矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式

1、题目：矩阵多项式的逆、秩、块数值域与应用、正交多项式一、矩阵多项式的定义设f(x)= 5 xn +绚十1 + + “ X +勺是关于未知数X的次多项 式;A是方阵，E是A的同阶单位矩阵,则称f(X)=qA +如占+ +你A + a” E为多项式f(x)= aQ x + a x + an_ x + an形成的矩阵A 的多项式，记作f(A)o1 1例如 f(x) = x3-3x2 + 2x + 5 , A =，贝lj f( A )= A3 -to 1J3A2 + 2A + 5e；, f就是矩阵A的多项式。当然矩阵多项式也 是矩阵。矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A是数域P上的一个n阶方 阵，f(A)是

2、矩阵A的多项式，如果存在矩阵多项式g(A)wPb，使 得f(A)g( A)=g( A)f(A)= E ,则称矩阵多项式f(A)是可逆的,又称矩 阵多项式g(A)为多项式f(A)的逆矩阵。当矩阵多项式f(A)是可逆的时，逆矩阵g(A)由矩阵多项式f(A) 唯一确定，记为o二、矩阵多项式的逆矩阵求法1. 对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩 阵求法，可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵(多项 式有逆矩阵的充分必要条件是它的行列式值为非零数)。例如分解因子法:例若A, 3是两个“阶方阵，且具有AB-2A-3B = -5E成立， 证明A-3E是可逆的，并求A-3E的逆矩阵。证明

3、：由于AB-2A-3B = -5E =(A-3E)B-2A + 6E = E(A-3E)(B 2E) = E , 故 4-3E是可逆的，5l(A-3EY1 =B-2E o待定系数法：例如果已知矩阵A满足式子宀3E,矩阵 A + 3E, 证明3是可逆的，并求他的逆矩阵。证明：由于3的逆矩阵的次数最高只可能是二次，所以可 设B-aAbA + cEo由条件可得E = BB = aA4 4- (2a + b)A3 + (3d -2b + c)A2 + (3b + 2c)A + 3cE 又因为屮=3E,则有(3a-2b + c)A2 + (3a + 3b- 2c) A + (-6a + 3b + 3c)

4、E = E3a-2b + c = 0得 项式。由于f(A) = A3-3A2+2A + 5E f这样看来/(A)又是一个以A为文 字的多项式则矩阵多项式也具有多项式的特点。多项式的最大公因式理论中有：如果(/(x),g(x) = l,则存在多项 式/心),咻)使得u(x)f(x)+v(x)g(x) = l o 令 f(x) = 0 , g(x)H0则 咻)g(x) = l。将X换做矩阵A,如果保证/(A) = 0,g(A)H0,就有 v(A)g(A) = E,从而v(A)就是矩阵多项式g(A)的逆矩阵。定理：若A是一个阶方阵，C表示复数域，f(x), g(x)eCx, f(A) = 0且方程/

5、(x) = 0的根都是阶方阵A的特征值，则g(A)可逆 o(/(x)，g(x)T。此时存在 w(x), v(x) e Cx,使得W/(x) + v(x)g(x) = l ,且g(x)=v(A) o证明：n令人，九2,，血为A的所有特征值,则/(!),/(兄2)，,/(人)就是/(A)的全部特征值，g(A), g),，gGV 就是g(A)的全部特征值，又因为g(A)可逆，于是有：|g(q)| = flgQ)H0,但是由于/(A) = 0,贝lJ/a)= 0(j = l,2,)，故/ 1-1与g(x)无公共零点，即(f(x),g(x) = l。ug),gd)=i。则由于/(A)=0,所以对于每个人

6、，必有/(A)=0 且 ga)H0(21,2, /),即 |g(A)| = fjg 工 ，从而 g(A)可逆。当/与 g(x)互素时，必有 u(x v(A-) e cx,使得 “(x)/(x) + Wx)g(x) = l,v(A)g(A) = E ,从而 v(A) = g(A)o例：如果己知矩阵A满足式子A3E,矩阵B = A2-2A + 3E，证 明3是可逆的，并求它的逆矩阵。解：令 f(x) = x -3 , g(x) = x2 -2x+3 f 则 /(A) = 0且/(x)的根都是 A的特征值，又因为/(x), g(x)没有共同根，说明两个多项式八龙)与 g(x)互素,即(/(x)(x)

7、=lo从而由定理可知g(A)可逆,利用辗转相 除法求得(X+7)/0) + (A- +9x + 15)g(x)-l o OOOO所以g(=丄(人2 + 9A +15E) o66特别的，如果g(x)表示一个一次多项式时，利用/(x) = g(x)q(x) +厂是一个非零常数g(A)q(A) = -rE ,即g(q)r=-爲(4)。r例：己知A表示一个方阵，且有式子A2+3A-4E = 0成立，求 (A + 5E)1 o解：设/(x) = x2+3x-4, g(x) = x + 5,则由题意可得/(A) = 0,且 /的根都是A的特征值，利用综合排除法求得/(x) = (x-2W) + 6, 所以

