2009年高考数学试题分类汇编——数列【高中数学练习题及答案 历年高考真题精选】

1、2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= a. 2 1 b. 2 2 c. 2 d.2 【答案】b 【解析】设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比数列 n a的公比 为正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 b 2.（2009 广东卷 理）已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ， 则当1n 时， 2123221

2、logloglog n aaa a. (21)nn b. 2 (1)n c. 2 n d. 2 (1)n 【解析】由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，则 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，选 c. 3.（2009 安徽卷文）已知为等差数列，则等 于 a. -1 b. 1 c. 3 d.7 【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 b。 【答案】b 4.（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列

3、n a的前n项和为 n s.若 4 a是 37 aa与的等比中项, 8 32s ,则 10 s等于 a. 18 b. 24 c. 60 d. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：c 【解析】由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adad ad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 sad得 1 278ad则 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 sad,.故选 c 5.（2009 湖南卷文）设 n s是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 s等于【 c 】 a13 b35 c49 d 63 解

4、: 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa s 故选 c. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa s 故选 c. 6.（2009 福建卷理）等差数列 n a的前 n 项和为 n s，且 3 s =6， 1 a=4， 则公差 d 等于 a1 b 5 3 c.- 2 d 3 【答案】：c 解析 313 3 6() 2 saa且 311 2 =4 d=2aad a.故选 c w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.（2009 辽宁卷文）已知 n a为等差数列，且 7

5、 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d （a）2 （b） 1 2 （c） 1 2 （d）2 【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d 1 2 【答案】b 8.（2009 辽宁卷理）设等比数列 n a的前 n 项和为 n s ，若 6 3 s s =3 ，则 6 9 s s = （a） 2 （b） 7 3 （c） 8 3 （d）3 【解析】设公比为 q ,则 3 63 33 (1)sq s ss 1q33 q32 于是 6 36 9 3 11247 1123 sqq sq w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】b 9.（2009 宁夏海南卷理）等比数列 n a的前 n 项和为

6、 n s，且 4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列。 若 1 a=1，则 4 s= （a）7 （b）8 （3）15 （4）16 解析：4 1 a，2 2 a， 3 a成等差数列， 22 1321114 44,44,440,215aaaaa qa qqqq即，s,选 c. 10.（2009 四川卷文）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项， 则数列的前 10 项之和是 a. 90 b. 100 c. 145 d. 190 【答案答案】b 【解析解析】设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 s100 11.（2009

7、 湖北卷文）设,rx记不超过x的最大整数为x,令x=x-x，则 2 15 ， 2 15 , 2 15 a.是等差数列但不是等比数列 b.是等比数列但不是等差数列 c.既是等差数列又是等比数列 d.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】b 【解析】可分别求得 5151 22 ， 51 1 2 .则等比数列性质易得三者构成等比 数列. 12.（2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数; 类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为

8、正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是 a.289 b.1024 c.1225 d.1378 【答案】c 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1) 2 n n an ，同理可得正方形数构成的数 列通项 2 n bn ，则由 2 n bn ()nn 可排除 a、d，又由(1) 2 n n an 知 n a必为奇数， 故选 c. 13.（2009 宁夏海南卷文）等差数列 n a的前 n 项和为 n s，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m s ,则m （a）38 （b）20 （c）10 （d）9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】c 【解析】因为 n

9、 a是等差数列，所以， 11 2 mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0，所以， m a2，又 21 38 m s ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1） 238，解得 m10，故选.c。 14.（2009 重庆卷文）设 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n s=（ ） a 2 7 44 nn b 2 5 33 nn c 2 3 24 nn d 2 nn 【答案】a 解析设数列 n a的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得 1 2 d 或

10、 0d （舍去） ，所以数列 n a的前n项和 2 (1)17 2 2244 n n nnn sn 15.（2009 安徽卷理）已知 n a为等差数列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n s表示 n a的前n项和，则使得 n s达到最大值的n是 （a）21 （b）20 （c）19 （d） 18 解析：由 1 a+ 3 a+ 5 a=105 得 3 3105,a 即 3 35a ，由 246 aaa=99 得 4 399a 即 4 33a ，2d ， 4 (4) ( 2)41 2 n aann ，由 1 0 0 n n a a 得20n ，选 b 16.（200

