大一上学期(第一学期)高数期末考试题汇编

1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有()(A) f(O)=2( B)f (0)= 1 (C) f(0)=0( D)f(x)不可导.设(x) = _x, P(x)=3 3/ X,则当x - 1时()2.1 x.(A) (x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)(x)与-(x)是等价无穷小；(C(X)是比-(x)高阶的无穷小；(D) - (x)是比(x)高阶的无穷小.x3.若F (x)= o (2t_x) f (t)dt，其中f(x )在区间上(-1,1)二阶可导

2、且 f(x) 0，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x = 0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y二F(x)的拐点；(D)函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0)也不是曲线y = F(x)的拐点。14 设f (x)是连续函数，且f (x)= x + 2J0 f(t)dt ,贝U f(x)=(.x2x22(A) 2( B) 2(C) x -1(D) x 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim(1 3x)航二x .0已知cosx是f(x)的一个原函数，x5.6.则 f(x) COS

3、xdx =x2 2? 2 _ 1lim (cos coscos)=7. n nnn.12 2x arcsin x 1 dx =11 - x28. - 2.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.设函数y = y(x)由方程ex_ sin(xyp1确定，求y(x)以及y).10.1 - x7x(1 x7)dx.11.xe X,2x - x2,12.0 x 11f(xt)dt0求；f(x)dx g(x)=设函数f(x)连续，g(X)并讨论g(x)在x =o处的连续性.lim = A，且x0 X，A为常数.求y(1) =13.求微分方程Xy 2y = x In x满足9的解.四、解答题

4、(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y二y(x)(x -o)，过点(o,1)，且曲线上任一点 M(xo,y。)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x = x所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln X的切线，该切线与曲线y = ln X及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在上连续且单调递减，证明对任意的q，0,1，q1f ( x ) dx q f ( x) dx00Tl

5、JIr 1Jf(x)dx=0 Jf(x) COS x dx = 017. 设函数f(x)在0 上连续，且0,0证明：在0,二内至少存在两个不同的点1 , 2，使f1)= f2)= 0.(提XF(x)二 f(x)dx示：设0解答一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1、D 2、A 3、C 4、C4 分,兀二、填空题(本大题有4小题，每小题1 COSX 2e6- ()+ C5. e . 6. 2 x.7.三、解答题(本大题有5小题，每小题9. 解：方程两边求导ex y(1 y ) cocy( xy)( yy(x-ex； ycos(xy)e +x cos(xy)x = 0, y =

6、0 , y (0) = -110. 解: u = x7 7x6dx=du原式=-7 * u(1 +u)1 (ln |u| -2ln |u 1|) c12丄ln| x71-2ln|1 x7| C77f (x)dxxedx2x-x2dx330:xd(-e； 1丄 屮0-xe -edu（丄一7 u11.解:兀32e -1412.解：由f(0) =0共 16 分)g(x)二2.8分,-(x - 1)2dx8.3共 40 分)亠 I cos (令x-1 二si”) 一21f(xt)dt 二0知 g(0) =0。xt I f(u)duxt =u0x(x= 0)xxf(x) - f (u)du g (x)2

7、x(X=0)f(u)dug (0)二 lim 2lim f(X)二 Ax)0x2x 少 2x 2X2 , g (x)在X = 0处连续。xf(x)Jf(u)du A A lim g (x) = lim02= A _三dy 2y = ln x2dx13. 解：dx x_fdxy = e x ( e x ln xdx C)1 t 1xln x x Cx391 1 1 y( 1 ) C=0 y xlnx x9，39四、解答题(本大题1分)X14. 解：由已知且八20ydx*，将此方程关于x求导得y 2y 特征方程：r2 -2=：0解出特征根:其通解为y=C1e.C2e2x代入初始条件y（o）= y（

8、）J得1 2xe3Ci2, C2 冷_2丄y e 故所求曲线方程为：3五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为由于切线过原点，解出X。二e，从而切线方程为:1 1A= J（ey _ey）dy = ：e_1则平面图形面积 02y - In Xo(xo,lnxo)，切线方程：1y xe1(x - Xo)Xo1= JI3Vi,则xD绕直线兀2旋转一周所得旋转体的体积2蔦（53）（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为曲线y = ln x与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积 为V21V2 =(eey)2dy0六、证明题(本大题有2小

9、题，每小题4分，共12分)q1qqiJf(x)dx_qJf (x)dx = J f (x) d x _q( J f (x) d x +J f (x)dx)16. 证明：oo00qqi二(1 _q) f(x)d x _q f(x)dxoqi【o,q 2 q，if ( i)_f( 2)=q(1-q)f (%)-q(1-q)f K 0故有：q1f (x) d x _ q f (x) dx00证毕。17.xF (x) = f f(t)dt , 0 兰 x 兰兀证：构造辅助函数：0。其满足在，二】上连续，在(0,二)上可导。F (x)= f(x)，且 F(0) = F()= 07171ji710 = J f (x)cosxdx =cosxdF(x) = F (x)cosx| + sinx F (x)dx 由题设，有00|00，JIF(x)sin