8、k(A)f=(A + 5E)-12E)。6注意于定理需要/(A) = 0,与矩阵的零化多项式、最小多项式、 特征多项式等联系起来。得到推论1：若A是一个阶方阵，ggwCb,九为A的特征 多项式，贝iJ g(A)的可逆充要条件是(y(x),g(x)= i。此时存在(x),v(x) e Cx,使得 u(x)f(x) + 咻)g(x) = 1 ,且g(A)=v(A) 0推论2:若A是一个阶方阵，g(x)wCH，”心)为A的最小多项 式，则g(A)可逆的充耍条件是(心),g(x) = l。此时存在 u(x)y v(x) e cx,使得 u(x)mx) + v(x)g(x) = 1 ,且g(A)=v(A

9、) o推论3:若A是一个阶方阵，f(xg(x)eCxf /(A) = 0,且 fWfAM 其中办为A的特征多项式，则g(A)可逆的充要条件是 (/(x),g(x) = l ,此时存在 h(a), v(x) e cx,使得 u(x)f(x) + v(x)(x) = 1 ,且 g(A) =v(A) o三、矩阵多项式的秩引理1:设A e Fnxn , /,(%), f2(x),，(力是数域F上的多项式。若/；(x), f2(x),，/,(x) = l ,则 r(Z(A) = (/-1 + r(JJ/(A) or-1/-引理2:设AeF-,则对任意正整数k,有A 0、J Ar(Ak) = r( n.)

10、-伙-1)式中分块矩阵的主对角线有k个A。0 InA例：设/(x)是数域F上的m(in 0)次多项式，q , c2 ,，c,是 /(x)的所有互异复根，心)。对任意的阶方阵A ,若 d(A)可逆，则 r(/(A) = f r(A1)成立。r-1证明：将门切在复数域上分离重因式，即令g(x) =竺，则g(x) = a(x-Ci)(x-C2) (x-Cf),其中 “HO是/(x)的首项系数。对阶方 阵A,由f(x) = d(x)g(x)得/) = ( A)g(A)。故由 (A)可逆以及引理1得 r(/(A) = r(g(A) = r( A - cIn )(A- c2I) (A - ctIn) =

11、X r(A 一也)一 (f 一 1)即 J-l结论成立。例：设/(X)是数域F上的m(m 0)次多项式，Sf = cpc2,- -,cf是 /(x)的所有互异复根集合，阶方阵A可以对角化，S.4=g,人,血 是A的所有互异复根集合，若SQS厂仏,不，虫卜则矩阵多项式恒 等式尸(f(A) = n-成立其中n , n2, , nk分别是入 2,，网人的重根数。证明：由矩阵A可以对角化，则存在”阶可逆矩阵P,使得 尸仲=(他(人人，创叮,久厶)，对于多项式/(a),由矩阵运算可得 Py(A)P = diag屮入心)/2，,伦)人),由Sf S汙休人2A ， 则当ij e 爲，讣时/$) = 0，当齐

12、- J；时于(&,)工0。所以 r(/(A)=如赵(于(人)ZM()g，/(人)/,“)f-f r(/(2.幵一 成円问1立。例：设A, 3为任意的“阶方阵，令济(x), d(x)分别为A，3的 特征多项式且(X) (x)=(x),贝I伽(B) = r(d(B)，伽(A) = r(d(A)。证明：由于弘(A) = 0, gB) = 0以及矩阵的基本性质可得，对数 域F上的m(m 0)次多项式以及“阶方阵A,若加，令 pA(x) = xIt-A为A的特征多项式并与/进行带余除法，即设 f (x) = q(x)(pA(x)+k(x),其中 k(x) = 0 或者degk(x) n ,则由 pA(A

13、) = 0 得到 f(A) = k(A),所以 r(/(A)=心(A) o引理3：令f(x), g是一元多项式，A是一个非零“阶方阵。 设d(x)和/心)分别是/(a)和g(x)的最大公因式和最小公倍式。则 rank f(A) + rank g(A) = rank d(A) + rank h(A)。特别的如果/(x)和 g(x) 是互素的,则 rank f (A) + rank g(A) = “ + rank f (A) g(A)。引理4：令/), f2(x),九是一元多项式，A是一个非 零“阶方阵。如果存在多项式 (x)使得对任意的j ,丿都有 m(/3J(x) = (x)，则 rank /

14、；(A) = (w-l) rank d(A) + rank g(A),其中 i-i证明：对加进行归纳，当m = 2时，由题意可知 g(兀)=/i (-r)/2(x)/f/(x)是j (x)和/2(x)的最小公倍式，根据引理3有 rank / (A) 4- rank f2(A) = rank cl (A) + rank g| (A)。假设 m = k 时，等式 k2tan Z () = ( _ )rank d(A) + rank gk_ (A) 成 立， 其 中 r-lgki M = /j (x) - fk (x)/d(x)*_l ;当 m = k + 时,考察多项式 g(x)和 /t+i(x)

