三角形内角和定理证明

1、三角形内角和定理证明 教案(第1课时共2课时)课 题 三角形内角和定理证明备课人 资中一中 朱德派授课时间2014年3月24日授课班级资中一中初2.x 班教学目标（一）知识与技能1掌握用多种方法证明三角形内角和定理及推论, 在此过程中培养学生观察、归纳、猜想、概括的基本技能。 2灵活运用三角形内角和定理及推论解决简单应用问题, 培养学生的逻辑推理能力. （二）过程和方法1通过学生折纸,拼角等动手操作和合作交流探索过程，让学生在数学活动中猜想、论证三角形内角和定理及推论，体会“数学实验、猜想数学命题、证明数学命题”探究方法。2通过在证明三角形内角和定理的过程不同辅助线的添加.感受数学一题多解的意

2、义和作用，培养学生的发散思维能力；（三）情感、态度与价值观要求1在探究过程中发现辅助线的添加规律，并能用符号表示，从而体会数学的简洁美2对比过去撕纸等，培养学生一些基本的数学思想方法如“转化思想”、“化归思想”、“类比推理”“逆向思维”等思想方法。通过学生的，在教师引导下学生亲身经历探索过程，加深对定理的理解，并体会思维实验和符号化的理性作用.重 点三角形内角和定理及推论的证明及简单应用难 点三角形内角和定理的证明及辅助线的添加.特色教学法“培优提中转差”教学法,即在教学中“培养优生，提高中等生，转化差生”。教具课件 、三角形纸片说明 把学生按照每期末数学成绩分成ABC类三个层次：A类指经过努

3、力可以学好教材上的基本内容，可进入职高继续学习；B类指能达到新课程标准的基本要求，具有一定的基础知识和基本技能，毕业时能考入普高继续学习；C类指具有扎实的基础知识和较强的学习能力，毕业时能考入普高的重点班学习。根据学生成绩变化动态的、粗略的分类，不是绝对的。 根据教学内容的要求和教学进程的不同分为ABC三个层次：(A)层次指全体学生本堂课都必须理解掌握的基础知识和基本技能； (B) 层次指BC类学生本堂课必须理解掌握的综合性知识和技能；(C) 层次指BC类学生课外作业或复习时尽可能掌握的较难的知识和技能。特别需要说明的是随着教学进程的推进，对同一个知识点的知识和技能要求要不断提高，比如：某一知

4、识点在新授课时是（B）层次，但练习课和复习课时就不一定是（B）层次，就可能是(A)层次。环节形式教学内容教学活动学生活动备注忆一忆一、引入新课1多媒体放一组与三角形有关的图片，让学生体会数学来源于生活。2复习： 什么是三角形？什么是三角形的边？什么是三角形的内角？什么是三角形的外角？教师提问抽学生口答探究量一量二、探究新知探究一（实践活动）1如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?教师提问抽学生口答用小学知识就能解答体现“低起点”的策略做一做2实验1：将纸片三角形三顶角剪下，如图（1）所示拼凑在一起。图1ABCAB3实验2 将纸片三角形三顶角剪下，如图（2）所示拼凑在一起。图2

5、ABCCB4实验3 将纸片三角形三顶角剪下，如图（3）所示拼凑在一起。 图3ABC B三角形的三个内角和是180你还记得小学里这个结论的探索过程吗?你有什么办法可以验证呢?把三个角拼在一起试试看？实验、猜想、合作探究较直观得到三角形的内角和是180活动目的：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明体现了“多层次”地策略。探究议一议5实验4：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行图（1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3），最

6、后得图（4）所示的结果 （1） （2） （3） （4）探究二（探索新知）已知:如图,ABC.求证:A+B+C=1800.证法一分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.证法二延长BC到D，在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作1=A，于是CEBA。ABCE213D证法三过A作EFBC，F21ECBA证法四过A作AEBCCBEA通过探究，使学生明白添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的同时也让学生体会到三角形内角和定理的证明思

7、想：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。（1）引导学生根据前三个实验拼图如何添加辅助线？（2）A组任选一种证法书写；B组第一、三组中选一种；C组第二、四组中选一种（3）实验4，B、C组在课外完成。活动目的：用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。同时也让学生体会一题多变的思想，培养学生交流能力，对知识进行巩固.引伸拓展议一议三、引伸拓展1TSN(3)ABCPQRM2用运动变化的观点理解和认识数学（1）在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当

8、点A越来越接近BC时, A就越来越大(越来越接近1800),而B和 C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?CBA（2）如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小(越来越接近00),而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么? CBA前面是从三角形的一个顶点作对边的平行线，现在移动位置行吗？思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.学生讨论，B、C组课外写出证明过程。探究议一议四、探究新知1.三角

9、形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有何关系？证法一ABCE213D证法二:ABC根据三角形内角和是1800的证明过程顺理成章的得出这两个推论。学生讨论，A、B、C组任选一种方法写出证明过程。说一说三角形外角的性质：性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 巩固练习做一做五、巩固练习1. (口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（1）3， 150， 27（2）60， 40， 90（3）30， 60， 502(口答)（1）在ABC中，A=35， B=43 则 C= . （2）在ABC中， A :B:C=2:3:4则A

