2018中考总复习平行四边形专题

1、word格式文档25. (10分)已知四边形 ABCD是菱形，AB=4，/ABC=60 , JEAF的两边分别与射线 CB、DC相交于点E、F,且/EAF=60(1 )如图12-1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系;专业整理(2) 如图12-2，当点E是线段CB上任意一点时(点 E不与B、C重合)，求证：BE=CF ;(3) 如图12-3，当点E在线段CB的延长线上，且/ EAB=15。时，求点F到BC的距离。(2016 济)如图，正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O ,延长CB至点F,使CF= CA，连接AF，/ACF的平分线分别交 AF, AB

2、, BD于点E, N , M，连接EO.(1)EO = 2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.(2016 玉如图1，菱形ABCD对角线AC, BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A , B, C, D分别在四边形EFGH的边EF, FG, GH , HE上.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；如图2,若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，AC已知BD = 2，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽.AC=8 , DB=6,DH丄AB于H ,贝U DH等于(9 .如图，四边形ABCD是菱形，417 .女口图，在 ABC

3、中，/ C=90,AC=BC= :,将 ABC绕点A顺 时针方 向旋转60 到厶AB C的位置，连接C B,则C B .1【考点】旋转的性质.【分析】连接BB ，根据旋转的性质可得AB=AB ，判 断出 ABB 膚边三角形，根据等边三角形 的三条边都相等可得AB=BB 然后利用“边边边”证明厶ABC 禾 B BCI全，根据全等三角形 对应角相等可得/ ABC = / B BC延长BC交AB 于D ,根据等边三角形的性质可得BD丄AB , 利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C D, 然后根据BC =BD - CD计算即可得解.【解答】解：如图，连接

4、BB, ABC绕点A顺时针方向旋转60。得到 AB C , AB=AB , / BAB =60 , ABB 是边三角形， AB=BB,在 ABC 和 B BC ，中心二C7 ,bCz =BCy ABC B SSS),(/ ABC = / B BC ,延长BC 交AB 于D ,则BD丄AB ,/ C=90 ,AC=BC= 二， AB= BD=22=1 ,C BC =BD -C D= .一 1.故答案为：- 1 .【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直 角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC在等边三角形的高上是解题的关键，也 是本题的难点.

5、24 .如图，把 EFP放置在菱形ABCD 中，使得顶点E, F, P分别在线段AB , AD , AC上，已 知 EP=FP=6 , EF=6 泾爲 / BAD=60 ,且 AB 6 .；.(1 )求/ EPF的大小；(2 )若 AP=10,求 AE+AF 的值；(3 )若 EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大 值和最小值.DCIE B【考点】菱形的性质；几何问题的最值.【分析】(1 )根据锐角三角函数求出/ FPG,最后求出/ EPF .(2 )先判断出Rt PMEB Rt PNF，再根据锐角三角函数求解即可，(3 )根据运动情况及菱形的性质判

6、断求出AP最大和最小值.【解答】解：(1 )过点P作PG丄EF于点G ,如图1所示./ PE=PF=6 , EF=6；, FG=EG=3 .；,sin / FPG-叽V3PF2/ FPG= / EPG/ EPF .2在 Rt FPG 中，/ FPG=60/ EPF=120(2 )过点P作PM丄AB于点M ,作PN丄AD于点N ,如图2所示./ AC为菱形ABCD的对角线，/ DAC= / BAC, AM=AN , PM=PN在 Rt PME 和 Rt PNF 中,PM=PN , PE=PF , Rt PMEB Rt PNF ,ME=NF.又 AP=10,/ PAM=丄 / DAB=30 ,2

7、AM=AN=APcos30 =10 X -， AE+AF= ( AM+ME ) + ( AN - NF ) =AM+AN=10(3 )如图，DC当 EFP的三个顶点分别在AB , AD , AC上运动，点P在Pi , P之间运动， PiO=PO=3 , AO=9 , AP的最大值为12 , AP的最小值为6 ,【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解 本题的关键是作出辅助线.（2015 柳州24 10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD /BC,/B= 90 ,AB = 8 cm , AD = 12 cm , BC = 18 cm , 点P从点A

8、出发以2 cm/s的速度沿At DC运动，点P从点A出发的同时点 Q从点C出发，以1 cm/s的速度 向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动.设点 P, Q运动的时间为t秒.（1）从运动开始，当t取何值时，PQ /CD?从运动开始，当t取何值时， PQC为直角三角形?【思路点拨】 （1）已知AD/ BC,添加PD = CQ，即可判断以P, Q , D , C为顶点的四边形是平行四边形；（2）点P处可能为直角，点 Q处也可能是直角，故需要分类讨论求解.解：（1）当PQ/ CD时，四边形PDCQ是平行四边形，此时 PD = QC , 2分 12 2t = t.解得 t = 4.当 t = 4

