初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案

1、初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案一、一元二次方程1. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 Crn的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围 成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 Cm2,你认为他的说法正确吗？请说明 理由.【答案】（1）李明应该把铁丝剪成12 Cm和28 Cm的两段；（2）李明的说法正确，理由见解 析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为（40-X）cm.就可以表示 出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58c2建立方

2、程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为（40-m） cm.就可以表示出这两个 正方形的面积，根据两个正方形的面枳之和等于48Cm2建立方程，如果方程有解就说明李 明的说法错误，否则正确.试题解析：设其中一段的长度为尤cm,两个正方形面枳之和为SCm2,则j = -+10 （其中当“58时,58 = -5x + 100t解这个方程，得尢=12, = 28 , /.应将之剪成12Crn和28Cm 8的两段;（2）两正方形面积之和为 48 时，48 = 5x+100 , X2 40x+416 = 0 8V （-40）2-4l416=-640,对任意实数m,方程总有2个不相等

3、的实数根：（2）解-：方程的一个根是2,4 - 14+12 - m2=0,解得原方程为X2 - 7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为近，方程的另一个根是5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关 系是关键.当A=b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当A=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：当厶=b2-4ac0时，方程没有实数根.5. 已知关于X的一元二次方程X2 - x+a l=0.（1）当a=- 11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根Xi, X2,求a的取值范围；（3）若方程两个实数根X1, X2满足2+X1

4、 （I-Xl） 2+x2 （1 - X2）=9,求a的值.【答案】（1）1=-3,x, =4 （2） 6i- （3） -44【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案.详解：（1）把 a= - 11 代入方程，得 x2- 12=0,（x+3） （-4） =0, x+3=0 或4=0, .X=3, X2=4：（2） 方程有两个实数根 X2 ,0.即（-1） 2-4l （- 1） 0,解得:a3,有1 _ 1 _ 1+I)S +1)二+乙 +Q +广 S+i)+1(yi 2)i Ic 1、 Ll 1、 原式2l +

5、245317607己知关于X的一元二次方程X2+ （2m+3） x+m2=O有两根, .（1）求m的取值范围；1 1 I（2）若一 +- = -1,则m的值为多少？& P【答案】（1） In - :（2） m的值为34【解析】【分析】（1）根据 0即可求解，1 1（2）化简一+ - 用韦达定理求出a+仇a代入解方程即可.6Z P【详解】解：(1)由题意如b (2m+3) 2 - 4lm20, 解得：m- Z4(2m+3) , =m2,(2)由根与系数的关系得：=- + = -L 即a -(2m+3) 比仙 H /.整理得 m2 - 2m - 3=0m2解得：mi= - 1, ITh=3,3由(

6、I)知 mA,4* mI= 1 丿.Z舍去，m的值为3.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.&关于X的一元二次方程+(2-l)x+2= 0有两个不等实根“，X2.(1) 求实数k的取值范围；(2) 若方程两实根x1, X2满足xl+x2 + xlx2-l = 0 ,求k的值. 【答案】kV丄;(2) k=0.4【解析】【分析】(1) 根据一元二次方程的根的判别式得出 0,求出不等式的解集即可；(2) 根据根与系数的关系得出 x+2=- (2k-l) =l-2k, x2=k2,代入 X1+X2+X1X2-I=O,即可 求出k值.【详解】解：(1)

7、T关于X的一元二次方程/+ (2k-l) x+k2=O有两个不等实根Xi, X2, = (2k-l) 2-4lk2=-4k+l0,解得：k ,4即实数k的取值范I制是k4；4(2)由根与系数的关系得：x+2=- (2k-l) =l-2k, X1x2=k2,. X1+X2+X1X2-l=O, l-2k+k2-l=0, k2-2k=0 k=0 或 2,由(1)知当k=2方程没有实数根，k=2不合题意，舍去，.,.k=0.【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和 根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别 式，以防错解.

8、9. 已知关于X的方程“ -2x+m - 2=0有两个不相等的实数根.求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.【答案】(l)m(),代入求出即可；(2) 求出m0. m3；(2) V m3且m为正整数，. m = l 或 2.当m = l时，原方程为x2-2-l = 0.它的根不是整数，不符合题意，舍去；当m = 2时，原方程为X2 - 2x=0. X(X - 2)=0. 0, X2=2.符合题意.综上所述，m = 2.【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题 的关键.10. 若关于X的一元二次方程X2- 3x+ - 2

9、=0有实数根.(1) 求的取值范围；(2) 当为符合条件的最人整数，求此时方程的解.17【答案】(1)虫一；(2) X=I或x=24【解析】【分析】(1)由一元二次方程有实数根，则根的判别式A2-4acR,建立关于a的不等 式，即可求出a的取值范围；(2)根据(1)确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（I） 关于X的一元二次方程X2 - 3x - 2=O有实数根，17 0,即（-3） 2-4 （-2） 0,解得 a0今T程有两个不相等的实数根；（2） =O今T程有两个相 等的实数根；（3） VOTr程没有实数根M校园空地上有一面墙，长度为20m,用长为32m的篱笆和这面墙I

