2020届高三数学备考冲刺140分问题08形形色色的切线问题(含解析)

1、问题08形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一，也是高考考查的热点，考查的形式不一，可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率，曲线切线方程的确定，两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.二、经验分享(1)函数y = f(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y= f(x)在点P(xo，f(x。)处的切线的斜率k，即k= f ( Xo). 已知切点A(xo, f(xo)求斜率k，即求该点处的导数值：k = f (Xo).Vl=/U) 小g)(E求解即可. 已知斜率k，求切点A(xi，f(xi)，即解方程f(xi) = k.(3 )若求

2、过点P(xo, yo)的切线方程，可设切点为(xi, yi),由 八(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可fl = f + 二一tdnx：（疗芒 R x以判断出函数图象升降的快慢.【小试牛刀】【20i8届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数(I)若f x在x = 2处取极值,求f x在点i, f i处的切线方程；(n)当a o时，若f x有唯一的零点xo,求证：xo i.7x+ v-10=0【答案】(I)； (n)见解析.【解析】(I )=x) = (x0):XX*V/(x)在“2 处収极值J z2) = 14-2a=() K

3、 得“7J / =疋一2又=在点(L/n)：| 处的切线方程为 v-3 = -7(x-l)l(n)由(I)知令a0fg，(x)=0由(a0小一1 6g x在g0)=-2c0时，g X : 0 ；,在gx2x-ax-2 则g(x) = 6才一。又,故当又一 ,故g x在1,亠I上有唯一零点，设为x1,从而可知f x在0,捲 上单调递减，在Xi, ：上单调递增， 因为f x有唯一零点x0,故 x = x0 且 x01（三）两曲线的公切线.15 Av-ax* + x-9 3 4【例3】若存在过点（1,0）的直线与曲 线y =x3和都相切，则a等于（）2521A. -1 或B.-1 或644【分析】本

4、题两条曲线上的切点均不知道X15一 4D. -或 74含有参数,所以考虑先从常系数的曲线y =x3入手求出切线方程再考虑在利用切线与曲线求出a的值.【解析】设过的直线与曲切于点r切线方程为= -对：即y = 3x-2S为（1在切上所以解得：壬二0或x. = |即切点坐标为）或兰切点- 8 丿q 15r 1 125（呵时.由0与，.丁-9相切可得“辽4心）=2話，同理，切点为誌解得1【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系15 A. 15 Av =axv =oxzAzA（2）在利用

5、切线与求a的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利 用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的汽=0来求解，减少了运算量通过例7, 例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面 ，求有关导数的问题时可以用到解析的思想 ，而有些在 解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟 10月联考】若直线 是曲线沐-的切线，也是曲线y =的切线，则h =【答案】0或1【解析】直线与尸血+2的切点为也与丁二尸的切点故才-=呂也且:二:f = 2” 消古得到（1 + lnXiL）（l -）=0,故心=

6、負奴严b故, j或；：二2，故切纟妫丫 = 或= x +所以? = 0或者b = 1埴0或1.（四）曲线条数的确定【例4】已知函数-，若过点 P（1，t ）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围【分析】由于并不知道 3条切线中是否存在以 P为切点的切 线，所以考虑先设切点 x0, y0，切线斜率为k，y-ykx-xk二八对二6禺-彳，所以切线方程为，即丫-（2= j6.Y?+6xt，代入p 1，t化简可得：，所以若存在2+6坨3?（x| = -4xJ +6才-3有三个解，即y = t与忑L丿有三个不同交点则满足则等价于方程3条切线，数形结合即可解决【解析】设切点坐标 X0，y ，切

7、线斜率为k，则有:v-(2-3) = l6-3)(x-x0)切线方程为：因为切线过p 1，t，所以将p 1，t代入直线方程可得:r-（2-3xD） = （6x；-3）（l-Xo）亠=（6-刖1-无）+（2*-3珀）I*_ !RiRR=6丘-3 - 6.v； + 3仓 + 2 - 3疋=-4x- + 6崔-3所以问题等价于方程 t “: +:令 g x） x * 6x.i勺日口舌徑+匕g（xl = 7f +6FT若一人才日亠片即直线y = t与有二个不同父点g （x） = -12x* +12x = -12x（x-l |人一令g x 0解得0 :： x ：1 所以g x在单调递减,在0,1单调递增