11、9 江西卷理）数列 n a的通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前n项和为 n s，则 30 s为 a470 b490 c495 d510 答案：a 【解析】由于 22 cossin 33 nn 以 3 为周期,故 222222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 s 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故选 a 17.（2009 四川卷文）等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项， 则数列的前 10 项之和是 a. 90

12、b. 100 c. 145 d. 190 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案答案】b 【解析解析】设公差为d，则)41 (1)1 ( 2 dd.d0，解得d2， 10 s100 二、填空题 1.（2009 全国卷理） 设等差数列 n a的前n项和为 n s，若 9 72s ,则 249 aaa= 。 解: n a是等差数列,由 9 72s ,得 59 9,sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 2.（2009 浙江理）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n s，则 4 4 s a 答案：15 【解析】对于 44 3 14 441

13、3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq 3.（2009 浙江文）设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n s，则 4 4 s a 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考 查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系 【解析】对于 44 3 14 441 3 4 (1)1 ,15 1(1) aqsq saa q qaqq w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（2009 浙江文）设等差数列 n a的前n项和为 n s，则 4 s， 84 ss， 128 ss， 1612 ss成等差数列类比以上结论有：设等比数列

14、 n b的前n项积为 n t，则 4 t， ， ， 16 12 t t 成等比数列 答案： 812 48 , tt tt 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差 数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 n b的前n项积为 n t，则 4 t， 812 48 , tt tt ， 16 12 t t 成等比数列 5.（2009 北京文）若数列 n a满足： 11 1,2() nn aaa nn ，则 5 a ；前 8 项的和 8 s .（用数字作答） .w【解析

15、解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考 查. 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 s ，应填 255. 6.（2009 北京理）已知数列 n a满足： 43412 1,0,n , nnnn aaaa n 则 2009 a_； 2014 a=_. 【答案答案】1，0 【解析解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 20094 503 3 1aa ， 20142 100710074 252 1 0aaaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 应填 1，0

16、. 7.（2009 江苏卷）设 n a是公比为q的等比数列，| 1q ，令1(1,2,) nn ban，若数 列 n b有连续四项在集合53, 23,19,37,82中，则6q= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 n a有连续四项在集合54, 24,18,36,81，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为 3 2 q ，6q= -9 8.(2009 山东卷文)在等差数列 n a中,6 , 7 253 aaa,则_ 6 a. 【解析】:设等差数列 n a的公差为d,则由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d ,所以 61 5

17、13aad. 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 9.（2009 全国卷文）设等比数列 n a的前 n 项和为 n s。若 361 4, 1ssa，则 4 a= 答案：答案：3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由 361 4, 1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3。 10.(2009 湖北卷理)已知数列 n a满足： 1 am（m 为正整数） ， 1 , 2 31, n n n nn a a a aa 当为偶数时， 当为奇数时。 若 6 a 1，则 m 所有可能的取值为_。w.w.w.k.s.5.u.c

18、.o.m 11.【答案】4 5 32 【解析】 （1）若 1 am为偶数，则 1 2 a 为偶, 故 2 23 a 224 amm a 当 4 m 仍为偶数时， 46 832 mm aa 故132 32 m m 当 4 m 为奇数时， 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故 3 1 4 1 4 m 得 m=4。 （2）若 1 am为奇数，则 21 3131aam 为偶数，故 3 31 2 m a 必为偶数 6 31 16 m a ，所以 31 16 m =1 可得 m=5 12.（2009 全国卷理）设等差数列 n a的前n项和为 n s，若 53 5aa则 9 5 s