10、 = B= C= . 3.已知:如图直角三角形ABC中B =90求证: A + C = 904. 已知:如图,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: 12.1.前两题学生口答2.后两题学生书面作业。设计五道阶梯式题型，目的面向全体学生，抓住“双基”让每一位学生都有成就感。教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏总结说一说学习本节课的收获：课堂小结 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ 辅助线的作法技巧. 三角形内角和定理的简单应用.活动目的：复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度有利于

11、学生对本节课的知识有一个系统的认识，加深对知识的理解和记忆.（1）学习了什么知识？本节课你学会了什么？它有什么作用？学生回答分层作业做一做五、分层作业（1）（2）（3）实验4，B、C组在课外完成。学生答在纸上板书设计 三角形内角和定理 1三角形的三个内角和是180（辅助线的作法技巧.） 2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。教学设计本节课是三角形内（外）角和定理的第一节课，主要讲三角形内角和定理及推论的证明，简单应用，第二课时主要讲三角形外角和定理，第三课时三角形内（外）角和定理的综合应运。设计的总体思路是：通过学生的动手操作和合作交

12、流，在教师引导下学生亲身经历探索过程，加深对定理的理解，并体会“数学实验、猜想数学命题、证明数学命题”探究方法。这个定理是任意三角形的一个重要性质，它与多边形的内角和联系较紧，又是将来学习圆等知识的基础，在理论与实践中都有广泛应用.因此，将之确定为本节课的重点.又因为八年级学生在思维上的限制，学习几何推理证明还比较生疏，添加辅助线是学生第一次接触它来证明几何问题.学生对几何中添加辅助线感到困难，因此将之确立为本节课的难点。一、 引入部分： 用实验折纸和拼角的方法验证三角形内角和定理对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此

13、需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。二 探索与应用 低起点”：就是在分析教材新旧知识衔接情况和学生对相关旧知识掌握情况的基础上，适当放低教学过程的起点，使全班绝大多数学生从教学过程开始，都能进入到教学活动的角色中来。因此，设计了一个回答学生熟悉的三角板的内角和的问题。 引导学生通过实验折纸和拼角，探究添辅助线用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。同时也让学生体会一题多变的思想，培养学生交流能力，对知识进行巩固. 体现了“多层次”地策略，使学生感受数学一题多解的应用价值，陶冶学生情操，引起兴趣。 通过探究，使学生明

14、白添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的同时也让学生体会到三角形内角和定理的证明思想：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。 反馈练习： 设计五道阶梯式题型，目的面向全体学生，抓住“双基”让每一位学生都有成就感，（4）（5）题是提高题，让学生在不同层次上发展，以此提高学生分析问题，解决问题的能力，并突破重点. 同时也使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进

15、行查缺补漏 课堂小结：证明三角形内角和定理有哪几种方法？辅助线的作法技巧.三角形内角和定理的简单应用.复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识，加深对知识的理解和记忆.三 小结与作业 完成教学任务后，引导学生进行自我小结，把本节课中自己最得意的部分展示给大家 。为了激发了学生的积极性，提高学生自我评价能力,作业处理分为 为三个方面：（1） 基础测试；（2）能力测试,給予学生充足的思考、讨论、合作学习的时间；（3）分层课外作业,尽量做到少而精。采用分层布置和自由选择相结合的办法，课外作业资料全效学习把各课时内容分成A、B、C三个层次，教师规定一些必做题，学生根

16、据自己的情况选作，提高了学生的参与意识，突出了学生的主体地位。让基础差的学生“吃得了”，让成绩好的“吃得饱”。 教后反思 教学方法“培优提中转差”教学法,即在教学中“培养优生，提高中等生，转化差生”。提出背景现在普及了初中教育，学生的基础参差不齐，素质教育要求我们必须面对全体学生实际情况。新课程标准指出“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。”教学实践经验的总结,我非常关注所教学生到高中后的发展情况。收集各方面的信息，好的、坏的都要收集研究

17、，不断改进自己的教学方法。例如：考上清华大学物理系的朱燮刚，就曾经说“评讲作业时，我从没有听过，都在做其他的数学难题”。从那以后，我就默许特优生有自由发展的空间。又例如：公派日本留学的韩洲以及考入清华的朱晓芳，就曾经说“他的数学成绩好，得益于节假日教师单独布置的特殊作业。”其实，这也符合因材施教的原则的。为了大力提高初中教学质量和更好地执行资中县教育局从2012年开始的初中毕业班工作的考核要求。教育理念 新课程标准指出“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展” “教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体

18、，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”育人观的转变新课标理念的核心是以人为本，整个数学教育活动也应以育人为核心，教学要面向全体学生，同时又要因材施教，要让学生在数学方面有特长，得到培养和发展。同时又不歧视“差生”耐心关心他们。既要着眼于当前任务的完成，又要看到适应学生今后长远的发展。有效课堂教学理论指出:学法观的转变学生的学习方法，一般可分为三个层次：（1）接受+记忆+模仿，（2）探索+实践，（3）创新。大量的基础学习仍然是以接受+记忆+模仿的形式展开，在此基础上又以探索+实践为主的学习活动，创新性学习则是要求更高的一种学习，对学生进行学法指导时应分不同年龄不同要求进行。在实践中，本人深刻体会到：培养不出尖子生,课堂教学缺乏榜样，社会不认可