2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

1、2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有 12小题，每小题5分，共60分。1、设 z=，贝V |z|=1 + iA、0B、2c、1D .【答案】C【解析】由题可得z ( - i ) 2i i ,所以|z|=1【考点定位】复数22、已知集合 A=x|x -x-20U 飞 A=A、x|-1x2B、x|-1 x 2C、x|x2D、x|x :-1 U x|x - 2【答案】B【解析】由题可得CrA=x|x 2-x-2 w 0，所以x|-1 x ： 2【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解 该地区农

2、村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。 【答案】A37%*200%=74%60,%【解析】由题可得新农村建设后，种植收入【考点定位】简单统计4、记S为等差数列an的前n项和，若3S3=S+S4, ai=2,贝U a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*( a1+a计d+a1+2d)=( a计a计d) (a计a1+d+a1

3、+2d+a1+3d)，整理得：2d+3a1 =0 ; d=-3/ a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列 求和5、设函数f (x) =x3+(a-1)x 2+ax，若f (x)为奇函数，则曲线 y=f (x)在点(0, 0)处的 切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f (x)为奇函数，有f (x) +f (-x ) =0整理得：2f (x) +f (-x ) =2*(a-1)x=0 / a=1f (x) =x3+x求导 f (x) =3x2+1f (0) =1所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在_ ABC中，AD为

4、BC边上的中线,E为AD的中点U | .=AARAc1 -4B1 -4ARAc3 -4AR一Ac1 - 41 -4 AAc3 -4I【解析】AD为BC边.上的中线 AD= 1 AB 2 AC1E为AD的中点 AE= AD21 AB 1 AC441131EB=AB-AE= AB - ( AB - ACC AB - AC4444【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M到N 的路径中，最短路径的长度为C、3D、2【答案】B【解析】将圆柱体的侧

5、面从A点展开：注意到B点在-圆周处。4二最短路径的长度为 AB=/2 + 42【考点定位】立体几何：圆柱体的展开图形，最短路径8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2 ,0)且斜率为:的直线与C交于MN两点,则A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】 抛物线C: y2=4x的焦点为F(1,0)直线MN的方程：y (x2)3消去 x 整理得：y2-6y+8=0 / y=2 或 y=4M、N 的坐标(1, 2), (4, 4)则门理=(0,2) (3,4)=0*3+2*4=8【考点定位】抛物线焦点向量的数量积如果消去X,计算量会比较大一些，您不妨试试。9.已知函数f (x)g (

6、x) =f (x) +x+a,若g (x)存在2个零点，则取值范围是A. -1, 0)B. 0 , +1C. -1, +8)D. 1, +8)【答案】C【解析】根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,?+ ?德0N(x)=f(x)+x 珂？?？? 0?+ 1 0?c 0分段求导：N (x)=f(x)+x =1+ 1 0? 0说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下M(x)=-a在区间(-8, +1上有2个交点。 a的取值范围是 C. -1, +8)【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直

7、径分别为。直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB AC. ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余部分记为川。在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n,川的概率分别记为 p1 , p2 , p3 ,贝yA.P1 = P2B.P1 = P3C.P2=P3D.P1 = P2+P3【答案】A【解析】整个区域的面积：S1+S半圆 B(= S 半圆 AB+ S 半圆 AC+SaABC根据勾股定理，容易推出S半圆BC= S 半圆AB+ S 半圆AC-Sl= S ABC 故选 A【考点定位】古典概率、不规则图形面积11.已知双曲线C:-y 2=1, O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的

8、两条渐近线的交点分别为 M32N若AOMt为直角三角形，则IMNI =A.B. 3C.C. 4【答案】B【解析】 右焦点，0F=3 + 1=2,渐近线方程y= 子丄NOFM MOF =30在 Rt A OMF中, OM=OF*cog MOF=2*cos=30在 Rt A OMN中, MN=OMan /?念气8n(30 + 30=3NFM【考点定位】双曲线渐近线、焦点 概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程，计算量很大。12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为4斤D.2【答案】A【解析】如图平

9、面a截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=?2截面面积S=6音x（）2=】【考点定位】立体几何 截面【盘外招】交并集理论：、3ABD交集为v3, AC交集为N，选A二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。（X 2y 2 M 0则z=3x+2y的最大值为y 1 时，Sn=2an + 1 , Si-1=2an-l+i 两式相减：Sn-S n-1 = a n=2an-2a n-1an=2an-1an=ai x 2n-1=( -1 )x 2n-1 S6= (-1 )X( 26-1 ) =-63【考点定位】等比数列的求和15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，

10、且至少有 1位女生入选，则不同的选法共有种(用数字填写答案)【答案】16【解析】c2c4 + c2c；=2 X6+1 x 4=16【考点定位】排列组合16. 已知函数f (x) =2sinx+sin2x ，贝U f (x)的最小值是【答案】罕32【解析】f (x) =2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考虑到f (x)为奇函数，可以求 f (x)最大值将f (x)平方：f2 (x) =4sin 2x(1+cosx) 2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3= (4/3) x (3-3cosx )4 464

