(完整版)高数下册复习资料

1、高等数学（一）教案期末总复习第七章常微分方程1. 基本概念：通解，特解，初始条件2. 可分离变量的微分方程3. 齐次方程（简单类型）4. 一阶线性方程：公式法（掌握交换自变量与因变量类型）5. 二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程法求通解6. 二阶常系数非齐次线性微分方程（非齐次特解与齐次通解关系，正确的设出特解）第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量uuu有大小、有方向记作a或ABa axi ayj azk (ax,ay,az)rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模记作aaJax2ay2az2和差*cabc a bcabax b

2、x,ay by,az bz单位向量a 0 ,则 ea-aa(ax , ay , az)aJ 222寸 ax ay az方向余弦设a与x,y,z轴的夹角分别为，贝U方向余弦分另为 cos , cos , coscosea ( cc2 . cos +axayaz-H ,cos-H,cos-Faaa)s , cos , cos )2 2 dcoscos1点乘（数量积）a b a b|cos ,为向量a与b的夹角a b axbx aybyazbz叉乘（向量积）cabc a b sin为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a bijkaxayazbxbybz定理与公式垂直a b a b 0a ba

3、xbx ayby azbz0平行a/b a b 0axayaza/bbx by bz交角余弦a b两向量夹角余弦 cos|a|baxbx ayby azbzcosj jJax2 ay2 az2 Jbx2 by2 bz2平面直线法向量 n A, B,C点 M0(x0,y0,z0)方向向量 T m, n, p点 M(X0,y0,Z0)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式Aix Bi y C iz D i 0A2X B2 y C2Z D 20点法式A(x Xo) B(y yo) C(z z)0点向式x X0 y y zZ0mnp三点式XXiyyizziX2

4、Xiy2yiZ2wX3XiyayiZ3w0参数式xx0mtyyntzZ0pt截距式x y z 1 a b c两点式x X0 yyzZ0Xi X0yiyZiZ0面面垂直Ai乓Bi B2C1C20线线垂直mi m2nin2 pi p20面面平行A1B1C1A2B2C2线线平行minipim2 n2p2线面垂直ABC m n p线面平行Am Bn Cp 0点面距离Mo(Xo, yo,Zo)Ax By Cz D 0面面距离Ax By Cz Di 0Ax By Cz D20dAx0 By。Cz。DdDi D2IJa2 b2 c2JA b2 c2面面夹角线线夹角线面夹角n1 A1, B ,C1 n2 A2

5、, B2,C2Simi, ni，piS2m2, n2,p2s m,n, p n A,B,C| A1A2B| B2 C1C2 |cosImim? nin2 ppi|Am Bn Cp2 2 _ 2 2 2 -2BiC1 A2B2C2;222/222X minipix m2n2P21J - 2_ 22；222 A B C * m n p空 间 曲 线x(t)，y(t)，z(t)，(t)切向量T （ （t。），（t。）， （t。）切“线”方程：y y。 三4（t。）（t。）（t。）法平“面”方程：（t）（x X。）（t）（y y。）（t）（z Z0） 0y(x)Z(X)切向量T (i,(x),(x)切

6、“线”方程：x - X。y y。z Z0i（X。）（X。）法平“面”方程：（X X。）（X。）（y y。）（x）（z z。） 0投影向量a在非零向量b上的投影prj baa cos(a b)prjbaaxbx aybyazbz-4 -高等数学(一)教案期末总复习-11 -法向量F(x,y,z) 0空间曲面(Fx(Xo, yo,zo),Fy(xo, y,Zo),Fz(x, y,Zo)切平“面”方程：Fx(Xo，yo，z)(xFx(Xo, y,z)(z法“线“方程:X Xoz f(x, y)x。)zo)Fx(Xo, y,z)(y yo)oyozZo(fx(Xo,y), fy(xo, yo) , 1

7、 )Fx(Xo, yo, Zo)切平“面”方程：fx(Xo, yo)(x Xo) fy(Xo ,yo)(y y。)(z z。) oFy(Xo, yo, Zo)Fz(Xo, yo,zo)(fx(x),y。)， fy(x,y),1)法“线“方程：x Xoy yoz Zofx(x,y)fy(xo, yo)第九章多元函数微分法及其应用1、距离，邻域，2、多元函数：3、极限：/1(x,y)4、连续：，1(x,y)5、偏导数：基本概念内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 z f (x,y)，图形：lim f (x,y) A)(Xo,yo)lim 、f(x,y) f

8、(Xo,yo)(xo,yo)fx(x,y)lim f(Xox, yo) f(x0, y0)x ofy(x,y。)Xlim f (Xo, yoy) f(x,y。)y oz f (x,y)，则 dz dx dy全微分:设6、性质2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、微分法1) 定义：u2) 复合函数求导：链式法则若zf (u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则uxzz uz vzz uz v /xu xv x yu yV yzA3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)Vy(三)应用1、极值1)无条件极值：求函数z f (x, y)的极值fx0解方程组f

9、fyo求出所有驻点，对于每一个驻点(x,y)，令Afxx(Xo,y)，Bfxy(Xo,y)，Cfyy(x,y)，若ACB20，A 0，函数有极小值，若ACB20，A 0，函数有极大值；若ACB20，函数没有极值；若ACB20，不定。2)条件极值：求函数z f (x, y)在条件 (x, y)0下的极值令:L(x,y)f (x,y)(x,y)Lagrange 函数Lx 0解方程组Ly 0(x, y) 02、几何应用1)曲线的切线与法平面曲线：yy(t)，则1 上一点zz(t)xXoy yo切线方程为：x(t。)y(to)法平面方程为：X(to)(xXo)2)曲面的切平面与法线X x(t)M(Xo