19、s 9 . 解解： n a为等差数列， 95 53 9 9 5 sa sa 13.（2009 辽宁卷理）等差数列 n a的前n项和为 n s，且 53 655,ss则 4 a 【解析】snna1 1 2 n(n1)d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m s55a110d,s33a13d 6s55s330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 14.（2009 宁夏海南卷理）等差数列 n a前 n 项和为 n s。已知 1m a + 1m a - 2 m a=0， 21m s =38, 则 m=_ 解析：由 1m a + 1m a - 2 m a

20、=0 得到 1212 21 21 20,0,2213810 2 m mmmmm maa aaasmam 又。 答案 10 15.（2009 陕西卷文）设等差数列 n a的前 n 项和为 n s,若 63 12as,则 n a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:2n 解析:由 63 12as可得 n a的公差 d=2,首项 1 a=2,故易得 n a 2n. 16.(2009 陕西卷理)设等差数列 n a的前 n 项和为 n s,若 63 12as,则 2 lim n n s n . 答案：1 611 22 31 125122 11 (1)limlim1 12122 nn n n

21、n aada ssnn sn n saddnnnn 解析： 17.（2009 宁夏海南卷文）等比数列 n a的公比0q , 已知 2 a=1， 21 6 nnn aaa ，则 n a的 前 4 项和 4 s= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 15 2 【解析】由 21 6 nnn aaa 得： 11 6 nnn qqq，即06 2 qq，0q ，解得： q2，又 2 a=1，所以， 1 1 2 a ， 21 )21 ( 2 1 4 4 s 15 2 。 18.(2009 湖南卷理)将正abc 分割成n 2 （n2，nn）个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了 n=2,

22、3 的情形） ，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于abc 的三遍及平行 于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 a ,b ,c 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 10 3 ，f(n) = 1 6 (n+1)(n+2) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】： 10 1 ,(1)(2) 36 nn 【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 121212 1,abcxxab yybc zzca 121212122112 2()2,2xxyyzzabc

23、gxyxzyz 121212 62()2gxxyyzzabc w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即 121212 11110 (3)1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中 有 6 个数，(3)f中共有 10 个 数相加 ，(4)f中有 15 个数相加.，若(1)f n中有 1( 1) n an 个数相加，可得( )f n中有 1 (1) n an 个数相加，且由 363331045 (1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),. 3333333 fffffff 可得 1 ( )(1), 3 n f nf n 所以

24、 11113 ( )(1)(2).(1) 3333333 nnnnnn f nf nf nf = 113211 (1)(2) 3333336 nnn nn 19.（2009 重庆卷理）设 1 2a ， 1 2 1 n n a a ， 2 1 n n n a b a ， * nn，则数列 n b的通项 公式 n b= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】：2n+1 【解析】由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是首 项为 4，公比为 2 的等比数列，则 11 4 22 nn n b

25、三、解答题 1.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知点（1， 3 1 ）是函数, 0()(aaxf x 且1a）的图象上一点，等比数列 n a的前n项 和为cnf)(,数列 n b)0( n b的首项为c，且前n项和 n s满足 n s 1n s= n s+ 1n s（ 2n ）. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 1 1nnb b 前n项和为 n t，问 n t 2009 1000 的最小正整数n是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 （1） 1 1 3 faq, 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc , 2 21afcf

26、c 2 9 , 3 2 32 27 afcfc . 又数列 n a成等比数列， 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a ，所以 1c ； 又公比 2 1 1 3 a q a ，所以 1 2 11 2 3 33 nn n a * nn ； 1111nnnnnnnn ssssssss q 2n 又0 n b ,0 n s , 1 1 nn ss ； 数列 n s构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111 n snn ， 2 n sn 当2n ， 2 2 1 121 nnn bssnnn ； 21 n bn( * nn)； （2） 1 22 33 41 1111 n n

27、n t bbb bb bb b l 1111 1 33 55 7(21)21nn k 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn k 11 1 22121 n nn ； 由 1000 212009 n n t n 得 1000 9 n ，满足 1000 2009 n t 的最小正整数为 112. 2.（2009 全国卷理） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）注意：在试题卷上作答无效） 在数列 n a中， 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （i）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式 （ii）求数列 n a的前n项和

