概率论与数理统计第9章题库

1、百度文库-让每个人平等地提升自我第9章回归分析填空题21、 如果y是关于x的一元线性回归函数，即y a bx、，N(0,)，则E(y)=答案：E(y) a bx知识点：9.1.2 一元线性回归模型参考页：P181学习目标：1难度系数：1提示一：9.1.2 一元线性回归模型提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：填空题题解： N(0,2)，故 E( )0，E(y) a bx.2、 一元线性回归模型，通过最小二乘法确定的参数i?,t?应满足.答案：Q(a?,ty) minQ(a,b)，其中Q(a,b)为偏差平方和a,b知识点：9.1.3参数估计参考页：P182学习目标：1难度系数：1提示一：9.

2、1.3参数估计提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：填空题题解：由最小二乘法的定义即得.3、 一元线性回归模型，通过最小二乘法确定的参数为a?,b，则a,b服从分布.答案：正态知识点：9.1.4最小二乘估计的性质参考页：P181学习目标：1难度系数：1提示一 :9.1.4最小二乘估计的性质提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：由一元线性回归模型的最小二乘估计方法的性质即得4、 对于一元线性回归模型，需要对回归方程进行的显著性检验有.答案：F检验或相关系数检验知识点：回归方程的显著性检验参考页：P185学习目标：1难度系数：1提示一：回归方程的显著性检验提示二：无提示三：无提

3、示四（同题解）题型：填空题题解：由回归方程的显著性检验的概念和方法即得.5、 若通过变量替换将幕函数y axb转换为线性方程，则需进行的变量替换为 答案： y In y, x In x, A In a知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：2难度系数：2提示 :可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：两边取对数，得：y Ina bl nx，故变量替换为 y In y, x In x, A Ina.x6、若通过变量替换将双曲线函数y转换为线性方程，则需进行的变量替换为ax b答案：.1.1y -, xyx知识点：可化为线性回归的曲线回归参考

4、页：P193学习目标：2难度系数：2提示 :可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题x1b11题解：y两边取倒数，得：a，故变量替换为 y , xax by xy xbx7、若通过变量替换将指数函数y ae转换为线性方程，则需进行的变量替换为答案：y In y, A In a知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：2难度系数：2提示 :可化为线性回归的曲线回归提示二：无 提示三：无提示四（同题解）题型：填空题In y In a bx，故变量替换为 y In y, A In a .bx题解：将指数函数y ae两边取对数，得:/b&若通过变量替换将

5、函数 y ae；转换为线性方程，则需进行的变量替换为 1 答案：y In y, x A In ax知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：2难度系数：2提示一：可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题b题解：将函数y aex两边取对数，得：InyIn ab，故变量替换为y In y,x丄，A Ina. xx9、若通过变量替换将对数函数y a bI nx转换为线性方程，则需进行的变量替换为答案：x In x知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：2难度系数：2提示 :可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）2

6、1题型：填空题题解：显然通过x lnx，对数函数yblnx化为线性方程 y a bx.10、若通过变量替换将Logistic函数牯转换为线性方程，则需进行的变量替换为1答案： y , xy知识点:可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标难度系数提示:可化为线性回归的曲线回归提示二:提示三:提示四（同题解）题型：填空题1题解：将Logistic函数y-两边取倒数,a be11得：一 a be x，故变量替换为 y , x eyy知识点:9.5.2参数估计参考页：P198学习目标难度系数提示:9.5.2参数估计提示二:提示三:提示四（同题解）题型：填空题题解：最小二乘估计 /是 的线性无偏

7、估计.另外，在多元线性回归模型的基本假设下,11、在多元线性回归模型的基本假设下，回归系数的最佳线性无偏估计是答案：最小二乘估计的所有线性无偏估计中方差最小 这就是说，最小二乘估计 ?是 的最佳线性无偏估计.12、 在多元回归模型中，最简单的模型是 .答案：多元线性回归模型知识点：多元线性回归参考页：P196学习目标：3难度系数：1提示一：多元线性回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：多元回归模型中最简单的是多元线性回归模型13、 建立线性回归模型的一个重要目的是利用所估计的、理想的回归方程进行预测预测可分为答案：点预测和区间预测知识点：9.3.1预测问题；9.5.4预测参