8、曲）欣=（1）=一輛他槪=?（）=T所以若有三个交点,则I-3,-1所以当t三3, -1时,过点P 1,t存在3条直线与曲线y = f x相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定，设出切点P t, f t ,由已知条件整理出关于 t的方程，可把问题转化为关于t的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点1 作曲线的切线有且仅有两条，则实数:的取值范围是（）A 4)U(D. +s) B l)u(l +s) D (5_1)【答案】Afr r rayL . x = （x0 + 1） ea【解析】设切点为I

9、% 丿，y之工+1）/ ,，则切线方程为：（，切线过点心0）代入得:乍异-31）化-诃2- ax0 -a = 0i = a2 + 4ct 0=啦 0xo-a =x + 1,即方程有两个解，则有或a V 4.f x是偶函数，当x 0时,/lx)=(2x-lllnx故答案为：A.5.【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数则曲线y二f x在点-1,f -1处切线的斜率为（A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B【解折】试题分析：由于函数/(X1偶函数，当eO时，/idu(2x-1)贬：进而可得当wO时/(x) = -(2x+l)ln(-x),/A而曲?知=力；刘在点(-1门-

10、1)处躺的斜率为Z(-!) = -!选B.6.【2018届河南省天一大联考】已知f x是定义在R上的单调函数，满足一0, f 0处的切线方程为(A. y =x 1 B.C.y - _X 1 D. y - -x _1【答案】AMWex为一固定的数，设,则有f a=1.由x =a 时，有；：,解得 a = 0 . f x =ex , 厂 x = ex . 【解析】由题意可得/何丸+，当门0)二1,又 f|O) = g 二 1 .曲线 f(X 在(0, f(0)处的切线方程为 y _1 = X ,即 y = x + 1.选 A.7.【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知R,F2为曲线c：y=l

11、nx ( x 0且x = 1 )上的两点，分别U”|JMN =()过R,P2作曲线C的切线交y轴于M ,N两点，若RV = ,则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】设切点作标为无巧)工(冷|皿|：若西也曰1+纠则-=-lT不合题鳶若心(训丄i西丿1、 -一严亠匕不合题盍只有九ElQll壬曰1七o)；因为別= 所以.此时一忑甘=_：召肛 方程:y+ln+二一一仗一码)令x = 0:尺層方 fl y-ln-+=xltx,iX = O ? Vy 17血=氐_丹卜2.故选B8 .【2018届广东省阳春高y(x)二我+2 处上学期第三次月考】设点p为函数亠与g（归屜+2仙0）图象的公

12、共点,以P为切点可作直线I与两曲线都相切，则实数b的最大值为A. 2e43B.2e4C.D.【答案】v = j|x)(x0)/t(x)=x+2af,(x)=x在公共点 P X0，y。 处的切线意，,*丄 3d*临 + 2a =心亠2a = 毛得x = a或X)= -3a (舍去)A(r) = -r -3rlnrir Oj h (?)=2/(l-31nt)，令，则尸1、0,e3为增函数，在e3， 为减函数，于是h（t ）在（0,畑）的最大值为,故b的最大值为,3a*2a = 3dlnx；亠 2b.毛亠 2口 =毛，由2& = - a: + 2o3=-i?-3a:hw2 2有 -丄 f(l-31n

13、r)0 沖 1l-31nf)0ri 2）= -1 0)1Ar(x)=4x(lnr+l)，则h（x ）在足）上单调递减，在 （十上单调递增,h即-b = h x的最小值为11.【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数P1,所以b的最大值为-2 ,故选A.e/（x）=/-mr+l的图像为曲线C,若曲线c存在与1直线八1x垂直的切线,则实数m的取值范围是1A. m2 B. m 兰2 C. m d m 2【答案】A解析】1曲线C 存在与直线y x垂直的切线,2f(x)=-用二:.m = l+*成立，故选1 x- j - Mnx( a,b 乏 R ) , g (x ) = x2.16.已知函数（1

14、 ）若a =1,曲线y=f x在点1, f 1处的切线与y轴垂直，求b的值;（2）若b =2,试探究函数f x与g x的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究a值的个数;若不存在，请说明理由.【解析】（1当a =1B1； /（xl =兀一2-占】nx：二 /7-vl = l+-L- = -I】xx Xx依題意得广=20=0以(2)假设函数f x与g x的图象在其公共点 x0,y0处存在公切线，f ix-a x- ；_21nxI =：日- b =2, , , g x =2x,爲-2旳+&_2尤2乂-曲+ 2耳f二0由得，即，任+1|(2矿乔0a,故 X。= a 2=-4(0,+)当a空0时，-函数f x的定义域为 0, ：,函数f x与g x的图象在其公共点处不存在公切线;当“0时，令伯/A-21n-2 = 6卩=(c0).224 S 2下面硏究满足此等