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1、第31届中国数学奥林匹克CMO试题第一天2015 年 12 月 16 日 8:00 12:30中国 江西 鹰潭2.如图,在凸四边形AK DAABCD中，K、L、M、N分别为边 AB、BC、CD、DA上的点，满足 型KB BCBLLCAB CMCD，MDBC dn cd,.延长AB、DC交于点E.延长AD、BC交于点F.设厶AEFDA NA AB的内切圆在边U、V .证明:1.设正整数 印卫2丄，a31,b!,b2,L ,b31满足:(1)印a2La312015,b2 Lb31 2015 ；(2)a1a2La31bi b2Lb31 .求Sa1b1a2b2Laa131的取大值.3 / 33. 设p

2、为奇素数，a!,a2,L ,ap为整数证明以下两个命题等价:(1) 存在一个次数不超过 丄的整系数多项式f x，使得对每个不超过 p的正整数i，均有2f i ai mod p .p 1 p 2(2) 对每个不超过 丄的正整数d,均有 a d a 0 mod p，其中下标按模 p理解,2i i即 ap n an .第 31 届中国数学奥林匹克 CMO 试题第二天2015 年 12 月 17 日 8:00 12:30中国 江西 鹰潭4. 设整数n 3，不超过n的素数共有k个.设A为集合2,3,L ,n的子集，A的元素个数小于k,且A中任意一个数都不是另一个数的倍数证明：存在集合2,3,L ,n的k

3、元子集B，使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数，且 B 包含 A5. 在平面中，对任意给定的凸四边形ABCD，证明：存在正方形 ABCD (其顶点可以按顺时针或逆时针标记)，使得点A与A、点B与B、点C与C、点D与D分别不重合，且直线AA、 BB、CC、DD经过同一个点.6. 一项赛事共有100位选手参加，对于任意两位选手x、y,他们之间恰比赛一次且分出胜负，以x y表示选手x战胜选手y.若对任意两位选手 x、y,均能找到某个选手序列 u1,u2,L ,uk (k 2),使得x ui U2 LUk y，则称该赛事结果为“友好的”.(1) 证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数m满足：对任意两位选手 x、y,均能找到某个长度为m的选手序列Zi,Z2,L,Zm(Zi,Z2,L,Zm可重复)，使得xZiZ2Lzmy ；(2

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