11、 27+ 3(1+cosx)/4 ) =x()=-344当 3-3cosx=1+cosx 即 cosx= 2时，f2 (x)取最大值f ( x)-3 v3mi n =2【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用【其他解法】：1求导数解答2. f (x) =2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17. (12 分)在平面四边形 ABCD中，/ AD(=90,Z A=45, AB=2, BD=5.(

12、1)求 cos/ ADB若 DC= .，求 BC【答案】【解析】(1 )在厶ABD中，由正弦定理得BD _ AB sin / ?= sin / ? sin / ADB=ABsin / ADB/BD=?55由题设可知，/ ADB0. cos / ? 1 -255(2)由题设及(1)可知 cos/ BDC=sin / AD=在厶BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD XDCXcos/ BDC=25+8-2 X5Xx=255 BC=5【考点定位】正弦定理余弦定理18. (12 分)如图，四边形ABCD为正方形，E, F分别为AD BC的中点，以DF为折 痕把?DFC折起，使点C到达点P

13、的位置，且PF丄BF化（1）证明：平面PEFL平面ABFD（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【答案】【解析】（1）由已知可得 PF丄BF，BF丄EF BF丄平面PEF又BF在平面ABFD上平面PEF丄平面 ABFDPH丄EF,垂足为耳由（1）可得，PH丄平面ABFD DP与平面ABFD所成角就是/ PDHCD2=PD2=DH2+PH2=DE?+EH2+PH2= dE2+ （EF-HF） 2+PH2cf=pf2=hf2+ph2设正方形ABCD勺边长为2.上面两个等式即是：2 2/ 、 2 22=1 + （ 2-HF） +PHi2=hF+pi4解方程得HFPH=空2 2在 Rt PHD中

14、, sin / PDH=PH/PD=/2=扌.【考点定位】立体几何点、直线、面的关系19. （12 分）设椭圆C:.+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A，B两点，点M的坐标为（2, 0）.（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设0为坐标原点，证明：/ OMAHOMB.【答案】【解析】（1）由已知可得F（ 1，0），直线I的方程为x=1由已知可得，点A的坐标为（1，#）或（1，乎）直线AM的方程为y= x+ v2或y=乎xvi2当I与x轴重合，./ OMAN OMB0当I与x轴垂直，0M为AB的垂直平分线，所以 / OMAN OMB 当I与x轴不重合且不垂直，设直线 I的方程

15、为y=k(x-1) (k丰0) 点 A(xi,yi), B(X2,y2), xi2,X22,则直线 MA、MB 的斜率之和?1?2?(?1-1) ?(?2-1) 2?1?2-3?1+?2+4?Kma+Kmb=+=+=WIA NMB ?1-2 ?2-2 ?1-2 ?2-2 (?1-2)(?2-2). . 2 2 2 2将 y=k(x-1)代入椭圆 C 的方程得：(2k +1)x -4k x+(2k -2)=04?孚2?孚-2X1： +x2=E，x 1x2=22?1?23?1+ ?2 +4?夕-4?-12? 3+8?3+4?4?=2= 02?乡+1从而 Kma+Kmb=0MA、MB的倾斜角互补，/

16、 OMAN OMB综上所述，/ OMANOMB【考点定位】圆锥曲线20、(12 分)某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的k概率都为P(0P400, 应该对这箱余下的所有产品作检验。、数学期望【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值(基本不等式)21、( 12 分)已知函数I .X(1 )讨论论靛的单调性；(2 )若 ， 存在两个极值点：， V.,证明：/ .【答案】【解析】(1) f (x)的定义域为(

17、0, +R)1? ?孕-?+1f，(x)=-刊-1 + ?=?2 =a -4(i)若 aw 2,则 f (x)w 0,当且仅当 a=2,x=1 时 f (x) =0,. f (x)在(0, +)单调递减。(i)若 a2,令 f (x) =0 得到，？?= ?土?-, / ?+ v?-4x( 0,三)U( 2, +8)时，f (x) 0 f (x)在 x ( 0, ?- J?+ V?4?- V? ?+ “,+8 )单调递减，在()单调递增。由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a2由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+仁0所以x1x2=1不妨设x11由于f(x1) - f(x2 )x1 - x2x1x2?21 + ? = -2 +x1 - x2?1?2 ?x1 - x2-2?2=-2 + ?1/x2 - x21：i -：等价于-?2+ 2?20x251设 g(x)= - ?+ 2?由(1)可知 g (x)在(0, +8)单调递减，又 g(1)=0,从而当 x ( 1 ,x+8)时 g(x) 0C1: =-?+ 2 2? 0显然，K=0时，G与C2相切，只有一个交点。K0时，C1与C2没有交点。二C1与C2有且仅有三个交点，则必须满