2005-2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案

1、2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 的图像按向量 平移后, 得到的图像的解析式为. 那么 的解析式为( )a. b. c. d. 2. 如果二次方程 的正根小于3, 那么这样的二次方程有( ) a. 5个 b. 6个 c. 7个 d. 8个3. 设 , 那么 的最小值是( )a. 2 b. 3 c. 4 d. 54. 设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ( ) a. 不存在 b. 只有1个 c. 恰有4个 d. 有无数多个5. 设数列 : , n*, 则 被 64 除的

2、余数为( )a. 0 b. 2 c. 16 d. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有( )a. 个 b. 个 c. 个 d. 个二填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 , 且 , 则向量 _8. 设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为_9. 函数 r) 的最小值是 _10. 在长方体 中, , 点

3、、分别是棱 、 与 的中点, 那么四面体 的体积是 _11. 由三个数字 、 组成的 位数中, 、 都至少出现 次, 这样的 位数共有 _12. 已知平面上两个点集 r, r. 若 , 则 的取值范围是_三解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示) 14. 求所有使得下列命题成立的正整数 : 对于任意实数 , 当 时, 总有 ( 其中 ) 15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的

4、取值范围, 并用 表示直线 的斜率 16. (1) 若 n*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 的最小值, 并说明理由(2) 若 n*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002, 求 的最小值, 并说明理由2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 本题共有6小题，每题均给出a、b、c、d四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1已知数列an的通项公式an，则an的最大项是 （ ） aa1 ba2 ca3 da4

5、2函数y3的图象是 （ ）xoyxoyxoyxoya b c d3已知抛物线y22px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得pof是直角三角形，则这样的p点共有 （ ） a0个 b2个 c4个 d6个4设f(x)是定义在r上单调递减的奇函数，若x1x20，x2x30，x3x10，则（ ）af(x1)f(x2)f(x3)0 bf(x1)f(x2)f(x3)0cf(x1)f(x2)f(x3)0 df(x1)f(x2)f(x3)5过空间一定点p的直线中，与长方体abcda1b1c1d1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） a0条 b1条 c4条 d无数多条6在abc中，tana，c

6、osb若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） a b c d二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合ax|x3n，nn，0n10，by|y5m，mn，0n6则集合ab的所有元素之和为_8设cos2，则cos4sin4的值是_9(x3x2)3的展开式中，x5的系数为_10已知则x2y2的最大值是_11等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则当n_时，f(n)有最大值12长方体abcda1b1c1d1中，已知ab14，ad13，则对角线ac1的取值范围是_三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12

7、分，第15题16分，第16题20分）13设集合ax|log(3x)2，bx|1，若ab，求实数a的取值范围14椭圆1的有焦点为f，p1，p2，p24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中p1是椭圆的右顶点，并且p1fp2p2fp3p3fp4p24fp1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为s，求s的值abcde15abc中，abac，ad、ae分别是bc边上的高和中线，且badeac证明是直角16设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个，求p2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知函数，则 答： （a）有最小正周期 （b）有最

8、小正周期（c）有最小正周期 （d）无最小周期2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是 答： （a） （b） （c） （d） 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的 三点是 答： （a） 、 （b） 、（c） 、 （d） 、4. 设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是 答： （a）， （b），（c）， （d），5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为 答： （a）个 （b）个 （c）个 （d）个 6. 已知（r），且 则a的值有 答： （a）个 （b）个 （c）个 （d）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设为等差数列的前

9、项和，若，则公差为 .8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于 . 9. 已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 . 10. 圆锥曲线的离心率是 .11. 在中，已知，则的面积为12. 设命题:，命题: 对任何r，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面b1ba1c1ac，. 求证：（1）；（2）求点

10、到平面的距离. 15. 已知数列中，. 求.16. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（时间：2008年4月20日上午8：0010：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m，n，x，y满足，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 a. b. c. d. 120.512. 设为指数函数. 在p(1,1)，q(1,2)，m(2,3)，四点中，函数与其反函数的图像的公共点只可能是点 a. p b. q c. m d. n3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，