8、考页：P189； P205学习目标：1 ； 3难度系数：1提示一：9.3.1预测问题；提示二：9.5.4预测提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：一元线性回归模型和多元线性回归模型的一个主要用途是预测，预测可以分为点预测和区 间预测.单项选择题1. 设在对两个变量 x,y进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据（Xjyji 1,2, ,n ；求线性回归方程；求未知参数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（）（A）（B）（C）（D）.答案：D知识点：9.1.2 一元线性回归模型参考页：P18

9、1学习目标：1难度系数：2提示一：9.1.2 一元线性回归模型提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：由针对实际问题的一元线性回归模型的建立过程可知为正确的步骤，故选D.2. 下列结论正确的是（）函数关系是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系；回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 一种常用方法.A.E.C.D.答案：C知识点：9.1.1变量间的关系参考页：P180学习目标：1难度系数：2提示一：9.1.1变量间的关系提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：各变量之间如果存在着完全确定性的关系

10、，即我们熟悉的函数关系故正确变量之间虽然有着一定的依赖关系，但这种关系并不完全确定，也就不能用一个函数关系式来表达，这种变 量之间的关系为相关关系故正确回归分析时研究具有相关关系的变量之间的统计规律性，它是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法.故不正确，正确.故选C3. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的()(A) 预报变量在x轴上，解释变量在 y轴上(B) 解释变量在x轴上，预报变量在 y轴上(C) 可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上(D) 可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上.答案：B知识点：9.1.2 一元线性回归模型参考页：P181学习目标：1难度系数：1提示一：9.

11、1.2 一元线性回归模型提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：通常把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量.故选B.4. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是()(A)总离差平方和(B)残差平方和(C)回归平方和(D)以上都不对.答案：B知识点：9. 2.1总离差平方和分解公式参考页：P185学习目标：1难度系数：1 提示一：9. 2.1总离差平方和分解公式提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：残差平方和代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故选B.5 设一位母亲记录了儿子39岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为? 7

12、.19x 73.93，据此可以预测这个孩子 10岁时的身高，则正确的叙述是()(A)身高一定是 145.83cm( B)身高超过 146.00cm(C)身高低于145.00cm( D)身高在145.83cm左右.答案：D知识点：预测和控制参考页：P189学习目标：1难度系数：2提示一：预测和控制提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：代入x 10得y 145.83.通过回归分析得到的只是预测的可能值，故选D.6. 在多元线性回归中，为了寻找有效的估计方法及对模型进行检验，也需对模型作一些基本假设，在下列假设中： E( i) 0 , (i 1,2,川,n)； D( i)2, (i

13、1,2,|, n)； Cov( i, j) 0, (i j, i,j 1,2j|, n)； i 服从正态分布N(0, 2) , ( i 1,2,|, n ).属于多元线性回归的基本假设有()(A)(B)(C)(D)答案：D知识点：9.5.1多元线性回归模型参考页：P197学习目标：3难度系数：1提示一：9.5.1多元线性回归模型提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：在多元线性回归中，为了寻找有效的估计方法及对模型进行检验，也需对模型作一些基本假设，为正确的基本假设，故选D.7. 下面哪个叙述是正确的()(A) 在多元回归分析中，回归方程经过检验是显著的，表明每个解释变量对反应变

14、量都显著；(B) 在多元回归分析中，回归方程经过检验是显著的，不能表明每个解释变量对反应变量都显著;(C) 在多元回归分析中，如果回归方程经过检验是显著的，就不需要再对每个解释变量进行显著性检验；(D) 以上说法都不对.答案：B知识点：9.5.3多元线性回归模型的显著性检验参考页：P203学习目标：3难度系数：1提示一：9.5.3多元线性回归模型的显著性检验提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型：选择题题解：在多元回归分析中，即使回归方程经过检验是显著的，也不能表明每个解释变量对反应变量都显著.为了删除那些不显著的， 可有可无的变量，还需要对每个解释变量对反应变量的影响是 否显著进行判断.故