28、n s 分析分析：（i）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式: 1 1 2 2 n n b ( * nn) （ii）由（i）知 1 2 2 n n n an , n s= 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而 1 (2 )(1) n k kn n ,又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n s=(1)n n 1 2 4 2n n 评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查

29、构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一 线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有 意识降低难度和求变的良苦用心。 3.（2009 浙江文） （本题满分 14 分）设 n s为数列 n a的前n项和， 2 n sknn， * nn，其中k是常数 （i） 求 1 a及 n a； （ii）若对于任意的 * mn， m a， 2m a， 4m a成等比数列，求k的值 解析：（）当1, 1 11 ksan， 12)1() 1(, 2 22 1 kknnnknknssan nnn （） 经

30、验，, 1n（）式成立， 12kknan （） mmm aaa 42 ,成等比数列， mmm aaa 4 2 2 .， 即) 18)(12() 14( 2 kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk， 对任意的 nm成立， 10kk或 4.（2009 北京文） （本小题共 13 分） 设数列 n a的通项公式为(,0) n apnq nnp . 数列 n b定义如下：对于正整数 m， m b是使得不等式 n am成立的所有 n 中的最小值. （）若 11 , 23 pq ，求 3 b； （）若2,1pq ，求数列 m b的前 2m 项和公式； （）是否存在 p 和 q，使得32() m bm

31、mn ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围； 如果不存在，请说明理由. 【解析解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题. （）由题意，得 11 23 n an，解 11 3 23 n，得 20 3 n . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 3 23 n成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 3 7b . （）由题意，得21 n an， 对于正整数，由 n am，得 1 2 m n . 根据 m b的定义可知 当21mk时， * m bk kn；当2mk时， * 1 m bkkn. 1221

32、321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm . （）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式pnqm及0p 得 mq n p . 32() m bmmn ,根据 m b的定义可知，对于任意的正整数 m 都有 3132 mq mm p ，即231pqpmpq 对任意的正整数 m 都成立. 当310p （或310p ）时，得 31 pq m p （或 2 31 pq m p ） ， 这与上述结论矛盾！ 当310p ，即 1 3 p 时，得 21 0 33 qq ，解得 21 33 q . 存在 p 和 q，使得32() m bmmn ； p

33、和 q 的取值范围分别是 1 3 p ， 21 33 q . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.（2009 北京理） （本小题共 13 分） 已知数集 1212 ,1,2 nn aa aaaaa n具有性质p；对任意的 ,1i jijn ， ij a a与 j i a a 两数中至少有一个属于a. （）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质p，并说明理由； （）证明： 1 1a ，且 12 111 12 n n n aaa a aaa ； （）证明：当5n 时， 12345 ,a a a a a成等比数列. 【解析解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理

34、论证能力、分 分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （）由于3 4与 4 3 均不属于数集1,3,4，该数集不具有性质 p. 由于 6 6 1 2 3 6 1 2,1 3,1 6,2 3, , 2 3 1 2 3 6 都属于数集1,2,3,6， 该数集具有性质 p. （） 12 , n aa aa具有性质 p， nn a a与 n n a a 中至少有一个属于 a， 由于 12 1 n aaa， nnn a aa，故 nn a aa. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而1 n n a a a ， 1 1a . 12 1 n aaa， knn a aa，故

35、2,3, kn a aa kn. 由 a 具有性质 p 可知1,2,3, n k a a kn a . 又 121 nnnn nn aaaa aaaa ， 21 121 1, nnnn nn nn aaaa aaa aaaa ， 从而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa ， 12 111 12 n n n aaa a aaa . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，当5n 时，有 55 23 43 , aa aa aa ，即 2 5243 aa aa， 125 1aaa， 34245 a aa aa， 34 a aa， 由 a 具有性质 p 可

