高等数学-第8章 - (空间直线及其方程)

1、高等数学 课程相关 教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著, 厦门大学出版社,2006.7. 高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高 等教育出版社,2014.7. 高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上 下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版 社,2014.8. 第八章 空间解析几何与向量代数 8.1 向量代数 8.2 数量积 向量积 混合积 8.3 空间曲面及其方程 8.4 空间曲线及其方程 8.5 平面及其方程 8.6 空间直线及其方程空间直线及其方程 8.7 综合例题 平面及其方程

2、内容回顾 1.平面基本方程平面基本方程: 一般式一般式 点法式点法式 截距式截距式 0 dczbyax)0( 222 cba 1 c z b y a x 三点式三点式 0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 0)()()( 000 zzcyybxxa )0( abc 0 212121 ccbbaa 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 2.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系 平面平面 平面平面 垂直垂直: 平行平行: 夹角公式夹角公式: 21 21 cos nn nn 0 21 nn 0 21 nn , 0: 22222 dzcybxa

3、 ),( 2222 cban , 0: 11111 dzcybxa ),( 1111 cban 第六节 空间直线及其方程 1. 一般方程 2. 对称式方程与参数方程 3. 两直线的夹角 4. 直线与平面的夹角 5. 平面束 6. 点到直线的距离 x y z o 1 2 若空间直线若空间直线l为两平面为两平面 0: 11111 dzcybxa 0: 22222 dzcybxa 1111 2222 0 : 0 a xb yc zd l a xb yc zd l 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 与与 则方程组则方程组的交线，的交线， 称为空间直线的称为空间直线的一般一般方程方程。 x

4、y z o 如果一个如果一个非零非零向量平行于直线向量平行于直线l，这，这 个向量就称为直线个向量就称为直线l的一个的一个方向向量方向向量 s l ,),( 0000 lzyxm 设设 0 m m lzyxm),(smm 0 / 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程 的的一一个个方方向向向向量量，则则为为 ),(lpnms p zz n yy m xx 000 直线直线l的的点向式点向式方程方程 或或对称式对称式方程方程。 直线直线 l的一组的一组方向数。方向数。 0 / /m ms 又又 直线的直线的参数参数方程方程。 0 m mts ， ，即即),(),(

5、000 pnmtzzyyxx ptzz ntyy mtxx 0 0 0 得得 :l 例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 . 0432 01 zyx zyx 解解 在直线上任取一点在直线上任取一点),( 000 zyx 取取1 0 x, 063 02 00 00 zy zy 解得解得2, 0 00 zy 得直线上的一点得直线上的一点),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直 故可取故可取 21 nns ,3, 1, 4 因此，所求直线的对称式方程为因此，所求直线的对称式方程为 , 3 2 1 0 4 1 zyx

6、参数方程为参数方程为. 32 41 tz ty tx 例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( a，且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求 其其方方程程. 解解 因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 zyx ，则则，、若若 2122221111 ),(),( mmlzyxmzyxm :l 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 两点式两点式方程。方程。 注：注： 例例 3 3 求过求过)3 , 1 , 2(m且与且

7、与 l: 12 1 3 1 zyx 垂直相交的直垂直相交的直 线方程线方程. 解解先作过点先作过点m且与已知直线且与已知直线 l 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点n, ，由由 tz ty tx 12 13 l m n 代入平面方程，得代入平面方程，得 , 7 3 t交点交点) 7 3 , 7 13 , 7 2 ( n 取方向向量取方向向量 mn)3 7 3 , 1 7 13 , 2 7 2 ( ),4 , 1, 2( 7 6 所求直线方程为所求直线方程为 . 4 3 1 1 2 2 zyx : 1 l: 2 l 2 2

8、 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 | ),cos( pnmpnm ppnnmm ll 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角（锐角）（锐角）称为称为两直线的夹角两直线的夹角. 两直线的夹角公式。两直线的夹角公式。 三、两直线的夹角三、两直线的夹角 两直线的位置关系：两直线的位置关系： 21 )1(ll , 0 212121 ppnnmm 21 )2(ll/ , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m , 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx , 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx 直线直线 : 1 l 直线直线 : 2

9、 l ,0, 4, 1 1 s ,1 , 0 , 0 2 s , 0 21 ss , 21 ss 例如，例如， . 21 ll 即即 例例4 4 求直线求直线 1 13 : 141 xyz l 和和 2 2 : 221 xyz l 的夹角的夹角. . 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 | ),cos( pnmpnm ppnnmm ll 直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹 角角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角 ,: 000 p zz n yy m xx l , 0: dczbyax ),(pnms ),(cban 四、直线与平

10、面的夹角四、直线与平面的夹角 0. 2 ),( 2 ns ),( 2 ns 或或 直线与平面的夹角公式。直线与平面的夹角公式。 222222 | sin pnmcba cpbnam | ),cos(|sinns 解解),2, 1, 1( n (2,1,1),s 222222 | sin pnmcba cpbnam |12( 1) 112| 66 1 . 2 1 arcsin 26 为所求夹角为所求夹角 直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： l)1(. p c n b m a l)2(/. 0 cpbnam 典型习题：如习题8.6的第5题。 五、平面束 通过空间一直线可作无数多个平面，通

11、过同通过空间一直线可作无数多个平面，通过同 一直线的所有平面构成一个平面束一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线设空间直线l的的 一般方程为一般方程为 1111 2222 0, 0, a xb yc zd a xb yc zd 则方程则方程 11112222 ()()0a xb yc zda xb yc zd 称为过直线称为过直线 l 的平面束方程，其中的平面束方程，其中 为参数为参数. 解 设过直线l 的平面束 的方程为 (26)(2)0,xyzxyz 即 (1)2(1)(1)60.xyz 显然平面 的法向量应垂直于平面 的法向量，于是 (1)4(1)(1)0, 解得2, 故所求平面方程

12、为 :3260.xyz 容易验证，平面20 xyz不是所求平面. 1 ( ) 练习： 1、空间直线的、空间直线的一般一般方程方程. 2、空间直线的、空间直线的对称式对称式方程、方程、参数参数方程方程. 3、两直线的夹角、两直线的夹角. 4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角. （注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系） （注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系） 六、小结六、小结 5、平面束 1. 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 0 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa tpzz tnyy tmxx 0 0 0 p zz n yy m xx 000 )0( 222 pnm 内容小结内容小结 , 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx l ： 直线 0 212121 ppnnmm , 2 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx l ： 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 2. 线与线的关系线与线的关系 直线 夹角公式: ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 0 21 ss 21 ll 21 / ll0 21