直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题

1、直线与圆、圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d = r有一个交点(切点)；3、直线与圆相交d : r有两个交点；-可编辑修改-二、切线的判定定理与性质(1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN _ OA且MN过半径OA外端 MN是O O的切线(2 )性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心(如上图)过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能 推出最后一个。B例1、在 KABC 中，BC=6cm / B=30 / C=45,以 A

2、为圆心, 当半径r多长时所作的O A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD丄BC于D在中，/ B=30.二-二在丄二一 中，/ C=45 CD=ADBC=6cm ,.亠一 一 二1乂一当时，O A 与 BC 相切；当.时,O A与BC相交；当、.匚二一匚.时，O A与BC相离。例2 .如图，AB为O O的直径，C是OO上一点，D在AB的延长线上，且 / DCB=Z A.(1) CD与OO相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2) 若CD与OO相切，且/ D=30, BD=1O,求O O的半径.解题思路：(1)要说明CD是否是O O的切线，只要说明 OC是否垂直于 CD

3、垂足为C,?因为C点已在圆上.由已知易得： / A=30,又由 / DCBM A=30得：BC=BD=10解：(1) CD与OO相切理由：C点在OO上(已知) AB是直径/ ACB=90,即 / ACO丄 OCB=90/ A=Z OCA且 / DCBM A/ OCAM DCB OCD=90综上：CD是 O O的切线.(2)在 Rt OCD中, M D=30 M COD=60 / A=30/ BCD=30 BC=BD=10 AB=20, r=10答：(1) CD是OO的切线，(2) OO的半径是10.三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

4、即： PA、PB是的两条切线 PA 二 PB PO 平分 BPA(证明)四、圆幕定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘 积相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于点P ,RBOPDC二 PA PB = PC PD (相似)(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项。即：在O O中，直径 AB _CD , CE2 =AE BE(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O O中， PA是切线，PB是割线AEBPA2 二 PC PB(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这

5、一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即：在O O中， PB、PE是割线 PC PB =PD PE五、三角形的内切圆E(1 )定义：与三角形三边都相切的圆(角平分线的交点)(2)内心、外切三角形例1：如图，O0为厶ABC的内切圆，/ C= 90 , A0的延长线交BC于点D,AC= 4, DC= 1,则O O的半径等于()1、如图，/ ABC90, O为射线BC上一点，以点 O为圆心、BO长为半2B径作O Q当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与O 0相切.六、圆与圆的位置关系外离(图劉1)无交点二 d R r ;外切(图劉2)有一个交点二 d = R r ；相交(图劉3)有

6、两个交点= R - r ： d : R r ；内切（图4）= 有一个交点内含（图5）= 无交点=d ： R - r ；例1 两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1所示（点0, 0是圆心），分隔两/ TPN的大小.个肥皂泡的肥皂膜 PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求(解题思路：要求 / TPN,其实就是求/ 0PO勺角度，很明显,/ poo是正三角形，如图2所示.解：/ P0=00P0 P00是一个等边三角形/ 0P0=60又/ TP与NP分另【J为两圆的切线，/ TPO=90, / NPO=90 / TPN=360-2X90-60=120例2.如图1所示，O 0的半径为7c

7、m,点A为O 0外一点，0A=15cm求：（1 ）作0 A与OO外切，并求O A的半径是多少？(2 )作0 A与O O相内切，并求出此时 O A的半径.解题思路：(1 )作0人和OO外切，就是作以A为圆心的圆与 O0的圆心距d=r+A；(?2) ?作0A与O0相内切，就是作以 A为圆心的圆与 O0的圆心距d=A r。.解：如图2所示，(1)作法：以A为圆心，=15 7=8为半径作圆，则 O A?的半径为 8cm(2)作法：以A点为圆心，=15+7=22为半径作圆，则 OA的半径为22cm例3.如图所示，点 A坐标为(0, 3), 0A半径为1，点B在x轴上.(1)若点B坐标为(4, 0), O

8、 B半径为3，试判断O A与O B位置关系;(2)若OB过M ( 2, 0)且与O A相切，求B点坐标.答( 1) AB=51+3 外离.(2)设 B ( X, 0) x二 2,则 AB= 9一X2 , O B半径为 |x+2 | 设O B与O A外切，则.9 X2 = |x+2 |+1,当x 2时，,9 x2 =x+3，平方化简得：x=0符题意， B( 0,当 x 2 (舍), 设O B与OA内切，则,9 x2 = |x+2 | 1 ,当 x 2 时，9 x2 =x+1，得 x=4 2, B (4, 0),当 x m4.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形菱形对角线的交点

9、为 关系为（）5.O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的6.7.A.相交B.相切C.相离D.不能确定O O的半径为6,A.相离O O的一条弦AB为6., 3，以B.相交F列四边形中一定有内切圆的是（A.直角梯形B.等腰梯形已知 ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,3为半径的同心圆与直线 AB的位置关系C.相切C.矩形那么点O是厶DEF的（D.不能确定D.菱形A.三条中线交点 垂直平分线的交点B.三条高的交点.三条角平分线交点D.三条边的以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（9.给出下列命题: 任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； 任一个圆一定

10、有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； 任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； 任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.其中真命题共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、证明题1. 如图，已知O O中，AB是直径，过 B点作O O的切线BC,连结CO若AD/ OC交O O 于D.求证：CD是O O的切线.2. 已知：如图，同心圆 O 大圆的弦 AB=CD 且 AB是小圆的切线，切点为 E.求证：CD 是小圆的切线.3. 如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=5, BC=12,O O的半径为 3.(1) 当圆心O与C重合时，O O与AB的位置关

11、系怎样？(2) 若点O沿CA移动时，当 OC为多少时？ O C与AB相切？4. 如图，直角梯形 ABCD中，/ A=Z B=90, AD/ BC, E为AB上一点，DE平分/ ADCCE平分/ BCD以AB为直径的圆与边 CD有怎样的位置关系？5. 设直线I到O O的圆心的距离为d，半径为R,并使x2 2 d x + R=0,试由关于x的元二次方程根的情况讨论I与O O的位置关系.6. 如图，AB是O O直径，O O过AC的中点D, DEL BC,垂足为E.（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅 助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（

12、2）若/ ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画 出图形.（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1）7. 如图，在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3, BC=4若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜 边AB只有一个公共点，则 R的取值范围是多少？8. 如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上）,问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）a9 如图，直线I 1、1 2、| 3表示相互交叉的公路现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则可选择的地址有几处？答案：一 .1-5 A D C B B ;6-9 C D D B二.1.提示：连结0。证厶AOCW BOC全等2. 作垂直证半径，弦心距相等3. 垂直三角形的高，用面积方法求；厶AO0A ABC即可4. 用角平