15、选B.8. 某同学由x与y之间的一组数据利用最小二乘法求得两个变量间的线性回归方程为y bx a，已知：数据x的平均值为2，数据y的平均值为3,则（）（A）回归直线必过点（2，3）（ B）回归直线一定不过点（2，3）（。点（2，3）在回归直线上方（0）点（2，3）在回归直线下方.答案：A知识点：9.1.3参数估计参考页：P182学习目标：1难度系数：2提示一：9.1.3参数估计提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：在一元回归分析中，利用最小二乘法得到的回归曲线一定通过（X,勺）和.故选A.计算题1.随机抽取5个家庭的年收入与年储蓄资料（单位：千元），如下表所示年收入x81196

16、6年储蓄y求y对x的线性回归方程，并根据该回归方程预测一个年收入10千元的家庭的年储蓄额答案：y 0.3952 0.1444X ；知识点：9.1.2 一元线性回归模型；9.3.1预测问题参考页：P181； P189学习目标：1难度系数：3提示一：9.1.2 一元线性回归模型;提示二：9.3.1预测问题提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：通过计算得:540,55i 1yi153.8,Xiyii 133,i52Xi1338,yi3.38,i 1则有Lxy2XiXi yi5x25xy338 533 5260.1444，1864 18，8 0.762.6，a?y tbx0.76 0.14448

17、0.3952 .所求回归方程为：？0.3952 0.1444X.一个家庭年收入为10千元，即x010,预测其年储蓄额为：y00.3952 0.1444x00.3952 0.1444 10 1.0488.2.某种产品的产量（千件）与单位成本（元/件）资料如下：产品的产量X234345单位成本y737271736968 /求y对x的线性回归方程.答案：y 77.363 1.818x知识点：9.1.2 一元线性回归模型参考页：P181学习目标：1难度系数：33.从炼铝厂测得所产铸模用的铝的硬度x与抗张强度y的数据，如下表所示:铝的硬度x68537084607251837064抗张强度y2882933

18、49343290354283324340286提示 :9.1.2 一兀线性回归模型提示二：无提示三：无提示四(同题解)题型:计算题题解:通过计算得:6621,6yii 1426,i1481,62Xi179,i6yi230268,1LxxXii 162Xii 1-26x793.525.5Lxy6x yii 16xy14816 3.57110则有LxyLxx105.51.818，bx71 (1.818) 3.577.363.所求回归方程为:y 77.363 1.818x.(1) 求y关于x的一元线性回归方程；(2) 在显著性水平0.05下，检验回归方程的显著性答案：y 188.78 1.87x ；

19、在显著性水平0.05下，回归方程显著知识点：一元线性回归模型；9. 2回归方程的显著性检验参考页：P180； P185学习目标：1难度系数：4提示 :一兀线性回归模型；提示二：9. 2回归方程的显著性检验提示三：无提示四(同题解)题型：计算题题解：通过计算得:10101010i 1故Lxx675,46659,10yi102XiXiyi10X2103150, xi yi 214672,i 12yi10xy1000120,46659 丄 67521096.5，102146721675 31502047，10LxyLxxy bX315 1.87 67.5188.78.所求回归方程为? 188.781

20、.87x.(2)假设 H 0 : b若H。成立，则统计量FSrSe/8F(1,8)对给定的查F分布表得F.05(1,8)5.32.因为SR10(?i 1y)2bLxy 1.87 2047 3827.8910Lyy(yiy)210yi210y21000120i 131502787010SeLyySR7870 3827.89 4042.11F.05(1,8).3827897.58 5.32Se/(n 2) 4042.11/ 8Sr所以，在显著性水平 =0.05下拒绝H0，回归方程是显著的,即认为铝的硬度 x与抗张强度y之间线性相关关系显著4.在钢线碳含量x（ %）对于电阻效应 y （微欧）的研究中

21、，得到了以下数据，如下表所示:钢线碳含量x电阻效应y1518/92126假设由经验已知对于给定的x, y为正态变量，且方差与x无关（1）求y关于x的一元线性回归方程；（2） 在显著性水平0.05下，检验回归方程的显著性；（3）当钢线碳含量为时，电阻效应的置信水平为的置信区间答案：y 13.9584 12.5503x ；在显著性水平0.05下，回归方程显著；（19.6425,20.8247）知识点：一元线性回归模型；9. 2回归方程的显著性检验；9. 3预测和控制参考页：P180； P185； P189学习目标：1难度系数：5提示一：一元线性回归模型；提示二：9. 2回归方程的显著性检验；提示三

