拉普拉斯变换及逆变换

1、第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆 变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。第一节拉普拉斯变换在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N。这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。、拉氏变换的基本概念定义12.1设函数f(t)当t0时有定义，若广义

2、积分 f(t)e ptdt在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即F(P)f (t)e ptdt0 ( 12.1) 称(12.1 )式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t) F(P)表示。函数F(P)称为f(t) 的拉氏变换(Laplace)(或称为f (t)的象函数)。函数f (t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为 F(P)象原函数)，记作1 1L F(P) f(t)，即 f(t) L F(P)。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求 f (t)在t 0时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后 总假定在t 0时，f(t) 0。

3、(2) 在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值。为了方便起 见，本章我们把 P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。(3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。 一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例12.1求斜坡函数f(t) at ( t 0，a为常数)的拉氏变换。解：Lat 0 ate ptdttd(ept)吒小e ptdt、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函 数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t 0)进入一单位电量的脉冲，现

4、要确定电路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即i(t) dQ(t)lim Q(tt) Q(t)dtt 0t，所以，当t0时，i（t） 0 ;当 t 0时，1limo(=)1（t）dt 0 dt工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示例12.2求单位脉冲信号（t）的拉氏变换。解：根据拉氏变换的定义，有显然，对任何 0,有1，所以(t)dt有些工程书上，将 函数的积分，叫做函数用一个长度 函数的强度。L (t)0(t)e ptdt(lim0)eptdtli叫0 e ptdtlim0-e ptdt0*0p11

5、 e plimp 0丄1屏p 0丄lim心1p 01例12.3现有一单位阶跃输入u(t)L(t)0,1,解：Lu(t)0 u(t)e ptdt1op ptdt0，求其拉氏变换。0丄e pt。 p(p 0)。例12.4求指数函数f（t）eat（a为常数）解：Leatat ptge dt(pa)tdt的拉氏变换。1，(Pa)，类似可得Lsintp(P0) ； Lcos t2(P 0)。i（0）啊度为此，弓1进一个新的函数,定义12.2这个函数称为狄拉克函数。0,t 0设（t）丄，0t，当0时，（t）的极限（t）lim0(t)0,t称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数。0,当t 0时，（t）的

6、值为0;当t 0时,（t）的值为无穷大，即(t)o上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。性质 12.1 （线性性质）若 a1，a2是常数，且 Lf1（t）F,p），Lf2（t） F2（p），则(12.2)La1fdt) a2f2(t) 泌戸a2Lf2(t)鮎) azF?证明:1例12.5求函数f(t) (1 e at)的拉氏变换a解：性质12.2 (平移性质) 若L f (t) Fp，则atLe f (t) F(p a)( a 为常数)(12.3)证明：位移性质表

7、明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移|a|个单位。例 12.6 求 Lteat， Le at sin t和 Le at cos t。解 因为Lt 丄，Lsin t ， Lcos t，由位移性质即得PPP性质12.3 (滞后性质)若L f (t)Lf(t a) eFp，则aPF(p) (a 0)(12.4)证明：Lf(t a)f (t a)e ptdt 0 _af(t0a)e ptdtf (taa)e ptdt在拉氏变换的定义说明中已指出，当t 0时，f(t) 0。因此，对于函数f(t a),当t a 0 (即t a)时，f(t a) 0 ,所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令

8、t a ，则滞后性质指出：象函数乘以e ap等于其象原函数的图形沿 t轴向右平移a个单位。由于函数f(t a)是当t a时才有非零数值。故与 f(t)相比，在时间上滞后了一个 a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质在实际应用中，为了突出滞后”这一特点，常在f(t a)这个函数上再乘u(t a)，所以滞后性质也表示为例 12.7 求 Lu(t a)。解：因为Lu(t)1，由滞后性质得PLu(tap 1a) e P例 12.8 求 Lea(t)u(t)。解：因为Leat1，所以 Lea(t)u(t1)e p- , (P a)P aP a0, t 0c, 0 t a例12.9已知f (t)，求

9、Lf (t)。2c, a t 3a0, t 3a解:f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t) cu(t) cu(t a) 2cu(t 3a)，于是ccapePP2ce3apPcap3ap、(1 e2e )P由拉氏变换定义来验证：(1Peap 2e ap2e3ap)-(1 e ap 2e 3ap)P。性质12.4 (微分性质)若 Lf(t)Fp，并设f(t)在0, +)上连续，f(t)为分段连续，则L f (t)pF(p) f(0)(12.5)证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得Lf(t)f(t)eptdt f(t)ept。P f(t)e ptdt0 0可以证明，在Lf(t)存在的条件下，必有li

10、m f (t)e pt 0。因此，t微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p，再减去函数的初始值。应用上述结果，对二阶导数可以推得 同理，可得 以此类推，可得(n)nn1n2(n 1).L f (t) p F(p) p f (0) p f (0) f (0)( 12.6)由此可见，f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数 Fp的代数式表示出来特别是当初值f(0)f(0) f (0) f(n1)(0)0时，有更简单的结果1 p 22 0p 性质12.5 (积分性质)若Lf (t) F(p)tL f(x)dx0t证明：令(t) o f (x)dt，显见(0)0