15、,由题意可知d(x)是gjx)和fkM的最大公因式,而-是gk_M和A+iW的最小公倍式。如果令g心)=恥)+心)/(卅， 由引理 3 可知 rank gk_t (A) + rank fk+l (A) = rank d(A) + rank gk (A),根 据归纳 假设有 rank gk_(A) = jrank /(A)-伙-1)皿戚d(A),代 入到上一个式 子得到rank /(A)-伙一)rank d(A) + rank (A) = rank d(A) + rank g&(A) r-l如i rank / (A) = k rankd(A) +rank gA)成立。r-l得到推论：令A是一个非

16、零的阶方阵，/心),，盒是两两互m素的多项式。则工rank /(A)=(加- 1加+ rank (/； (A),，九(A) o定理：令A是一个非零的阶方阵，是加个多项 式，假设存在多项式(X)使得对任意的i , j都有=,如果/)= 0对任意的i , j都成立则m = 2或者(1(A) = 0 ,tn特别的当 (A) = 0时，为 rank fA) = rank d(A) om证明：由引理 4 rank / (A) = (m - Y)rank d(A) + rank g(A) 9 其中y-ig(x) = /3j3/(x)z，根据题意g(A) = O ,所以rank fl(A) = (m-)ra

17、nk J(A)，另一方面，对任意的几j ,因为 r-lfiMfjW/(l(x)是/和厶的最小公倍式所以根据引理3有 rank fA) + rank /y(A) = rank d(A) + rank (/(A)/丿(A)/(A) = rank d(A), 所 以rank fi(A) + rank /A)=rfl (rank / (A) + rank (A) = (m-1)rank f(A)、 所 以i jr=lrank fA) =-m rank d(A) (2),由(1),(2)两式 可以得 到等式 /-I2(m- V)rank d(A) = m rank d(A),即 m = 2 或者(A)

18、= 0,特别的当 d(A) = 0 2m时，rank f.(A) = rank d(A) o推论：令A是一个非零的“阶方阵， r-lX)是两两互素的多项式，如果对任意的i,丿都有tn/(A)/丿(A)= 0，则加=2,并且为rank fA) = n o 四、矩阵多项式的块数值域矩阵多项式PW 的块数值域定义1 ：(PS) =eC|HxeS.沁，。工C”,P)y = o,当的分解固定 式，记= 叫(陀)，SRw*,当“ =1时，矩阵多项式的 块数值域即为其数值域；当 时，其与矩阵多项式的二次数值域一致；对矩阵多项式，W(P)即为矩阵多项式P)的谱，记 ) = /leC|30yeC满足Pv(Z)y

19、 = O),则集合W(P)可以表示为 W(P)=|j2(PJ。.veSn得到引理1:(*,州)(兀,西)、2(P)uW”(P)uW(P) , (0)=:, ； = 0,1,o；,)”|中网2=闯2=1。定理：P)根据定义，若0訓(0丄)，则W(P)是有界的；若 0 e W(%) J ,那么块数值域W(P)亦可能是有界的。例：令PS)=(1 o”f0简单计算后得到叨() = 平_1 = 0,显然W?(P)是有界的，但(| Q 是 VV2() = Zdet( _) = 0 = 0,1,即 OeW2(pm) O 贝IJ “ 若 u u丿0訓(),),那么块数值域W(P)亦可能是有界的”成立。定义2:

20、令n,n eN且力=% xx毎=斤xx几分别对应希尔伯特空 间/,九与斤,，几，则斤XX几称为人x/xX他的一个加细分解， 如果nn 且存在0 = z0 - in = n满足hk =h* (十xxh*对任意的 k = 1, *e, 77 o定理：若/? = x,x-x/为力訥x/gx的一个加细分解，则 %殆换(P)u%如叫(P(2)，简记为W(PS)uW“(P(2)，帀“。五、矩阵多项式的正交多项式矩阵的正交多项式能够使其生成的Gsn矩阵的形式极其简单， 为非奇异矩阵，从而大大降低了求解计算。在区间肚对上，给定权函数p(x),可以由线性无关的一组基 1川,，已,利用施密特正交化方法构造岀正交多项式族 (%)：，由(X)生成的线性空间记为。对于f(x)eCa,bf根据次 数k的具体要求，总可以在中找到最佳平方逼近多项式號。 (X)的具体形式为：00(兀)=1 %(x) = x _士产，0%(x), = 1,2,。这样 冋(久,Q)构造出的正交多项式具有的有用性质如下：1.久为最高次数 相系数为1的“次多项式。2任一不高于次的多项式都可以表示成 ak(pk(x) o 3.当心加时，) = 0;且卩”与所有次数小丁 的多 JOb项式代(X)正交，即J pM(p (x)P”T Mclx = 0 ,其中p(x)为权函数。4.存 a在递 推关系 pn+i(X)= (x