10、制成一个矩形花圃, 如图所示.（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（2）若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面枳能达到170m2吗？请说明理由.严adBC【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m, 围成的矩形花圃面积不能达到170m2.【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为X米，则BC的长度为（322x）米，再根据矩形面积公式 列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36 - 2y）米，再根据矩形面积公式 列方程，求得方程无解，即假设不成立【详解】（1）假设能，设AB的长度为

11、X米，则BC的长度为（322x）米，根据题意得：x（32 - 2x）=126,解得：X=7, X2=9,. 32 - 2x=18 或 32 - 2x=14,假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36 - 2y）米，根据题意得：y（36- 2y）=170,整理得：y2 - 18y+85=0. =（ - 18）2 - 4185= - 160,该方程无解，假设不成立，即若篱笆再增加4m,怜I成的矩形花圃面枳不能达到170m2.12. 为了让学生亲身感受合肥城市的变化，樹山中学九(1)班组织学生进行坏巢湖一口 研学游活动，某旅行社推出

12、了如下收费标准：(I)如果人数不超过30人，人均旅游费用 为IOO元；(2)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费 用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游 活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动.【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等 量关系为：(IoO-在30人基础上降低的人数x2) X参加人数=3150,得到相关解后根据人 均活动费用不得低于80元作答即可.试题解析：100x30=300080,符合题意.当x=45时，人均旅游费用为100 - 2 (45 - 30

13、) =70 b= - (m -3) =3 - m, C= - m2,336. =b2 - 4ac= (3 - m) 2 - 41 ( - m2) =5r2 6m+9=5 (m )2+一 ,55 0,则方程有两个不相等的实数根；(2)2=-m20, x+x2=m - 3, 1 2 异 *J ,又IXlI = I2 - 2,即IXiI - I21 = - 2,若0, x2方程化为x2+2x - 1=0,解得：XI= - 1+J , 2= 1 2，若 XO,上式化简得：-(+x2) = - 2,. X1+X2=m - 3=2,即 m=5,方程化为X2 - 2X- 25=0,解得：XI=I- 26 ,

14、 2=l 26 14阅读下面内容：我们己经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现: 当 0, b0 时：, （ y/a -yb）2=o 2yab +bQ；.a+b2 剧,当且仅当*b时取等号.请利用上述结论解决以下问题：（I）请直接写出答案：当x0时，x+丄的最小值为.当XVo时，x+丄的最大值XX为;Y2 + 7 +10(2)若尸,(-l),求y的最小值;x + 1（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、3D相交于点O, ZAOB COD的面积分别为4和9,求四边形ABCD面积的最小值（2） y的最小值为9；【解析】（3）四边形ABCD面积的最小值为25【分析】（1）当x0时，按照公式a

15、+b2（当且仅当=b时取等号）来计算即可；当x0, -丄0,则也可以按公式a+b2懈 （当且仅当*b时取等号）来计算; XX，+ 7 + 0（2）将y= A , ZA+ iU的分子变形，分别除以分母，展开，将含X的项用题中所给公式x+l求得最小值，再加上常数即可；（3）设 5 BoCF 9 己知 S AOB=Z4 9 S cod=9 ,由三角形面积公式可知:Sboc: S COD=Siit AOBt S“0D，用含X的式子表示出S AO0,再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小 值，加上常数即可【详解】(1) 当 x0 时，x+i2 = 2; 当XVo时，x0, 一丄0.X - X 2

16、 I-XJ =2,则 X (-X) 2, 当 x0 时，X的最X y X)XXX小值为2.当XVo时，x+丄的最人值为2X故答案为：2 - 2.,、. -C x2 + 7x+10 (x + 1)2 + 5(x+1) + 4(2) Tx-1, .+l0, .y=(x+l)x + lx+1+ -+52 J(+1)-+ 5=45=9, A y 的最小值为 9x+l r 7 x+l(3 )设 S BoC=X，己知 S AOB= Sb CoD=936则由等高三角形可知:S BoCZ S COD=S AOB： SAOD9 * X： 9=4： SLtAOD9 SAOD= TX 四边形 ABCD 面积=4+9+x+- 13+2- = 25.当且仅当*6时，取等号，四边形ABCD面积的最小值为25.【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用.对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应 用.15.已知关于X的方程(k-l)F+(2k-3)x+k + l = 0有两个不相等的实数根X1, X2.求R的取值范I韦I.(2)是否存在实数R ,使方程的两实数根互为相反数？13【答案】(i)k(),可解得k的取值范围；(2) 假