11、每一纵列成等比 数列，那么的值为 答： a. 1 b. 2 c. 3 d. 44. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么 a. 与都是锐角三角形b. 是锐角三角形，是钝角三角形c. 是钝角三角形，是锐角三角形d. 与都是钝角三角形5. 设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“，且”的平面， a. 不存在 b. 有且只有一对 c. 有且只有两对 d. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则_. 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是_(结果要求写成既约分数）.8. 已知点o在内部，.的面积之比为_.9

12、. 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为_.10. 在中，若tanatanb=tanatanc+tanctanb，则 =_. 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数在时有最大值1，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值.12. a、b为双曲线上的两个动点，满足。 （）求证：为定值； （）动点p在线段ab上，满足，求证：点p在定圆上.13. 如图，平面m、n相交于直线l. a、d为l上两点，射线db在平面m内，射线dc在平面n内. 已知，且， 都是锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）.14. 能否将下列数组中的数填入3

13、3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（）2,4,6,8,12,18,24,36,72.2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 2已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 4已知，则实数x 5如图，在四面体abcd中，p、q分别为棱b

14、c与cd上的点，且bp2pc，cq2qdr为棱ad的中点，则点a、b到平面pqr的距离的比值为 6设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 7右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm38设点o是abc的外心，ab13，ac12，则 9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 10设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 二、解答题(本大题共4

15、小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xoy中，直线x2y40与椭圆1交于a，b两点，f是椭圆的左焦点求以o，f，a，b为顶点的四边形的面积12如图，设d、e是abc的边ab上的两点，已知acdbce，ac14，ad7，ab28，ce12求bc13若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1方程的实数解为 2函数r的

16、单调减区间是 .3在中，已知，则 .4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 （第7题）6设函数的定义域为r，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 10设复数列满足，且若对任意n* 都有，则的值是 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭

17、圆上的三点若，证明：线段的中点在椭圆上12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得abcdefhg13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、 证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形14求所有正整数，使得与都是完全平方数2011年高中数学联赛江苏赛区试题1、 填空题（本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1 复数 2已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .2 3某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用

18、最简分数表示） 34已知，则 5 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 6设数列an的前n项和为sn若sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 7设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 8设f (m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 .9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 2、 解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围12设若时，且在区间上的最大值为1，求

19、的最大值和最小值13如图，p是内一点（1）若p是的内心，证明：；（2）若且，证明：p是的内心abcp证明：（1）14已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数www.zxsx.c2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_.2、在中，已知则_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范

20、围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2

21、013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（5月5日8:00至10:00）一填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 2从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 3设实数，满足，则的最大值与最小值之差是 4若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 5若三角形的三边，成等差数列，则的取值范围是 6若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 7已知，则 8设，且满足，则的最大值为 9已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面、的距离成等差数列，则到面距离的最大值是 10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四

22、位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 二解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11设为实数，椭圆与椭圆交于点和，的左顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数12如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、证明：四边形是梯形13设实数，满足证明：14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准 选择题、填空题只设6分和

23、0分两档 其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次 一选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 的图像按向量 平移后, 得到的图像的解析式为. 那么 的解析式为a. b. c. d. 答: b 解： , 即 . 故选 b2. 如果二次方程 n*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 a. 5个 b. 6个 c. 7个 d. 8个答: c 解：由 , 知方程的根为一正一负设 ，则 , 即 由于

24、 n*， 所以 或 . 于是共有7组 符合题意 故选 c 3. 设 , 那么 的最小值是a. 2 b. 3 c. 4 d. 5答: c 解：由 , 可知,所以， . 故选 c4. 设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 a. 不存在 b. 只有1个 c. 恰有4个 d. 有无数多个答: d 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 、, 直线 、 确定了一个平面 作与 平行的平面 , 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形 而这样的平面 有无数多个故选 d5. 设数列 : , n*, 则 被 64 除的余数为a. 0 b

25、. 2 c. 16 d. 48答: c 解：数列 为：2,16,130,1072,8962,75856,649090,，被 64 除的余数为 2,16, 2,48,2,16,2,48,四项一个循环， 又 2005 被 4 除余 1, 故选 c6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有a. 个 b. 个 c. 个 d. 个答: d 解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列设第一列的两格铺了 、ab两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺

