求数列通项八法

1、八法求通项湖北何先付、归纳法:观察所给数列每一项的特点，分析项数 n与数值an之间的对应关系，找出规律：一是找出每项中与项数无关的因素， 让其保持不变；二是找出随项数变化的因素与项数n的联系，写出通项公式，再代回检验，如有不符适当调整。当然 正确与否还要用数学归纳法进行证明。例11 *，i 4，i解析：观察整式部分为1;分母为偶数2n的平方；分子为奇数2n-1;符号奇数项为正，偶数偶为负可用(-1)n-1表示，因而通项为an 1( l)n1 斗1(2n)例 2、 1， 2+3， 4+5+6， 7+8+9+10， 11+12+13+14+15,解析：它为自然数列的前n项的和Sn被分成第一项为1,

2、第二项为后两项的和，第三项为后三项的和，依此类推 ai =S1， a2=S3-S1， a3=S6-S3， a4=S10-S6，a5=S15-S10，注意到S的脚标，归纳得anS1 2 3nS1 2 3n 1Sn(n 1)Sn(n1)22n(n 1)(n(n 1)1) n(n 1)(n(n1) 1)222222n(n21)2、定义法:若能根据条件先判断一个数列是等差数列或等比数列，则可用公式: an=a1+(n-1)d或an=a1 qn-1求出该数列的通项公式。an例3、已知数列an满足a1=1， an 1解析：在a列an(n1)iI N*)，求数列a n的通项公2anan 2两边取倒数，得差数

3、列，1 an1an1an寸，所以首项为例4、已知数列an的前n项和为Sn,且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1，求数 列an的通项公式。解析：由 3Sn=5an-an-1 +3Sn-1，得 3 ( Sn-Sn-1 ) =5an-an-1，即 3an=5an-an-1，所以1 ,数列an为等比数列，公比为q 1 ,首项为ai=2 ,故 an 1221 n 11 n 2an 2 结)(2 。三、公式法：若知道一个数列的通项公式的表达形式，则可根据题目条件，确定待定系数， 从而求出其通项公式。一 1 一 1例5、设等差数列an的前n项和是Sn，bn=，且a3 b3=S3 +S5=21。

4、求Sn2数列an和bn的通项公式。解析：由等差数列的通项公式及前 n项和公式，得(3a11 12d)3a1 3d 23d)(5a110d)21a1 d所以 an=1+(n-1)=n， bn1n(n 1)22n(n 1)四、前n项和法:式,确定当n=1时，a1=S1;推出n2时，an=Sn-Sn-1 ；验证所得的通项公 n=1时an与a1的关系，若a1适合n2时，an的表达式，则可合并，否则写寺a1 (n 1)成an=Sn Sn 1(n 2)例6、设数列an的前n项和是Sn=3n2-n (n N*)，求数列an的通项公式。 解析：当 n=1 时，a1= S1=2；当 n2 时，an=Sn-Sn-

5、1=(3n2-n)-3(n-1)2-(n-1)=6n-4.些式对 n=1 也适用。 所以 an=6n-4.1例7、已知数列an的前n项和是Sn,且满足a1=，an=-2SnSn-1(n2)。求数列是否为等差数列？请证明你的结论。Sn解析：因an=Sn-Sn-1，所以 Sn-Sn-1= -2Sn Sn-1，两边同除以-Sn Sn-1，得1 1 11丄 丄，所以数列丄为等差数列。Sn Sn 12Sn五、累差法：若an-an-1=d(常数)，则可用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d求an ；若an-an-1 =f(n)(与 n 有关的式子)，则可用累差法: an = (an-an-1) +

6、(an-1-an-2)+ + (as-a2)+ (a2-a1)+a1 求 an。例&已知数列an，满足ai=1, an =an-i +(n 2)，求数列an的通n(n 1)项公式。1i 1解析：由条件，知 an -an-1 =-=，所以n(n 1) n 1 nan = (an-an-1) + (an-1-an-2)+ + (a3-a2)+ (a2-a1)+a1=( )+ ( - ) + ( ) + () +1=2.n1n n2n12 31 2n六、累商法：若=q（常数）,则可用等比数列的通项公式ah=a1qn-1求an；若=f（n）（与an 1an 1n有关的式子），则可用累商法：anan 1

7、ah =an 1an 2更竺 a1求ana 2a例 9、设an是首项为 1 的正项数列，且（n+1） an+12-n an2+ an+1an=0（n=1, 2, 3,-）,求它的通项公式。解析：原式可分解为(an+1 +an)(n+1)an+1- n ar)=0，因an为“正项数列”，所以(n+1) Oi+1-n a=0，从而加n故ann 1anan 1a3a?n1n 221彳1gn a1 一, , , , _ 1_.an 1an 2a2 ann 132n七、递推法：若给出数列的递推公式，则可适当递推得出所要的结论，再转化处理。但要 特别注意，在递推时，n的取值范围的变化。例10、（2004全

8、国高考卷I，理15）已知数列an，满足a1=1，an =a1 +2a2 +3a3+- + (n-1) an-1(n2)，则数列an的通项an解析：由条件递推，得 an-1 =a1 +2a2 +3 ae+- + (n-2) an-2(n3)a-，得an-an-1=(n-1)an，所以an=nan-1，即一n(n 3)，an 1又由，知a2 =ai =1,所以an =anan 2a2a2=n(n-1)4X 3(n3)1n(n 1)4 31n 1,2c = n(n 1)4 3 2 n!n 32 2例11、(2005山东济宁一模，18)已知各项均为正数的数列an中，Sn是an与1的等差中项，其中Sn是

9、其前n项和，求数列an的通项公式。解析：由条件，得2 Sn an 1 4& a； 2an 1递推，得 4Sm a；1 2an1 1 (n2)-，得 4(Sn Sn 1) a； a；1 2a. 2a. 1即4an2 2anan 12an2an 12(an a n 1) (a na n 1 )( anan 1)因数列an各项均为正数，所以an an 1 2 (n2)，从而数列an为等差 数列，公差为d=2，由，令n=1,注意到S1=a1，可求得a1=1。故 &=1+(n-1)x 2=2n-1.八、待定系数法：冷是首项为若已知an+1=pai+q，贝U可设an+1+x=p(an+x)，展开合并，比较对应系数，得x ，故 an 1 p(an )，所以数列anp 1p 1p 1a1，公比为p的等比数列p 1例12、(20