36、知 4 3 a a a . 2 243 a aa，得 34 23 aa a aa ，且 3 2 2 1 a a a ， 34 2 32 aa a aa ， 5342 2 4321 aaaa a aaaa ，即 12345 ,a a a a a是首项为 1，公比为 2 a成等比数列. .k.s.5. 6.（2009 江苏卷） （本小题满分 14 分） 设 n a是公差不为零的等差数列， n s为其前n项和，满足 2222 23457 ,7aaaas。 （1）求数列 n a的通项公式及前n项和 n s； （2）试求所有的正整数m，使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项。 【解析】

37、 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 （1）设公差为d，则 2222 2543 aaaa，由性质得 4343 3 ()()d aad aa，因 为0d ，所以 43 0aa，即 1 250ad，又由 7 7s 得 1 76 77 2 ad ，解 得 1 5a ，2d , (2) （方法一） 1 2 mm m a a a = (27)(25) 23 mm m ,设23mt， 则 1 2 mm m a a a = (4)(2)8 6 tt t tt , 所以t为 8 的约数 （方法二）因为 122 2 222 (4)(2)8 6 mmmm m m

38、mm a aaa a aaa 为数列 n a中的项， 故 m+2 8 a 为整数，又由（1）知： 2m a 为奇数，所以 2 231,1,2 m amm 即 经检验，符合题意的正整数只有2m 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.（2009 江苏卷） （本题满分 10 分） 对于正整数n2，用 n t表示关于x的一元二次方程 2 20 xaxb有实数根的有序数组 ( , )a b的组数，其中,1,2,a bn（a和b可以相等） ；对于随机选取的 ,1,2,a bn（a和b可以相等） ，记 n p为关于x的一元二次方程 2 20 xaxb有实 数根的概率。 （1）求 2 n t和 2 n

39、 p； （2）求证：对任意正整数n2，有 1 1 n p n . 【解析】 必做题必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.(2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n s， 已知对任意的nn ，点( ,) n n s，均在函数 (0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 2 2(log1)() nn bann w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明：对任意的nn ，不等式 12 12 111 1 n n

40、 bbb n bbb 成立 解:因为对任意的nn ,点( ,) n n s，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数的图像 上.所以得 n n sbr,当1n 时, 11 asbr,当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn assbrbrbbbb ,又因为 n a为等比数列,所以 1r ,公比为b, 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb , 1 22 2(log1)2(log 21)2 n nn ban 则 121 2 n n bn bn ,所以 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bb

41、bn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 成立. 当1n 时,左边= 3 2 ,右边=2,因为 3 2 2 ,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 成立.则 当1nk时,左边= 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23(23)4(1)4(1) 11 1(1) 1(1) 1 224(1)4(1)4(1) kkkk kk

42、k kkkk 所以当1nk时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n s求 n a的基本题型,并运 用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9.(2009 山东卷文)（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n s， 已知对任意的nn ，点( ,) n n s，均在函数 (0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1( ) 4 n n n bnn a 求数列 n b的前n项和 n t

43、解:因为对任意的nn ,点( ,) n n s，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像 上.所以得 n n sbr, 当1n 时, 11 asbr, 当2n 时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn assbrbrbbbb , 又因为 n a为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb , 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n t 34512 12341 222222 n nn nn t 相减,得 234512 1

44、211111 2222222 n nn n t 31 2 11 (1) 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn t 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n s求 n a的基本题型,并运 用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n t. 10.（2009 全国卷文） （本小题满分 10 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知等差数列 n a中，, 0,16 6473 aaaa求 n a前 n 项和 n s. w.w.w.k.s.5.u.c.o

45、.m 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设 n a的公差为d，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8,8 2,2 aa dd 或 因此819819 nn snn nn nsnn nn n ，或 11.（2009 广东卷 理） （本小题满分 14 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知曲线 22 :20(1,2,) n cxnxyn从点( 1,0)p