26、色 若铺 色，则有 6-1=5 种铺法；若不铺 色，则有 =16种方法 于是第二列上共有 5+16=21 种铺法 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法因此，共有 种铺法 故选 d二填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 , 且 , 则向量 _ 解：设 , 则 , 所以 即 解得 因此 故填 8. 设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为_ 解：由题意知 ， 即 由 得 , 从而 又由 式得 , 于是有 ,整理得 . 因 , 故 所以数列 是以2为

27、首项、4为公差的等差数列，其通项公式为 ，即 . 故填 n*)9. 函数 r) 的最小值是 _ 解：令 ，则 当 时， ，得 ；当 时， ，得 又 可取到 , 故填 10. 在长方体 中, , 点 、分别是棱 、 与 的中点, 那么四面体 的体积是 _解：在 的延长线上取一点 ，使 易证，平面 故 而 ，g到平面 的距离为 故填 11. 由三个数字 、 组成的 位数中, 、 都至少出现 次, 这样的 位数共有 _解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 个；若 1 只出现 2 次，有 个； 若 1 只出现 3 次，有 个则这样的五位数共有 150 个.故填 150个12. 已知平面上两

28、个点集 r, r. 若 , 则 的取值范围是_解：由题意知 是以原点为焦点、直线 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为中心的正方形及其内部的点集(如图) 考察 时, 的取值范围:令 , 代入方程 , 得 ，解出得 所以，当 时, 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，当 时, 因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 故填 三解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点是的中线上的一点, 直线交边 于点, 且是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示) 证明：在 中，由menelaus定理得因为 ，所以 6分由 ，知 ，则所以， 即 12分因此， 又

29、， 故 15分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 : 对于任意实数 , 当 时, 总有 ( 其中 ) 解： 当 时，由 ，得 所以 时命题成立 3分当 时，由 ，得.所以 时命题成立 6分当 时，由 ，得所以 时命题成立 9分当 时，令 ，,则 .但是, ，故对于 命题不成立综上可知，使命题成立的自然数是 15分15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率. 解： 如图, 设线段 的中点为 过点 、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、, 则 6分假设存在点 ，则 ， 且

30、 ， 即 ，所以， 12分于是， 故若 (如图)，则 18分若 ，则由对称性得 24分又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是， 直线 的斜率为 16. (1) 若 n*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 的最小值, 并说明理由；(2) 若 n*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002, 求 的最小值, 并说明理由解： (1) 因为 , ，故 因为 ，所以存在 ， 使 6分若 ，因 , 则最大的正方体边长只能为 或 ，计算，而 与 均不是完全立方数, 所以 不可能是 的最小值 9分若 ，设此三个正方体中最大一个的棱长为 , 由 , 知最大的正方体棱长只能为 、

31、 或 由于 , , , 所以 由于 , , , , 所以 由于 , , , 所以 由于 , , 所以 因此 不可能是 的最小值综上所述， 才是 的最小值. 12分(2) 设 个正方体的棱长分别是 ， 则 由 ， ，得 15分又当 n* 时，所以 ， ， . 21分 式模 , 由 、 可知, 而 ，则 24分因此 为所求的最小值2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 本题共有6小题，每题均给出a、b、c、d四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律

32、得0分1已知数列an的通项公式an，则an的最大项是 （ ） aa1 ba2 ca3 da4解：an，当n2时，an取最大值，故选b2函数y3的图象是 （ ）xoyxoyxoyxoya b c d解：由于|log3x|0，故y1，只有a满足此条件，故选a3已知抛物线y22px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得pof是直角三角形，则这样的p点共有 （ ） a0个 b2个 c4个 d6个解：作垂直于x轴的焦点弦交抛物线于点p1、p2，则p1of、p2of是直角三角形对于抛物线上异于o、p1、p2的点q，显然qfo90，qof90，从而若qof为直角三角形，则只能是fqo90设点q坐标

