人教高中数学选修教案全集

1、人教版高中数学选修2-2教案全集第一章导数及其应用 1.1.1变化率问题教学目标：1 理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3 会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一. 创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研 究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核

2、心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、 最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二. 新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率,气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ，可以发现，随着气球内空气容量的增加 的半径增加越来越慢从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位：L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=羊二r33分析:如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)=3Vr(V)=3彳:r(2) -r(1) ： 0.16(dm)气球的平均膨胀率为专-当V从O增加到1时，气球半径增加了 r(1) -r(0)

3、、0.62(dm)气球的平均膨胀率为r(I) r(O)、0.62(dm/ L)1 - 0当V从1增加到2时，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从Vi增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？ r(V2八(VI)V2-V1冋题2咼台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t (单位：S) 存在函数关系h(t)= -4.9 t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 V度粗略地描 述其运动状态？思考计算：0乞t乞0.5和1乞t乞2的平均速度V 在 r0.5这段时间里，V = h(0.5) h(O) =4.05(ms)

4、;0.5-0在 1 乞2这段时间里，v = h(2) _ h(1) = _8.2(m/s)2-165探究：计算运动员在0乞t乞65这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9 t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)=h(0)，4965-h(R-h(0) 所以 V 490(s/ m),65 C04965虽然运动员在0乞t乞65这段时间里的平均速度为0(s/ m),但实际情况是运动员仍然运动,49并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变

5、化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子f (X2)- f (X1)表示,称为函数f (X)从X1到X2的平均变 X2 一 X1化率2. 若设二X =X2 -X1 , Lf = f (X2) - f (X1)(这里二X看作是对于X1的一个“增量”可用X1+ X代替 X2,同样 f = y = f (x2) - f (x1)3.则平均变化率为訓一 f _ f(X2)- f(X1)_ f(X1X)- f(X1)LXLXX2 一 X1LX思考：观察函数f(x)的图象平均变化率 =f(x-f(XI)表示什么?也XX2 一 X1X直线AB的斜率 yf=(X2)-f(一一Xi) X =X2X-XX1三.

6、典例分析例1.已知函数f(x)=-x2 X的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1 2 *y),则右解:一2 Ly = -(-1 -X)2 ( =x),空=-(-1X)2 (-1：x)-2 _ 3 _ ,XLXLX例2.求y =X2在X =Xo附近的平均变化率。解:所以2 2 AZ丄 A、22y(Xo+K) -X0y =(XOrX) -X。，所以-.-xxy =x2在X=XO附近的平均变化率为2xo *二X四课堂练习1. 质点运动规律为s =t2 3 ,则在时间(3,3 讥)中相应的平均速度为 .2. 物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3. 过曲线y

7、=f (x)=x3上两点P (1, 1)和Q(1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=O.1 时割线的斜率五. 回顾总结1. 平均变化率的概念2. 函数在某点处附近的平均变化率六. 教后反思： 1.1.2导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;3. 会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念.教学过程：一. 创设情景(一) 平均变化率65(二) 探究：计算运动员在0乞“65这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？265探究过程

8、：如图是函数h(t)= -4.9 t +6.5t+10的图像，结合图形可知，h(-)=h(0)，49实际情精确描虽然运动员在Ozt 0 在2,2+这段时间內口-j(2)-(2 + )49z2+13.1/V- -(2+i)P皿-13.1-(2 + z)-(2)-4 9z2-13.1z(2 +) f= -49z-13.1当 Ai = -O Ol时，z = -13 051；卫当f = OOIK) f = 13.05h 屮当 /=-0.001 时，i = -13.095h P当Af = O-OOl 时，Ai = -13.0951； Q当 At = -0 001 时，/ =-13 09951； P当 i

9、 = 0 001 时，/ =-13.0995h 好当Z = -0.0001 时，i -13.099951；芒当 Ar = O-OOOl 时，Ai = -13.0999511 Q当/ = -OOOOOI时,Z = -13.099951； 当 Z =0.00001 时,z = -13.099951 s P JB Ii M-T考察t =2附近的情况:思考： 当 At 趋近于0时， 平均速度V有什么样 的变化 趋势？ 结论： 当 At你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？况是运动员仍然运动, 述运动员的运动状态. 二新课讲授1. 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度。运动员的平

10、均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少?趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度V都 趋近于一个确定的值-13.1.从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度，因 此，运动员在t =2时的瞬时速度是-13.1ms为了表述方便，我们用Iim h(2 W 一 13.1-0At表示“当t =2， t趋近于0时，平均速度V趋近于定值-13.1小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速 度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数y=f()