46、 向曲线 n c引斜率为 (0) nn k k 的切线 n l，切点为(,) nnn p xy （1）求数列 nn xy与的通项公式； （2）证明： 13521 1 2sin 1 nn n nn xx xxxx xy . 解：（ 1）设直线 n l：) 1( xky n ，联立02 22 ynxx得 0)22()1 ( 2222 nnn kxnkxk，则0)1 (4)22( 2222 nnn kknk， 12 n n kn（ 12 n n 舍去）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 2 2 2 ) 1(1 n n k k x n n n ，即 1 n n xn， 1 12 ) 1(

47、n nn xky nnn （2）证明： 12 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 1 12 12 5 3 3 1 2 12 4 3 2 1 12531 nn n n n xxxx n n n n x x xxxx 1 1 12531 由于 n n n n x x ny x 1 1 12 1 ，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)( ， 令0)( xf，得 2 2 cosx，给定区间) 4 , 0( ，则有0)( xf，则函数)(xf在) 4 , 0( 上 单调递减，0)0()( fxf，即xxsin2在)

48、4 , 0( 恒成立，又 43 1 12 1 0 n ， 则有 12 1 sin2 12 1 nn ，即 n n n n y x x x sin2 1 1 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.（2009 安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 首项为正数的数列 n a满足 2 1 1 (3),. 4 nn aann （i）证明：若 1 a为奇数，则对一切2, n na都是奇数； （ii）若对一切nn都有 1nn aa ，求 1 a的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维

49、的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解：（i）已知 1 a是奇数，假设21 k am是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得 2 1 3 (1) 1 4 k k a am m 是奇数。 根据数学归纳法，对任何nn， n a都是奇数。 （ii） （方法一）由 1 1 (1)(3) 4 nnnn aaaa 知， 1nn aa 当且仅当1 n a 或3 n a 。 另一方面，若01, k a则 1 1 3 01 4 k a ；若3 k a ，则 2 1 33 3. 4 k a 根据数学归纳法， 11 01,01,;33,. nn aannaann 综合所述，对一切nn都有 1nn aa

50、的充要条件是 1 01a或 1 3a 。 （方法二）由 2 1 21 3 , 4 a aa 得 2 11 430,aa于是 1 01a或 1 3a 。 22 111 1 33()() , 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因为 2 11 3 0, 4 n n a aa 所以所有的 n a均大于 0，因此 1nn aa 与 1nn aa 同号。 根据数学归纳法，nn ， 1nn aa 与 21 aa同号。 因此，对一切nn都有 1nn aa 的充要条件是 1 01a或 1 3a 。 13.（2009 安徽卷文）（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 n 项和，数列的前 n 项和

51、（）求数列与的通项公式； （）设，证明：当且仅当 n3 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【思路】由 1 1 (1) (2) nn an a ssn 可求出 nn ab和 和，这是数列中求通项的常用方法之一，在求 出 nn ab和 和后，进而得到 n c ，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 11 4as 当2n 时, 22 1 (22 )2(1)2(1)4 nnn assnnnnn * 4 () m an nn 又当xn时 11 (26 )(2) nnnmm bttb 1 2 nn bb 数列 n b项与等比数列,其首项为 1,公比为 1 2 1 1

52、 ( ) 2 n n b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)由(1)知 221 11 1 16( ) 2 n n cabn 2(1) 1 2 1 2 21 1 16(1)( ) (1) 2 1 2 16( ) 2 n n n n n cn cn n 由 2 1 (1) 11 2 n n cn cn 得即 2 21012nnn 即3n 又3n 时 2 (1)2 1 2 n n 成立,即 1 1 n n c c 由于0 n c 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此,当且仅当3n 时, 1nn cc 14.（2009 江西卷文） （本小题满分 12 分） 数列 n a的

53、通项 222 (cossin) 33 n nn an ，其前 n 项和为 n s. (1) 求 n s; (2) 3 , 4 n n n s b n 求数列 n b的前 n 项和 n t. 解: (1) 由于 22 2 cossincos 333 nnn ,故 312345632313 222222 222 ()()() 1245(32)(31) (3 )(6 )(3 ) ) 222 kkkk saaaaaaaaa kk k 1331185(94) 2222 kkk , 3133 (49 ) , 2 kkk kk ssa 2 323131 (49 )(31)1321 , 22236 kkk k