33、为(，y)(y0，p)，则有()y20， 由y0得，0，此方程无实解，从而这样的点p只能2个，选b4设f(x)是定义在r上单调递减的奇函数，若x1x20，x2x30，x3x10，则（ ）af(x1)f(x2)f(x3)0 bf(x1)f(x2)f(x3)0cf(x1)f(x2)f(x3)0 df(x1)f(x2)f(x3)解：则x1x2，知f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)0；同理，f(x2)f(x3)0，f(x3)f(x1)0；所以，f(x1)f(x2)f(x3)0选b5过空间一定点p的直线中，与长方体abcda1b1c1d1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） a0

34、条 b1条 c4条 d无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分线故若以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，则方程|x|y|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选c6在abc中，tana，cosb若的最长边为1，则最短边的长为 （ ） a b c d解：作辅助图如右：取高cda，则ad2a，bd3a，最短边aca；由5a1，得a，故选d二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合ax|x3n，nn，0n10，by|y5m，mn，0n6则集合ab的所有元素之和为_解：ab15；故所求

35、和(3627)(0530)152258设cos2，则cos4sin4的值是_解：已知即cos2sin2cos4sin42cos2sin2； 又，cos2sin21 cos4sin42cos2sin21 ()2： cos4sin49(x3x2)3的展开式中，x5的系数为_解：(x3x2)3x33x23x23x9x427x6x5的系数2710已知则x2y2的最大值是_解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界其中点(3，0)与原点距离最大，故(x2y2)max911等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设f(n)表示这个数列的前n项的积，则当n_时，f(n)有最大值解：由于f(4k)

36、0，f(4k1)0，(kn*)f(4k)aq2k(4k1)；f(4k1)aq2k(4k1)故a1q4k于是f(12)f(13)，且当k3时，f(4k1)f(4k)；又aq30，有f(9)f(12)；aq2(8k3)， 故f(8)f(12)，且k3时，f(4k4)f(4k)，从而f(12)最大12长方体abcda1b1c1d1中，已知ab14，ad13，则对角线ac1的取值范围是_解：设长方体的三度分别为x，y，z，对角线acd则可得x2z216，y2z29d2x2y2z225z2，但0z3，从而16d2254d5所求取值范围为(4，5)三、解答题（本题满分60分，第13题，第14题各12分，第

37、15题16分，第16题20分）13设集合ax|log(3x)2，bx|1，若ab，求实数a的取值范围解：由log(3x)203x41x3由1(xa)(x3a)0 当a0时，解为ax3a； 当a0时，解为； 当a0时，解为3axa若ab，则当a0时，有a11a0；当a0时，有3a30a1所以，a的取值范围为(1，0)(0，1)14椭圆1的有焦点为f，p1，p2，p24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中p1是椭圆的右顶点，并且p1fp2p2fp3p3fp4p24fp1，若这24个点到右准线的距离的倒数和为s，求s的值解法一：已知椭圆的a3，b2，c，e，p对于椭圆上任一点p，|fp|r，p

38、到准线的距离|ph|d，fp与ox正向夹角为，则有 rcosdp，e于是， d(1ecos)p，(1ecos)所以， s(1ecos)cos 故 s2180 解法二：设过焦点且斜率为k的直线交椭圆于a、b两点则有 代入： 4x29k2(x)2360即， (49 k2)x218xk245k2360 所以， x1x2，x1x2 而点p到准线距离dx， 故直线与椭圆的两个交点到准线距离的倒数和为 而过焦点且倾斜角90时，两交点到准线的距离c，故90及270的两个点到准线距离倒数和也所以，s126；s2180解法三：令代入椭圆方程得，t2(4cos29sin2)8tcos160同上15abc中，abac，ad、ae分别是bc边上的高和中线，且badeac证明是直角证明一：延长ae到f，使efae，延长ad到k，使dkad连fk，fb因fbacafbeac又bd垂直平分ak，故akbbad，因badeac，所以akbafb所以a、f、k、b四点共圆fkbcfka90故af为该圆直径e为此圆圆心故eaebec，即点c在此圆上此圆为abc的外接圆，bc为圆的直径所以bac为直角证明二：取abc的外接圆，延长ae交圆于点f，连fb，则cbfcafbad，但badabd90，从而fbcabc9