11、在x=x0处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f()在x = x0出的导数，记作f ()或y Ixw，即卩说明：(1)导数即为函数y=f()在=处的瞬时变化率(2) AX=X _x0 ,当 x 0时,X-Xo ,所以 f (Xo)=f(x) - f (Xo)X-Xo.典例分析例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求 f = y=f ( 1 + X)- f ( 1 )=6 x+( X)2再求兰=6 rx再求Iim - =6x0 Ax解：法一定义法(略)法二:yx4= IimI2 23x -3 1X -1=IimI2 23(x -1 )X -1=Iim3( X 1) =6(2)求

12、函数f (X)= -X2 X在x = -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.2解：卫=-(-1 O (-1”2 = XLXLX例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热，如果第Xh时，原油的温度(单位：)为f (X) =2-7x 15(0乞X乞8),计算 第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数定义，所以 f (2) = IimOfxfxf(2 x) - f(x)Xm(*3)-3同理可得：f=5在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 -3

13、和5,说明在2h附近，原油温 度大约以3：C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5：C/h的速率上升.注：一般地，f(Xo)反映了原油温度在时刻X。附近的变化情况.四课堂练习1 质点运动规律为s =t2 3 ,求质点在t=3的瞬时速度为2. 求曲线y=f (x)=3在x=1时的导数.3例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五. 回顾总结1. 瞬时速度、瞬时变化率的概念2. 导数的概念六. 教后反思： 1.1.3导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2. 理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的

14、几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一. 创设情景(一) 平均变化率、割线的斜率(二) 瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f()在=o处的瞬时变化率，反映了函数 y=f()在=o 附近的变化情况，导数f(X。)的几何意义是什么呢？二. 新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2 ,当R(Xn,f(Xn)( n 4,2,34)沿着曲线f(x)趋 近于点P(Xo, f(Xo)时，割线PPn的变化趋势是什么?3.1-2着 时 置称问与系？少？我们发现,当点Pn沿 线无限接近点P即 X0 割线PPn趋近于确定的位

15、这个确定位置的直线 PT 曲线在点P处的切线. 题：割线PPn的斜率kn 线PT的斜率k有什么关切线PT的斜率k为多容易知道，割线PPn的斜率是kn J (Xn) - f (XO),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜即 k = lXmOf(X。：x) - f(Xo)=X=f (Xo)Xn-Xo说明：(1)设切线的倾斜角为 ,那么当 XO时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切 线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法切线斜率的本质一函数在X= Xo处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断 与求解.如有

16、极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线 的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个(二)导数的几何意义：函数y=f()在X=Xo处的导数等于在该点(xo If(XO)处的切线的斜率，即 f (Xo)= lim f (XO rX) 一 f(ok-0x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： 求出P点的坐标； 求出函数在点0处的变化率f (0) = mf (Xo ：x)-f (XO)= k ,得到曲线在点(Xo, f (Xo)的切线的斜率； 利用点斜式求切线方程(二)导函数：由函数f(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，f(Xo)

17、是一个确定的数，那么,当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f()的导函数.记作：f (X)或y，f ()yimof(X . ) - f (X)Z注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三) 函数f(x)在点Xo处的导数f (Xo)、导函数f (X)、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数f(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限，它是一个常数，不是变数。(2 )函数的导数，是指某一区间内任意点X而言的，就是函数f()的导函数(3 )函数f()在点Xo处的导数f(o)就是导函数(X)在X=Xo处的函数值，这也是 求函数 在点Xo处的导数的方法之一。三. 典例分析

18、例1: (1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=32在点(1,3)处的导数.解：(I) y ld= Jmo沁IWf=X所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y=o32 _3 12(2)因为 y*=m1 X3(2 _12)PmIAxPm13(X1) Y所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y3 = 6(x_1)即6x_y_3 = 0(2)求函数f (x)= -x2 X在X = 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.2解：卫=-(-1：X)(一1：x) 一2 = XLXLX例2.(课本例2)如图3.1-3

19、,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数比较曲h(x-4.9x2 6.5x 10 ,根据图像，请描述、 线h(t)在to、t1、t2附近的变化情况.解:我们用曲线h(t)在to、t1、t2处的切线，线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=to时，曲线h(t)在to处的切线Io平行于X轴，所以，在to附近曲线比较平坦，几乎没有升降.(2)当t N时，曲线h(t)在t1处的切线1的斜率h(t1) ：o ,所以，在t *附近曲线下降,即函数h(x -4.9x26.5x 1o在t =t1附近单调递减.(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线2的斜率h(t2)：o ,所以，在Ut2附近曲