11、,2 2p ,(p 0)，且设f(t)连续，则F(p)p (12.8)且因(t) f(t)，由微分性质，得Lf(n) (t) pnF(p), (n 1,2,) 利用这个性质，可将f (t)的微分方程转化为 F ( p)的代数方程。例12.10利用微分性质求Lsin t解：令 f (t) sin t，则 f (t)sintf (0)0,f (0),2f (0)2 sin t，由(12.6 )式，得L 2s in tLf(t)p2Lf(t)pf(0)f (0)，即2Lsint2p Lsin t，移项化简得1利用上述结果，cos t (sin t)及(12.5)式，可得L (t) pL (t)(0)

12、，而 L (t)Lf(t) F(p)，所以有tt1F(p) pL (t) pL(x)dx，即 L(x)dx F(p)。00p积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 例12.11求Ltn (n是正整数)。解：因为tt1dx，t2t2xdx，t3t3x2dxtntn 1 j nx dx000 .0所以由(12.8)式即得般地，有性质 12.6 若 L f(t) Fp，则 a 0 时Lf(at)丄f(Qa a（12.9）性质 12.7 若 L f(t)Fp，则Ltnf(t)(1)nF(n)(p)(12.10)性质 12.8 若 L f(t)Fp，且帆一f（t）存在，则

13、tLft(t)F(p)dptp(12.11)例 12.12 求 Ltsin t。解：因为Lsin t 2，由（12.10）式可得Pt例 12.13 求 LSin-l 。t解：因为Lsint飞-，而且lim勺丄1，所以由（12.11）式可得p21t 0 t即Se ptdt arctgp。因此，当p 0时，得到一个广义积分的值0 t2这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:表12.1拉氏变换的性质序号设 Lf (t) F(p)123Lf(t a)u(t a) e apF(p)(a0)4Lf(n)(t)pnF(p) pn1

14、f(0) pn2f(0)fn1)(0)56Lf(at)(卫)a a( a0)78表12.2常用函数的拉斯变换表序号1123456789101112131415161718192021习题12.11.求下列函数的拉氏变换(1)f(t)4t e(2)f(t)t2(3)f(t)teat(4)f(t)sin( t )(,是常数)2.求下列题中函数的拉氏变换(1)3e 4t(2)5sin 2t 3cost1,0t 4sint, 0 t(3)f(t)(4)f (t)/ A1,t4t, t0,0t2(5)f(t)1,2t4(6)f(t)tneat0,4t第二节拉普拉斯逆变换前面我们主要讨论了怎样由已知函数f

15、(t)求它的象函数F(p)的问题.运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数 f (t)，这就是拉斯逆变换问题.在控制工程中，求拉氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.性质12.9 (先行性质)1 1 1L aF(p) a2F2(p) aL F(p) a2LF2(p)f/t) &2彳2化)。性质 12.10 (平移性质)L1F(p a) eatL1F(p) eat f (t)。1 ap性质 12.11 (滞后性质)L e F(p) f(t a) u(t a) o例 12.14 求 F(p)解：2p 3P2 2p 5的逆变换。在运用拉氏变换解

16、决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换P 3p3 4p2 4p的逆变换。表求出象原函数。P 3P3ABC32P 4p4PP(p2)2P P2 (P 2)3用待定系数法求得 A -,B3,C1所以442331F(P)P 344232P 22P4p 4PP(P 2),例 12.15 求 F(p)解：先将Fp分解为几个简单分式之和:于是习题13.2求下列题中函数的拉氏逆变换1. F(p)3. F(p)5. F(p)22p 8p2362P32p 6p 9p6.2. F(p)4. F(p)F(p)4pp

17、2161P(P 1)(P 2)P21P(P 1)2第三节 拉氏变换在电学中的应用、求解常微分方程例12.16求微分方程x(t)2x(t)0满足初值条件x(0)3的解。解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t) X(p):Lx(t) 2x(t)L0,Lx(t)2Lx(t)0 ,pX(p) x(0)2X(p)0。将初始条件x(0) 3代入上式，得这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程。第二步解出X(p) : X(p)第三步 求象函数的拉氏逆变换：x(t) Lx(p)1LR3e2t这样就得到了微分方程的解x(t)3e2t。例12.17有一个二阶动态电路满足微分方程y” 3y 2y 2e t，并且其初值条件y(0)2，y (0)1，求其解。解：对所给微分方程的两边分别作拉氏变换设Ly(t) Y(p) Y，则得将初值条件y(0)2 , y(0)1，代入，得到Y的代数方程即解出丫，得将上式分解为部分分式再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。、电学应用举例例12.18求图示电路的输入运算阻抗乙n(s)解：由串并联关系得乙 n(s)=22 s2 1s2 2s 12 s21例12.19求图(a)所示电路中的i(t)、uc(t)。(b)(a)解：先画出运算电路如图(b)所示。由运算电路得 其中则其中则习