10、,y,Zo)(对应参数为to)处的Z ZoZ(to)zo)y (to)( y y。) z(t)(z曲面Fx(Xo，y,Zo)(x Xo):F (x,y,z)0，贝y _上 点 M (xo, yo，Zo)处的切平面方程为:Fy(x,y,Zo)(y y。) Fz(Xo, y,q)(z q) 0XX。y yZZ0法线方程为：Fx(Xo,y,z。)Fy(Xo,y,z。) Fz(Xo,y,z。)第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分I f x,ydD(1)利用直角坐标系b2 (X)X 型f(x,y)dxdydxa1( x)f (x, y)dyDd2 (y)Y型f (x, y)dxdyDcdy

11、1(y)f (x, y)dx(2)利用极坐标系使用原则课上的例题及课后作业平面薄片的质 量质量=面密度面积(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2 y2), 为实数)Df ( cos , sin ) d d2()d f ( cos , sin ) d1()(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)0f (x, y)对于x是奇函数，应用该性质更方便即口 x, y) f (x, y)I 2 f(x,y)dxdy f(x, y)对于 x是偶函数，D1即f( x, y) f(

12、x,y)。1是。的右半部分计算步骤及注意事项1.画出积分区域2 .选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数44关于坐标变量易分离3.确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性利用直角坐标截面法截面法投影f(x,y,z)dVby2(x)Z2(x,y)dxdyayi (x)丿 Zi(x,y)f (x, y,z)dzx r cos(2)利用柱面坐标y r sinz z二重积分1相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标If(x,y,z)dv适用范围：积分区域 表面用柱面坐标表示时 方程简单；如

13、旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易分离如2 2 2 2 f(x y )f(x z )bf(x,y, z)dV adzdU()f ( cos , r1( ) Vsin ,z) d空间立体物的质量xcosrsincos(3)利用球面坐标ysinr si nsin质量=密度zr cos面积dv2r sin drd d适用范围：积分域表面用球面坐标表示时方程简单；如,球体，锥体被积函数用球面坐标表示时变量易分离如2 2 2 ,f(x y z )2 2 2(，)Id df() 11八，丿sincos , sin sin,cos ) 2sin d(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积

14、分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分I Lf(x,y)ds 曲形构件的质量 质量=线密度 弧长参数法(转化为定积分)(1) L:y(x)1f (，(t)J 2(t)2(t)dt(2) L: x(t) (t) Ibf(x,y(x)Ji y2(x)dxy (t)ax r( )cos(3) r r( )() L : y r( )sinIf(r( )cos ,r( )sin )Jr2( ) r2( )d(1) 参数法(转化为定积分)L: x (t) (t单调地从到) y (t)LPdx QdyP (t),(t) (t) Q (t),(t) (t)dt平面第二类曲线 积分

15、I l Pdx Qdy(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件：L封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D)P, Q具有一阶连续偏导数结论：勺 Pdx Qdy ( )dxdyLd x y满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线变力沿曲线所做 的功(3)利用路径无关定理 (特殊路径法)等价条件： 2 一匕。Pdx Qdy 0xyL LPdx Qdy与路径无关，与起点、终点有关 Pdx Qdy具有原函数u(x, y)(特殊路径法，偏积分法，凑微分法)(4)两类曲线积分的联系I LPdx Qdy l(Pcos Qcos )ds空间第二类曲线 积分I LPdx Qdy Rd变力

16、沿曲线所做 的功(1)参数法(转化为定积分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t)(t)R (t), (t), (t) (t)dt疗(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)条件：L封闭，分段光滑，有向P, Q, R具有一阶连续偏导数:Pdx Qdy Rdz结论：/ R Q z p R, Q.()dydz ()dzdx ()dxdyyzzxxy应用：满足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅 助线第一类曲面积分投影法If(x,y,Zdv:z z(x, y)投影到xoy面曲面溥片的质量2If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y)J zxzy

17、dxdy质量=面密度Dxy面积类似的还有投影到 yoz面和zox面的公式(1)投影法 Pdydzp(x(y,z),y,z)dydzDyzyz:z z(x, y), 为的法向量与x轴的夹角前侧取“ +”，cos0 ；后侧取“ ”,cos0第二.类曲面积分 Qdzdxp(x, y(x, z),z)dzdxDyzyz:y y(x, z),为的法向量与y轴的夹角右侧取“ +”, cos0 ；左侧取“,cos0IPdydz Qdz(仪 Rd3xy QdxdyQ(x, y, z(x, y)dxdyDyz流体流向曲面一yz:x x(y, z),为的法向量与x轴的夹角侧的流量上侧取“ +”, cos0 ；下侧

18、取“,cos0(2 )高斯公式右手法则取定的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P, Q, R具有一阶连续偏导数PQR结论：o Pdydz Qdzdz Rdxdy()x yz宀中满足条件直接应用Kv田应用:不是封闭曲面，添加辅 助面(3)两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdx(y(PcosQcosRcos )dS转换投影法：dydz ( )dxdydzdx (-z)dxdyxy所有类型的积分: 定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限； 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章级数高等数学（一）教案期末总复习用收敛定义，lim Sn存在n般 项 级 数常数项级数的基本性质常 数 项 级 数交错 -级数1=莱布尼茨判别法