20、线下降,即函数h(x-4.9x26.5x 1o在t =t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线1的倾斜程度小于直线2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t?附近下降的缓慢.例3.(课本例3)如图3.1-4 ,它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mgmL)度的瞬时变化率(精确到0.1).随时间t (单位：min )变化的图象.根据图像，估计t =o.2,o.4,o.6,o.8时，血管中药物浓解：血 管中某一 时刻药物 浓度的瞬 时变化 率，就是 药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4 ,画出曲线上某点处的切线，禾U用网格估

21、计这条切线的斜率，可以得到此时 刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t =0.8处的切线，并在切线上去两点，如 (07, 0.91)，(1.0,0.48),则它的斜率为:I 0.48-0.91k1.41.0 - 0.7所以 f (0.8) ： 一1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率f(t)0.40-0.7-1.4四课堂练习1 求曲线y=f (x)=3在点(1,1)处的切线；2.求曲线 X X在点(4,2)处的切线.五回顾总结1. 曲线的切线及切线的斜率；2. 导数的几何意义 六.教后反思： 1.2.1几个常用函数的导数 教学目标：11. 使学生应用

22、由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y = x、y = x2、的X 导数公式；2. 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y =的导数公式及应用X教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=x2、的导数公式X 教学过程：一. 创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某 一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y= f(),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所 以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某 些函数的导数

23、，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函 数的导数.二. 新课讲授1 .函数y=f(x)=c的导数根据导数定义，因为Zf(X rX)-f (X)= 口 =OAXxx所以 y = Iim y = Iim 0 =0ZZ -0函数导数y = O表示函数y = C图像(图3.2-1 )上每一点处的切线的斜率都为O .若y = c表示路程关 于时间的函数，则y,=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2 .函数y = f (X) =x的导数因为 y _ f( x)-f(X) X IX =IZZAx所以 y = Iim - = Iiml =1 Ax -0函

24、数导数/=1表示函数y = X图像(图3.2-2 )上每一点处的切线的斜率都为1.若y = X表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3. 函数y = f (x) =2的导数2 2因为 y = f(x =x)-f(x) = (X X) -xZ也XZ所以目=l.jm -y = Iim(2 X ： =X)= 2x函数导数y：2X表示函数y=2图像(图3.2-3 )上点(x,y)处的切线的斜率都为2x ,说明随着X的 变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当X 0时，随着X的增加，函数y =2减少得越来越慢；当X 0时，随着

25、X的增加，函数y=2 增加得越来越快.若y =2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运 动，它在时刻X的瞬时速度为2x .4 .函数y = f (x) =1的导数X1 1 因为辻=f(x x)-f(x) _ X：X 匚Zxx所以 y = Iim y = lim( - _1)= 一丄2 Ax X x+x xX函数导数 XIX- Xx5.函数y=f(x)=.x的导数因为 y _ f (x：x) - f (X)所以八LXLX函数导数Iim - X1X12匸(2)推广：若 y = f () = n(n Q*),则 f (x) = nxn三. 课堂练习1. 课本P13探究12 .课本P

26、13探究2四. 回顾总结五. 教后反思：教学目标：1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式；2. 掌握导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一.创设情景种常见函数y = c、y = x、y=2、y=丄X函数导数的导数公式及应用二.新课（一）基（二）导 则讲授本初等函数的导数公式表函数导数数的运算法导数运算法则I f(Xg(X)f() -g(x)2.I-f (x) g()丨=f()g() - f ()g()3.f() =

27、 f()g()-f()g().g()Ig(X)12(g()F)(2) 推论：ICf () 1 =cf()（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三.典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价P （单位：元）与时间t （单 位：年）有如下函数关系p（t P0（l 5%）t ,其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p=1 ,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01 ）?解：根据基本初等函数导数公式表，有p（t）=105t n1.05所以 p(10) =l051 In1.05 : 0.08 (元/ 年)因此,例2.在第10个年头，这种商

28、品的价格约为0.08元/年的速度上涨.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数(1)(2)(3)y = x Sin X lnX ；(4)Xr ；(5)1 -In X Y =(6)y = (2 2 -5x 1) ex;(7)Sin X-XCOSXy =Cosx XSin X解：(1) y =(=(X SinX ln x) =(x ln x) sin x-2x 3) =(3)-(2x) (3)=32-2 ,C2y =3x-2。(2)= (-1 = ).(-1=) = (1 &) _(1-浪)(3)1- X 1 - JX (1、x)2(1 -、x)2(4)吩）YYYYX 4 -X

