建筑力学：第八章平面图形的几何性质

1、第八章 平面图形的几何性质,在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数WP和极惯性矩IP。等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。,第一节 重心和形心 一、 重心的概念 地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，

2、这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由实验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。,二、一般物体重心的坐标公式 1、一般物体重心的坐标公式 如图81所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为Gl、G2、Gn，其作用点的坐标分别为(X1、Y1，、z1)、(X2、Y2、z2)(Xn，Yn、Zn)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G Gi，其作用点的坐标为C(xc，yc、zc)。对y轴应用合力矩定理，有：,同理，对y轴取矩可得：,将物体连同坐标转90o而

3、使坐标面oxz成为水平面，再对x轴应用合力矩定理，可得：,因此，一般物体的重心坐标的公式为：,第二节 静矩 一、定义 任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分： （8-4） 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为 。,如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩； 和 则分别为dA对z轴和y轴之矩。图8-6图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。 设z、y为形心坐标，则根据合力之矩定理,(8-5),第三节 惯性炬、惯性积

4、、惯性半径 一、惯性炬、惯性积、惯性半径的定义 1、惯性矩 平面图形对某坐标轴的二次矩，如图8-9所示。,(8-7),2、惯性积,（8-8）,3、惯性半径 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义,(8-9),为图形对轴和对轴的惯性半径。,二、平行移轴公式 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴 时，如图8-11所示，可得到如下平行移轴公式,（8-10）,简单证明之：,其中 为图形对形心轴的静矩，其值应等于零，则得,同理可证（8-10）中的其它两式。,第四节 形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念 从式(8-10)的第三式可以看出，对于确定的点

5、(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定0，令式(A-19)中的第三式为零， 即,由此解得,或,(8-11),如果将式(8-11)对求导数并令其为零，即,同样可以得到式(8-10)或(8-11)的结论。这表明:当改变时, 、 的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。,定义 过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。,根据式(8-11)和(8-12)，即可得到主惯性矩的计算式:,(8-12),需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。,当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x