22、：9. 3预测和控制提示四（同题解）题型：计算题题解：通过计算得：7xi 13.8,i7yi17145.4,i 1Xi yi552.52,772 2Xi2.595,yi3104.2,i 1i 172-212LxxXi7x2.5957(-3.8)0.5321i 1773.8145.4Lxyxyi7xy85.6176.6786i 17772212Lyyyi7y3104.27(-145.4)84.0343i 171则有 b竺 12.5503，a ybx13.9584 .Lxx所求回归方程为：y 13.9584 12.5503X.(2)假设 Ho：b 0Sr若Ho成立，则统计量F話珥1,5）对给定的=

23、，查 F 分布表得 Fo.O5(1,5)6.61.因为Sr7_(yi y)2 bLxy 12.5503 6.6786 83.8184i 1SeLyy Sr 84.0323 83.8184 0.2139SR8311959.196.61&/(n 2)0.2139/5F0.05(1,5).所以，在显著性水平 =0.05下拒绝H0,回归方程是显著的,即认为钢线碳含量x与电阻效应y之间线性相关关系显著(3)将 xo 0.50代入回归方程 y 13.958412.5503x 得到：y。20.2336对给定的置信度 0.95，查t分布表得：t0.025（9）2.2622 .又有汽曾02078(5 .5429

24、)2 1.1O610.5321I2Lxx_ 2(X。 x)2)11(X。X)2nLxx0.5911得yo的置信度为的预测区间为:(y t_(n 2)21 1 吟匚。t (n 2)nLxx2Lxx1 1(xoX) (19.6425,20.8247)Lxx(19.6425,20.8247).故当钢线碳含量为时，电阻效应的置信水平为的置信区间为5.企业的利润水平和研发费用的一组调查数据（单位：万元），如下表所示:研发费用x10108881212121111利润y100150200180250300280310320300判断利润水平和研发费用之间是否存在线性相关关系？（答案：不存在线性相关关系0.0

25、5).知识点:9. 2.3相关系数检验参考页：P188学习目标难度系数提示:9. 2.3相关系数检验提示二:提示三:提示四（同题解）题型：计算题题解：通过计算得:10Xi102,10yi 1239,i10W 25040,i 1i101066,10y2624300,i 1Lxx10102Xi10X21066210 10.225.6，LxyXiYi10xy25040 10 10.2 239662，Lxy空 25.86,25.610(?y)2b_xy 25.86 662 17119.32，Lyy10(yii 1y)2102 2 2yi2 10y2624300 10 2392i 153090，假设H。

26、对 =，由相关系数表查得临界值r0.05(8) O.6319宀童 32 0.3225Lyy 530900.3225 0.56790.632 r.05(8)，百度文库-让每个人平等地提升自我2) ?227所以认为y与x之间不存在线性相关关系6.广告公司为了研究某一产品的广告费用x （万元）与其销售额 y （万元）之间的关系，对多厂家12345678910广告费x3560 /25303540、25205045销售额y440520380475385525450365540500个厂家进行了调查，所得数据如下表所示（1 ）求y关于x的一元线性回归方程；（2） 检验y与x之间是否存在线性相关关系（0.0

27、5）；（3）当厂家投入了 55万元时，求销售额 y0的置信度为的预测区间；（4） 至少投入多少广告费用才能以95%勺概率保证销售额不低于380万元.答案：y 309.5289 4.0677X;存在线性相关关系；（420.0436,646.4612）；万元知识点：一元线性回归；9. 2回归方程的显著性检验；9. 3预测和控制参考页：P180； P185； P189学习目标1难度系数:5提示一： 一元线性回归;提示三:9. 3预测和控制提示四（同题解）题型：计算题题解：（1）计算得：555Xi365,yi4580,xi yi 172875,i 1i 1i 155 2yi2135200,12xi 1

28、14725,iLxxn2 2 人 nxi 1 1 2 /14725 .36521402.510提示二：9. 2回归方程的显著性检验;nxyXiYi1nxy 172875365 4580570510从而有? 5Lxx議 4.677厂伎 458 4.0677 365 309289 .所求回归方程为:? 309.5289 4.0677x.(2)假设H。若H成立，则统计量F - R _ F (1,8)Se/8对给定的=,查 F 分布表得 F0.o5(1,8)5.32.由于Sr(? y)214.0677 5705 23206.2285Lyy(yiy)2yi2 ny22135200 丄 458023756