29、(4 )14 x 4 ln4 1 -xln4(4x)2(4x)24x1 -xl n4 y 二4x(5)/1 -ln x、/ “2、1、 Cy珂帀TTr2(帀)讥2(1 ln x)2x(1 ln x)(6)y =(22 _5X 1) ex (22 _5X 1) (ex)二(22 _ X _4) ex,= (4x -5) ex (22 -5x 1) exy = (2 X2 _x -4) ex。,sin x-xcosx Y=(COSX XSinX)22 O(cosx XSin x)【点评】 求导数是在定义域内实行的. 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.

30、随着水纯净度的提高，所需净化费用不断 增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1) 90%(2) 98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.(1) 因为c(90)5284 2 =52.84 ,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是(100-90)252.84 元/ 吨.(2) 因为c(98)5284 2 =1321 ,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是(100-90)1321元/吨.函数f (X)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，c(98) = 25c (90).它表示纯

31、净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90% 左右时净化费用的瞬时变化率的 25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多， 而且净化费用增加的速度也越快.四. 课堂练习1 .课本P92练习2. 已知曲线C： y = 3 X 4- 2 x3-9 X2 + 4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(y = 12 X + 8)五. 回顾总结(1) 基本初等函数的导数公式表(2) 导数的运算法则六. 教后反思：教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.教学难点正确分解复合

32、函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.一. 创设情景(一)基本初等函数的导数公式表函数导数数的运算法则导数运算法则(二)导1. If(Xg(X = f(x) _g(x)2 If(X) g() 1 = f()g() - f ()g()3 f() I = f()g() f()g() .ILg(X)-Ig(X)12(g()7)(2)推论：ICf(X)I =cf(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)新课讲授复合函数的概念般地，对于两个函数y = f (u)和u=g(x),如果通过变量U，y可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u = g()的复合函数，记作y = f

33、 g()。复合函数的导数复合函数y = f g()的导数和函数y = f(u)和U = g()的导数间的关系为y =yu以，即y对X的导数等于y对U的导数与U对X的导数的乘积.若 y = f g(),则 y = f g() = f g() g () .典例分析例1 (课本例4)求下列函数的导数：(I) (2 3)2 ; (2) y =e.051 ;(3) y=sin(二x )(其中二，均为常数).解：(1)函数y=(23)2可以看作函数y=u2和2x 3的复合函数。根据复合函数求 导法则有卜 卜 卜 2 yx = yu UX =(U ) (2x 3) =4u =8x 12。(2) 函数y=e0

34、5x1可以看作函数y=eu和U -0.05x1的复合函数。根据复合函数求 导法则有yx =yu ux =(eu)(-005x 1)二0005eu =-0005e0.05x1。(3) 函数y =Sin(二X )可以看作函数y =Sin u和U =恵的复合函数。根据复合函 数求导法则有 yx = yu UX =(Sinu)(二X)=二CoSU=二 cos(二 x )。例2求y =Sin(tan x2)的导数. 2 2 2 2解： y =sin(tan X ) =cos(tanx ) SeC (X ) 2x【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层 逐层求导，

35、直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例3求y=X7的导数.X20X解:1 . 2 _2ax - (x -a)2x-2a2 x9axx2 -2ax-a2_ a2 2 -2axx2 -2ax x2 -2ax(x? 2ax)2【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例4求y = sin 4x + cos 4x的导数.【解法一】y = Sin 4x4 2 2 2 2 2 1 2+ cos X= (Sin X + cos x) 2sin cos X= 1 Sin 2 X1=1 一 (1 cos 4 x)4【解法二】y = (Sin 4x) + (

36、cos 4x) = 4 Sin 3 X(Sin =4 Sin 3x cos X + 4 cos 3x ( Sin x) = 4 Sin X cos=-+ 1COS 4 X. yz= Sin 4 44x) + 4 cosX (Sin 23x (cos x) X cos2 x)=2 Sin 2 X cos 2 X = Sin 4 X【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求 导数，应注意不漏步.例5曲线y = X (X + 1) (2 X)有两条平行于直线y = X的切线，求此二切线之间的距离.【解】y = X 3 + X 2 + 2 X V = 3 X2+

