2.3.2双曲线简单几何性质教学的设计

1、x的取值范围是什么?a或xa从标准方程能否得出这个结论呢?b21,即 x2a2双曲线的简单几何性质一、学习目标知识目标：了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标：通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力情感目标：使学生在合作探究活动中体验成功 ，激发学习热情，感受事物之间处处存在联系二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线 .三、学习过程：(一) 复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该X y2研究双

2、曲线 2 1(a 0,b 0)的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.a b这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质(二) 新课：我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。2 21双曲线笃 与1(a 0,b 0)的简单几何性质a b(1) 范围从图形看,师生：xy的范围呢？ y R(2) 对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？x, y分别代提示：用 y代替原方程中的 y，若方程不变，则该曲线关于x轴对称。同理，若用 x代替原方程中的x，若方程不变，则该曲线关于 y轴对称。

3、若用 替原方程中的x, y，若方程不变，则该曲线关于原点对称。所以，双曲线是关于 x轴、y轴和原点都是对称的。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称 中心，又叫做双曲线的中心。(3) 顶点椭圆的顶点有几个？ (4个)它是如何定义的？(椭圆与对称轴的交点) 类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲x2 y线二 2 1（a 0,b 0）的顶点有几个？顶点坐标是？（ a,0）a b虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把（0, b）标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征 矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴

4、长。双曲线中也有类 似的定义。如图，线段 AA叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b, b叫做双曲线的半虚轴长我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线的方程为x2 y2 m（m 0）（4）渐近线图2:标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征 矩形的对角线，其方程是 y bxa定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。x2 y2bx y双曲线二2 1（a 0,b 0）的渐近线方

5、程是 y x即0abaa b2y 1（a 0，b 0）2x注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程， 可以发现：将双曲线方程 a2中的1改为0后得到新的方程冷a2笃 0（a 0,b 0），它的解就是两条渐近线方程。（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法,避免记忆公式）0（简述作c，叫做双曲线的离心率。aba y焦点在y轴上的双曲线的渐近线y bx即;等轴双曲线x2 y2 m（m 0）的渐近线方程是y渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。 图过程）（5）离心率2c类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比e经2a椭圆离心率的范围是什么？ （0 e 1 ）。它对椭圆的形状有何影响

6、？（影响椭圆的扁平程度,e越大椭圆越扁）。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢?0 a c e 12 2_2一 .C2 1 ,e2 1，不难发现：e越小（越接aa由等式c2 a2 b2，可得：-a近于1），-就越接近于0,双曲线开口越小；e越大，-就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线aa的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。e对双曲线的形状有何影响呢？得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大。（三）例题解析例1.求双曲线9y2 16x2 144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐

7、近线方程2 2由此可知，半实轴长a 4,半虚轴长 b 3. Qc .a2 b25所以，焦点坐标是（0, 5）C5yx离心率e,渐近线方程是0a 44 3注：此问题由学生口答。x2练习：求双曲线92y162的渐近线方程变式：已知双曲线的渐近线方程为寸气0,且双曲线过点A（3,2、3），求此双曲线的标准方程解：设所求双曲线的标准方程可设为2 2X -(0),由题意得916解：把方程9y2 16X2144化为标准方程卷71.(3)292、3)22 21xy所以，所求双曲线的标准方程为149416解得4165例2 .如图，设M x, y与定点F 5,0的距离和它到直线I : X的距离的比是常数，求点M

8、54的轨迹方程.x, y，则i122亠16匚亠16MFv x 5y ,到直线l:x 的距离dx 55分析：若设点M则容易得点M的轨迹方程.x2y例3 .过双曲线-台1的右焦点F2倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点求I AB解：直线AB: y3)(五)作业布置课本 P61 A 3,4 B 1、3y w (x 3)2由 2 3 2消去 y，得5x2 6x 27 0X-匕136解得Xi3, x2代入直线 AB 得 A( 3, 2 .3),B(9, )55所以， AB J(xi X2)2(yi y2)21635(四)课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1双曲线的简单几何性质2双曲线与渐近线(1

9、)双曲线2 x-2 m0)的渐近线方程是2 x2 m22(2)渐近线是y0的双曲线方程可设为弓(mnmn0)登封市20142015学年课堂教 学达标评优活动参评教学设计双曲线的简单几何性质单位：登圭寸一中学科：数 学主讲人：张凤娟双曲线的简单几何性质教学反思本节内容是人教 A 版选修 2-1 第二章第三节双曲线的第二课时，本节课是在学习了“椭圆的几 何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程， 知道双曲线的有关性质 .与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何

10、性 质。这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结 合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。课程标准明确要求： 学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据 这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。（1）知识目标： 使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质； 掌握双曲线标准方程中 a,b,c 的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念； 能运

11、用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。（2）能力目标： 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力， 分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法； 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的 理解。（3）情感目标： 通过本课时对双曲线几何性质的研究、探讨，让不同层次的学生都能切实体验成功的喜悦，感受数 学的美和魅力，激发创造的激情，培养审美的情趣。根据本节的教学内容和课程标准以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把 对双曲线的几何性质的理解和简单应用作为本节课的重点。渐近线是双曲线的特有

12、性质，也是教学的难点，但课程标准要求相对较低，不要求严格证明， 为了突破难点，通过问题引导学生从已有认知水平出发，来发现双曲线的渐近线，然后充分利用多 媒体展示，帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何 性质”，教学通过类比，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，凡是难度不大，经过学 习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的 学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能 力和解决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它