29、010SeLyySr3756023206.2285 14353.7715SrSe/( n 2)誰卷 12339 52 F0-(1,8).所以,在显著性水平 =0.05下拒绝H0,即可以认为广告费用的确对销售额有影响,回归方程是显著的，y与x之间存在线性相关关系(3) 将x055代入回归方程? 309.52894.0677x中,见 309.52894.0677 55 533.2524对给定的置信度0.95，查t分布表得临界值t0.025 (8)2.306.n 214353.7715 = .-1794.2214=42.35821(X。X)2Lxx1 1(55 36.5)2両101402.51.15

30、9t_(n1(x x )2 2.306 42.3582 1.159113.2088Lxx得 y0 的置信度为的预测区间为：(533.2524 113.2088) (420.0436,646.4612)(4)查表得临界值uU0.0251.962y1 a? u ?所以x,37.735 _ 380 309.5289 1.96、42.3582 ” b4.0677故至少要投入万元的广告费，才能以95%的概率保证销售额不低于 380万元.7.炼钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积（单位m3）不断增大，试验数据如下表所示：使用次数x增大容积y使用次数x增大容积y使用次数x增大容积y27123

31、81349145101561116根据经验知增大容积 y与使用次数x之间的关系，可由双曲线函数 -a -来描述.求增大容积y xy与使用次数x的回归方程.答案：y0.13170.0821x知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：1难度系数：4提示一：可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：计算题百度文库-让每个人平等地提升自我题解：由题意知y与x可由双曲线函数丄a -描述，所以令y 丄，x -，则有y a bxy xy x原数据通过变量替换后 x与y得到新数据，并整理后如下表：ixyiXiyi2Xi2yix yi12 /233/4y455667788

32、9910101111121213131414151516计算得到x 0.1587, y 0.1031，nLxxx2 nx 2=0.5842 15 0.15872=0.2064，i 1nLyyyi2 ny 20.1633 15 0.10312=0.0039，i 1nLxyx % n 匚=0.2727 15 0.1587 0.10310.0273,i 1Lxy0.0273_ I?0.1321,? y b?x 0.1031 0.1321 0.15870.0821 .Lxx0.2064则y关于x的回归方程为y 0.08210.1321x.下面利用相关系数检验法对此回归方程进行显著性检验(=).查相关系

33、数表得临界值r.05(13)0.514./Lxy0.0273r j/0.9712jLxxLyyV0.2064 0.0039因为，r 0.9712 0.514 r0.05(13)，所以y与x之间的线性相关关系显著.带回原变量，得10.13170.0821+ ，?x即yx为所求回归曲线方程.0.1317 0.0821X8.在彩色显影中，根据以往经验，形成染料光学密度y与析出银的光学密度 x之间呈倒指数关系:by aex已测得11对试验数据如下表所示:析出银的光学密度x染料光学密度y析出银的光学密度x染料光学密度y析出银的光学密度x染料光学密度y(1)求出经验回归曲线方程；(2 )对回归曲线的显著性

34、进行检验(显著性水平=0.05)0.146答案：y 1.73e =；回归曲线显著知识点：可化为线性回归的曲线回归参考页：P193学习目标：1难度系数：529百度文库-让每个人平等地提升自我提示 :可化为线性回归的曲线回归提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：计算题- 1题解：（1 ）由题意知y与x可由倒指数函数 y aex描述，所以令y In y, x , A Ina，则x有 y A bx原数据通过变量替换后x与y得到新数据，并整理后如下表:ixyiXiyi2xi2yix yi12040023410100565257401600891011代入计算得到x 7.95，y 0.612，11Lxxi 12 2xi11x406.611 _1122 2yi11y8.70，i 1Lxyxi yi 11xy59.35i 1Lyy所以b Lx59 35-59.350.146 A ybx 0.612(0.146) 7.950.549Lxx406.6b? 土 0.0273 0.1321,? y b?x 0.1031 0.1321 0.15870.0821 .Lxx0.20