37、2 X + 2令 V= 1 即 3 X2 2 X 1 = 0,解得 X =-或 X = 1.3114于是切点为 P (1, 2) , Q (,),327过点P的切线方程为，y 2= X 1即X y + 1 = 0. 显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为I 114, I=16 2 .27I1|327.2四. 课堂练习1. 求下列函数的导数(1) y =Sinx3+sin33x； (2) y=sn空; Ioga(X2-2)2x -12. 求ln(2x23x1)的导数五. 回顾总结六. 教后反思：教学目标：1. 了解可导函数的单调性与其导数的关系；2. 能利用导数研究函数的单调性，

38、会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一. 创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的 快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体 会导数在研究函数中的作用.二. 新课讲授高表数这1 .问题：图3.3-1(1),它表示跳水运动中度 h随时间t变化的函数h( t) - 24

39、 t 杓 的图像，图 3.3-10( 2)示高台跳水运动员的速度 V随时间t变化的函v(t) =h(t -9.8t 6.5 的图像.运动员从起跳到最咼点，以及从最咼点到入水两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：(1) 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(th(t) 0 .(2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数相应地,v(t) =h(t) ：0 .2. 函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 如图333 ,导数f(xo)表示函数f(x

40、)在点(xo,y)处的切线的斜率.在X=Xo处，f (Xo) 0 ,切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在Xo附近单调递增；在X=X1处，f (Xo) ：0 ,切线是“左上右下”式的，这时，函数f (X)在Xi附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f(X) o ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f (x) o ,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)特别的，如果f (x)=o ,那么函数y = f (x)在这个区间内是常函数.3. 求解函数y=f()单调区间的步骤：(1) 确定函数yrf()的定义域；(2) 求导数 y，

41、= f lx)；(3) 解不等式f，(x) o,解集在定义域内的部分为增区间；(4) 解不等式f，(x) 2,解集在定义域内的部分为减区间.三. 典例分析例1.已知导函数f (X)的下列信息：当 1 ： X : 4 时，f(x) o ；当 X 4 ,或 X 1 时，f(x) ： o ；当 x=4 ,或 x=1 时，f(x)=o试画出函数y = f (x)图像的大致形状.解：当1 X B,2A,3D,4C思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快 慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范

42、围内变化的 快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓” 一些.如图337所示，函数目=f(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”， 在b, ：或一:,a内的图像“平缓”.例4.求证：函数y =23 32-12x 1在区间-2,1内是减函数.证明：因为 y=62 6x-12 =6 X2 x-2 =6 x-1 X 2当X 2,1即-2 X ： 1时，y ： 0 ,所以函数y=23 3x2-12x 1在区间-2,1内是 减函数.说明：证明可导函数f X在a,b内的单调性步骤：(1) 求导函数f X ;(2) 判断f X在a,b内的符号；(3) 做出结论：f X 0为增函数，f X

43、0.X(X 1)(x -1)2解得X 1或X v 1.1. y=x+的单调增区间是(, 1)和(1 , +).X令(X_I)2x -1)V0,解得1 vXV0 或 OVXV 1.X1. y=X+的单调减区间是(一1, 0)和(0, 1).X四课堂练习1 求下列函数的单调区间132I1. f (X)=2X 6X+7 2. f(X)= +2x 3. f (X)=Si nx, x 0,2二4. y=x InXX2 课本 练习五回顾总结(1) 函数的单调性与导数的关系(2) 求解函数y = f (x)单调区间(3) 证明可导函数f X在a,b内的单调性六. 教后反思：教学目标：1. 理解极大值、极小值

44、的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一.创设情景观察图3.3-8 ,我们发现，t=a时，高台跳水运动员距水面高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？放大a附近函数h(t)的图像，如图3.3-9 .可以看出h (a)；在a ,当t a时，函数h(t)单调递增，h (t)0 ；当t a时，函数h(t)单调递减，h (t) ：0 ;这

45、就说明，在t = a附近，函数值先增(tea , h(t)0 )后减(ta , h(t) v0 ).这样，当t在a的附近从小到 大经过a时，h (t)先正后负，且h (t)连续变化，于是有h(a)=0 .对于一般的函数y=f X ,是否也有这样的性质呢?附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的从图象观察得出，判别极大、极小值的方法判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号.二新课讲授1 .问题：图3.3-1 (1),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) = -49t2 6.5t 10的图像，图3.3-1( 2 )表示高台跳水运动员的速度V随时间t变化的函数v(t)= h ( t -9.8 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：(3) 运动员从起点到最高点，离水面的高度 h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(t) =h(t) 0 .(4) 从最高点到入水，运动员离水面的高度 h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t) =h(t) ：0 .2. 函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.如图3.3-3 ,导数f(xo)表示函数f(x)在点