不动点理论及其应用

1、不动点理论及其应用主要内容：不动点理论一压缩映像原理不动点理论在微分方程中的应用不动点理论在中学数学中的应用 目录：一、弓丨言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上,那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的 这个重合点就是一个不动点函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。使f(X0)Xo,则Xo就是一个不动点。二、压缩映像原理定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理)设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压 缩映

2、射，则T在X上存在唯一的不动点这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间定义：(距离空间)设 X 是一个非空集合。 X 称为距离空间，是 指在 X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ， 满足下面三个条件：(1)。 (x,y) 0， 而且 (x, y) 0， 当且仅当 x y；(2)。(x,y)(y,x)；(3)。(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。这里叫做X 上的一个距离，以 为距离的距离空间 X记作 (X, )定义：(完备的距离空间) 距离空间 ( X, ) 中的所有基本列都是收敛 列，则称该空间是完备的。定义：(压缩映射)称映

3、射 T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如 果存在 0 a 1， 使得 (Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。三、在微分方程中的应用定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题dy f(x,y),dxy(xo) yo.假设f(x,y)在矩形区域R： |x xo | a, | y y | b内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I X。h,X。h上有且仅有一个解，其中h min2，寻, M(myaR| f(x,y)|.(1) 。传统的证明方法通常，我们分成四步来证明：a. 转换成等价的积分方程x y yo xf(t,y)dtxob. 构造皮卡迭代序列

4、c. 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解d. 证明解唯一(2) 。压缩映像原理证明根据上面的理论，先定义 X Cx。h, X。h C(l)然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)|由积分方程 y y0x f(t,y)dt ， 我们可以定义一个映射：x0x(Ty)(x) y0x f (t, y(t)dtx0我们要证明两点：a. 任意 x X ， 则 Tx Xb. 检验映射 T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射tt(Tx,Ty) mtaIx| f( , x( )d f ( ,y( )d | x0x02hmtaIx|f (t,x(t) f (t,y(t)|注意函数f(

5、x, y)对y满足Lipschitz条件：| f(t,x1) f(t,x2)| L|x1 x2|,其中 L 是一个常数。容易得到tt(Tx,Ty) mtaIx| f( ,x( )d f( ,y( )d |x 0x02hmtaIx|f(t,x(t)f(t,y(t)|2hL (x, y)因 此， 只要 h 取得 适当 小， 使 得 2hL 1， 则映 射T: (X, )(X, ) 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点 y，使得x y y0 x f (t, y)dt x0这样，存在与唯一性同时成立。四、在中学数学中的应用例1,假设定义在R上的奇函数f(x)的图像上存在有限个不动 点，则不动点有奇数个

6、。证明：函数f (x)为奇函数，所以f( x) f (x)， x R特别，取x 0，贝S f (0) 0。因此0是一个不动点。如果c 0是一个不动点，即f(c) c ,那么f( c) f (c) c说明 c也是一个不动点，而且 c c。或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。例2,给定函数f(x)心,a,b为常数。x b(1) 。如果函数f(x)有两个关于原点对称的不动点，求a,b应该满 足的条件。(2) 。在(1)的条件下，取a 8, y f(x)的图像上代A两点的 横坐标是函数f (x)的不动点，P为函数f (x)图像上的另外一点，而且其纵坐标大于3,求点P到直线

7、AA距离的最小值，以及取得最 小值时点P的坐标解：设X。是函数f(x)图像上的不动点，则有f(X。)3x0 aX bX0整理得X； (b 3)x a 0(*)由题意知方程(*)有两个根，而且绝对值相等，符号相反由此得 b x o,f(x)3 Hb3, a 0, a因此，a,b应该满足的条件是:(2)。(1)的条件下，取a 8,则8x 3故 A(2 22.2) ,A ( 2、2 2、2)由3xx得函数f (x)的两个不动点3x 8 f(x)门X122 , X22 . 2设 P(x,y)，贝y y 3。直线aA的方程为由 34 3，设点P到直线aa的距离为解得x 3.|x y| 1 .d P石1x

8、1(2 6)4.23x 81x 3 121 (x 9) 11 ( x 3)6x 3当且仅当x 3即x 4时上式等号成立，此时,x 4, y 4故点P到直线AA距离的最小值为 4.2，此时点P的坐标为(4,4) O五、其它a. 还有很多其它不动点定理Brouwer不动点定理：n维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即如果Sn表示这个球，f :Sn Sn是任意连续函数，则存在一个点X。Sn，使得 f(X) X。在经济均衡理论中的应用例如，经典的Leontief模型。假设每生产一个产品有 N个生产者，p, i 1,2,., NXi表示生产者Pi的全部产品，Xj表示P生产的产品被PjN消耗的全部总数。定

9、义Y Xi Xjj i上式含义：P的全部产品数与由生产者 Pi, P2,., Pn消耗的总数之 差。Yi称为商品i的“最后要求”。闭合的Leontief模型假设 Y o, i 1,2，,N。aj虫称为“产品系数”。j Xi如果3j是常数，那么(I A)X Y，其中A (aj)，X (X1，,Xn)， Y ,Yn)。一般情况下，假设aj为正连续函数。fj(x)称为“要求函数”：表示当Pi的收益为x，而花费在由Pj生产的产品Gj上的资本总数。显然，fH(x) 0。现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式NXfj (X)( 1)j般的经济规律认为，生产者P的收益Xi按

10、照这样的方式确定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进产品的总值，用数学语言表示，有关系式N xjfij (x)(2)i现在，假设函数 fij 是非线性连续函数， 则可知存在点 x (x1,.,xN ) 适合关系式( 2)。定理：假设函数 fij 都是正的连续函数，满足条件( 1)，则存在 点 x ( x1,., xN )适合关系式( 2)。Schauder不动点定理：Banach空间中每个凸紧集，对于连续映射有 不动点性质。b. 在偏微分方程的处理中有很多应用c. 引言中例子的证明我 们 把 大 照 片 抽 象 成 矩 形 K1 (ABCD ) ， 小 照 片 抽 象 成

11、矩 形K2(ABCD) 。而照片的叠放可以看成是从K1 到 K2 K1 的连续映射(由伸缩和旋转的连续形变) 。假设 那个不动点为 O 点， 见下图。 要证明的结论可以转化为：存在 O 点， 使得 OAB 与 OAB相似。证明：延长Ab交AB于点P，然后过A, A, P三点作圆Oi，过 B, b, P作圆。2 ,记圆Oi和作圆。2的另一个交点为0。 因为点O, B, P, B在圆 02上， 所以 OBaOBP。(因为 OBABOPBPOBBP BBOOBP)又因为点O, A, A, P在圆Oi上，所以OAP OAP因此，OAB与OAb相似。这就说明，在O点上，大小照片中的 “景物”是相同的。思考题：A是定义在2，4上而且满足如下条件的函数(x)组成的集合：(1 )，对任意的x 2,4，都有(x) (1,2) ； ( 2)，存在常数 L(0 L 1)， 使得对任意 Xi,X2 1,2， 都有| (2xJ(2X2)| L |X1 X2I。(I) 。设(x) 3/厂X， x 2,4，证明：(x) A。(II) 。设(x) A，如果存在xo (1,2)，使得xo(2xo)，那么这样的xo是唯一的(III)。设(x) A，任