9、 时，PQ /CD.4 分过D点作DF丄BC于F.DF = AB = 8 , FC = BC AD = 18 12 = 6 ,由勾股定理得CD = 10. 当PQ丄BC时，贝U BQ + CQ = 18 ,即 2t +1 = 18，解得 t = 6 ; 6 分 当QP丄PC时，此时 P 一定在DC上，CP1= 10 + 12 2t = 22 2t , CQ1 = t,易知 CDF sA1PC.Q22 2tt1106 -= 1.解得 t = 13 ； 8 分当PC丄BC时,vzDCB v 90 ,此种情形不存在.110综上所述，当t = 6或 时，是直角三角形.10分13绕点P顺时针旋转90.(

10、2014 柳州如图，正方形 ABCD的边长为1 , AB边上有一动点 P,连接PD，线段PD 后，得到线段 PE,且PE交BC于F,连接DF，过点E作EQ丄AB的延长线于点 Q.(1)求线段PQ的长;问：点P在何处时， PFD s/BFP，并说明理由.解：(1)根据题意，得PD = PE,ZDPE = 90 ,厶PD + Z QPE=O 四边形ABCD是正方形，/ A = 90z.ADP + Z APD =90 .z.ADP = Z QPE./EQ丄AB,.ZA = Z Q=90 ./ A=Z Q,在厶QPI中,ZADP =Z QPE,PD = EP,z.ADP zQPE(AAS).PQ =

11、AD = 1.当P点为AB的中点时， PFDs/BFP. 理由：/ ADP = Z BPF=Z FBP ,APBFPDz.ZDAP s/pbf.PFTP点为AB的中点,1PA = 一AB = PB.2PB PDPB BF=，即=.BF PFPD PF又/ PBF = Z DPF ,.ZPFD s/bfp2. (2017海如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE,过点C作CF丄CE交AB的延长线于点 F, EF交BC于点G.(1)求证： CDEA CBF ;1当DE = 时，求CG的长;求出此时DE的长；若不能，说明理由.连接AG,在点E运动过程

12、中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能,解：（1）证明：在正方形ABCD 中,DC = BC,ZD = Z ABC = Z DCB9&ZCBF= 180 -Z ABC0= , DCE + Z ECB = Z DCB6=.CF 丄 CE,aZECF= 90 ZBCF+Z ECB = Z EC90=./DCE = Z BCF.在厶CD CB中,/ D=Z CBF90 DC = BC ,/DCE = / BCF ,z.ZCDE也zCBF(ASA).在正方形 ABCD中，AD /BC,z.ZGBF s/eaf.BG BF AE AF.由 知/ cde/ cbf ,1.BF = DE= 一.2正方形的

13、边长为1 ,31AF = AB + BF = 一，AE= AD DE = 一221BG 21 =一. BG三.1 362 25CG= BC BG = 一.6不能.理由：若四边形 CEAG是平行四边形，则必须满足 AE / CG,AE = CG,AD AE= BC CG. DEBG.由(1)知/ cde/ cbf ,DE = BF, CE= CF.ZGBF和/ EC是等腰直角三角形.Z3FB = 45 ,ZFE = 45 .JCFA =Z GFB + Z CFE0=.此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，点E在运动过程中，四边形 CEAG不能是平行四边形.沿ABD 所4 . (20

14、17 贵)已知在 RtABC 中，/ ACB = 90 ,AC = 4, BC = 2 , D 是 AC 边上的一个动点，将 在直线折叠，使点 A落在点P处.(1)如图1，若点D是AC中点，连接PC. 写出BP, BD的长； 求证：四边形 BCPD是平行四边形；如图2，若BD = AD，过点P作PH丄BC交BC的延长线于点 H，求PH的长.Ch CH 卜圈I图工解：(1) B吃三 5, BD = 2 2.证明：延长BD至E,D 是 AC 边的中点，AC = 4 , BC= 2,.DC = AD = BC.又/ ACE90 ,ZBDC是等腰直角三角形，/BDC = Z ADE N5 由折叠(轴对称)性质可知，/EDP = Z ADE N5 ,PD = AD = 2 , /PDA = 90 PD /BC,且 PD = BC = 2.四边形BCPD是平行四边形.(2)连接AP并延长与BC的延长线交于点 F,延长BD与AP交于点E, 由折叠(轴对称)性质可知，PD = AD , /PDE =/ ADE ,BE 丄