25V 亦=12 ,当且仅当3x=鲁,y12x即 x=6,y=5时取等号,y所以x+ 425min =12,故 n2+ 13n2512 巨0 ,解得nv H或 n 1,所以实数n的取值范围是oo話 U (1 ,+o ).2x + y 30如图中阴影部分所示，作出直线y = 3x,易知此直线与区域的边界31313线2x 2y 1 = 0的交点为一 ，当直线x= a过点石时，a=，又此时直线 y =8888 81 z1 Z121弔x的斜率的最小值