54、kkk ssak 故 1 ,32 36 (1)(1 3 ) ,31 6 (34) ,3 6 n n nk nn snk nn nk ( * kn) (2) 3 94 , 42 4 n n nn sn b n 2 1 132294 , 2 444 n n n t 1 12294 413, 244 n n n t 两式相减得 12321 99 1999419419 44 313138, 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn t 故 2321 813 . 33 22 n nn n t 15.（2009 江西卷理） （本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 n a， 12 ,a

55、a ab，且对满足mnpq的正整数, , ,m n p q都有 . (1)(1)(1)(1) pq mn mnpq aa aa aaaa （1）当 14 , 25 ab时，求通项; n a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有 1 . n a 解：（1）由 (1)(1)(1)(1) pq mn mnpq aa aa aaaa 得 121 121 . (1)(1)(1)(1) nn nn aaaa aaaa 将 12 14 , 25 aa代入化简得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 1 21. 2 n n n a a

56、 a 所以 1 1 111 , 13 1 nn nn aa aa w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故数列 1 1 n n a a 为等比数列，从而 11 , 13 n n n a a 即 31. 31 n n n a 可验证， 31 31 n n n a 满足题设条件. (2) 由题设 (1)(1) mn mn aa aa 的值仅与mn有关,记为, m n b 则 1 1 1 . (1)(1)(1)(1) nn n nn aaaa b aaaa w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考察函数 ( )(0) (1)(1) ax f xx ax ,则在定义域上有w.w.w.k.s.5.u

57、.c.o.m 1 ,1 1 1 ( )( ),1 2 ,01 1 a a f xg aa a a a 故对 * nn， 1 ( ) n bg a 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 2 2 2 ( ) (1) n n n a bg a a , 注意到 1 0( ) 2 g a,解上式得 1( )1 2 ( )1( )1 2 ( )( ) , ( )( )1( )1 2 ( ) n g ag ag ag ag a a g ag ag ag a 取 1( )1 2 ( ) ( ) g ag a g a ,即有 1 . n a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16.（2

58、009 天津卷文） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0，设 1 21 n nn qaqaas *11 21 , 0,) 1(nnqqaqaat n n n n （）若15, 1, 1 31 saq ,求数列 n a的通项公式； （）若 3211 ,sssda且成等比数列，求 q 的值。 （）若 * 2 2 22 , 1 )1 (2 )1 (1, 1nn q qdq tqsqq n nn ）证明（ 【答案】 （1）34 nan（2）2q（3）略 【解析】 （1）解：由题设，15, 1, 1,)2()( 31 2 1113 saqqdaqdaas将 代入解得4d，所

59、以34 nan*nn （2）解：当 321 2 3211 ,32,2,sssdqdqdsdqdsdsda成等比数列， 所以 31 2 2 sss，即)322 22 dqdqdddqd（）（，注意到0d，整理得2q （3）证明：由题设，可得 1 n n qb，则 12 2 2 3212 n nn qaqaqaas 12 2 2 3212 n nn qaqaqaat -得， )(2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqats +得， )(2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqats 式两边同乘以 q，得)(2)( 22 12 2 3122 n nnn qaqaqatsq 所

60、以 2 2 123 22 1 )1 (2 )(2)1 ()1 ( q qdq qqqdtqsq n n nn （3）证明： nlklklk baabaabaacc nn )()()( 2121 2 12 11 = 1 1122111 )()()( n nn qdblkqdblkdblk 因为0, 0 1 bd，所以 1 2211 1 21 )()()( n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk ，取 i=n， 若 nn lk ，取 i 满足 ii lk ，且 jj lk ，nji1 由（1） （2）及题设知，ni 1，且 1 2211 1 21 )()()( n nn qlkql