一元二次方程根与系数关系(附答案)

1、一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人 得分一 选择题（共6小题）1 .已知关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下列说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C没有实数根D.无法确定2 .关于x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m- 1 B. m - 1 C. m0,.方程有两个不相等的实数根.故选： B.2 .关于x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根，则m的取值范围是（）A. m- 1 B. m- 1 C. m0,解得：m-1.故选： A.3.关于x的一元二次方程x2+3x-仁0的根的情况是（）A.有两个不相等

2、的实数根 B.有两个相等的实数根C没有实数根D.不能确定【解答】解： a=1, b=3, c=- 1,=b2-4ac=32-4X1X（- 1） =130，方程有两个不相等的实数根.故选： A.4 .设X1、X2是一元二次方程2x2- 4x-仁0的两实数根，则X12+X22的值是（）A. 2 B. 4C. 5 D. 6【解答】解：为、X2是一元二次方程2X2- 4x-仁0的两实数根，-Xl+X2=2,X12+X22= ( X1+X2) 2 - 2X1X2=22 - 2 X(诗)=5-故选：C.5 若a B是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根，则a+B的值为()A.- 5 B. 5 C

3、. - 2 D.-【解答】解：T a B是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根，故选：B.6. 已知关于X的方程x2- 4x+c+仁0有两个相等的实数根，贝U常数c的值为()A.- 1 B. 0C. 1 D. 3【解答】解：关于X的方程X2 - 4x+c+仁0有两个相等的实数根， = (- 4) 2 -4X 1X(c+1) =12- 4c=0,解得：c=3.故选：D.二.填空题(共1小题)7. 若关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0 (a0)的两个不等实数根分别为p，q， 且 p2- pq+q2=18，则二一的值为 -5.【解答】解：关于X的一元二次方程X2 - 3x+a=0(

4、aM 0)的两个不等实数根分 别为p、q， p+q=3，pq=a，I p2 - pq+q2= (p+q) 2 - 3pq=18，即 9 - 3a=18,-a= 3， pq=- 3,門-1 118-3qpqPQ-3=-5.Pq故答案为：-5.三解答题(共8小题)8. 已知关于x的方程x2-( 2k+1) x+k2+1=0.(1) 若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2) 若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L 的长.【解答】解：(1)v方程x2-(2k+1) x+k2+1=0有两个不相等的实数根， = -( 2k+1) 2-4X 1X(k2+1) =4k-

5、 30,(2) 当k=2时，原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n， m+n=5，mn=5， J叩 2 十门？血口)15.9 .已知关于x的方程x2+ax+a - 2=0.(1) 若该方程的一个根为1，求a的值；(2) 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程，得：1 +a+a- 2=0, 解得：a千.(2)证明： =W 4 (a- 2) = (a- 2) 2+4.( a-2) 20， ( a-2) 2+40,即厶 0,不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10. 已知关于x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x- m)

6、=0 (m为常数).(1) 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 若该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证明：原方程可化为x2-( 2m+2) x+m2+2m=0,/ a=1, b=-( 2m+2), c=m2+2m,:. =b2 - 4ac= -( 2m+2) 2- 4 (m2+2m) =40,不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将 x=3代入原方程，得：(3 -m) 2-2(3 - m) =0,解得：mi=3, m2=1. m的值为3或1.11. 已知关于x的一元二次方程x2-x+a-仁0.(1) 当a=- 11时，解这个方程；(2) 若这个方程

7、有两个实数根X1, x2,求a的取值范围；(3) 若方程两个实数根X1, x2满足2+X1 (1 - X1) 2+x2 (1 - X2) =9,求a的 值.【解答】解：(1)把a=- 11代入方程，得x2-x- 12=0,(x+3) (x- 4) =0,x+3=0 或 x- 4=0,X1 = - 3, X2=4;(2) v方程有两个实数根冷，七，0,即(-1) 2-4X 1X(a- 1)0,解得 T一 二；(3) .啊，H 2是方程的两个实数根，xI|+a._L=0 s 七2-七+卫-1二0,- 0r2+X1 (1 - X1) 2+X2 (1 - X2) =9, I_ T _ I. + 丁1

8、,+ ? 2于巴 ”1 一算一/_1， 買 2_2 二疤1代入，得：2+a- 1 2+a- 1=9，即(1+a) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去),所以a的值为-412 .已知xi, X2是关于x的一元二次方程4k/- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1) 是否存在实数k,使(2xi - X2) (xi - 2x2)=-寻成立？若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由；(2) 求使上丄+上土 - 2的值为整数的实数k的整数值；吧巧(3) 若k=- 2,入=，试求入的值.【解答】解：(1)： xi、x2是一元二次方程4&-4kx+k+1=0的两个实数根，X1+X2=1, X1x2二

9、J4k- (2x1 - X2)( X1 - 2x2)=2x12 4x1x2 X1X2+2x22=2(X1+x2)2 9x1xz=2X 12 - 9X2 =24k 9(k+l)若2-粧誇成立解上述方程得，k=-， =16k2-4X4k (k+1) =- 16k0，kv 0，v k，矛盾，不存在这样k的值；Xi+Xp( I Ii XnI -Hx ) 2+ X i Kn(2)原式二-2= - 2=- 4=-4k+T5 k+1=1 或-1,或 2,或-2,或 4,或-4解得 k=0或-2, 1，- 3, 3,- 5. kv 0. k=- 2,- 3 或5；(3)v k= 2, X= , xi+x2=1

10、.XXX2 = 1 , X2=X411入+1严入= 3 .：.13. 已知关于x的方程(k+1) X2 2 (k 1) X+k=0有两个实数根Xi, X2.(1) 求k的取值范围；(2) 若 X1+X2=X1X2+2，求 k 的值.【解答】解：(1)：关于x的方程(k+1) X2 2 (k 1) X+k=0有两个实数根,k+EA=-2 (k-l)Z-4k0解得：k-且 k 一 1.(2)v关于x的方程(k+1) x2 2 (k 1) x+k=0有两个实数根X1, X2.X1+X2k+1 k rk+1X1比二X1+X2=X1X2+2, 即 卩+2,解得：k= 4,经检验，k= 4是原分式方程的解

11、, k= 4.14. 已知关于 x 的方程 x2 2 (m+1) x+m2 3=0.(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2) 设X1、X2是方程的两根，且X12+X22=22+X1X2，求实数m的值.【解答】解：(= 2 ( m+1) 2 4 (m2 3) =8m+16,当方程有两个不相等的实数根时，则有0,即8m+160,解得m-2;(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系，得 xi+x2=2 (m+1), xix2=m2 - 3,. Xi2+X22=22+XlX2= (X1 +X2)2 _ 2XiX2,2 (m+1) - 2 (m2-3) =6+ (m2-3),化简，得m2+8m-9=0,解得m=1或m=-9 (不合题意，舍去), 实数 m 的值为 1 15已知关于 X 的一元二次方程 X2- 2X+m- 1=0 有两个实数根 X1、X2 ( 1 )求 m 的取值范围；(2)若 X12+X22=6X1X2，求 m 的值