一元二次方程知识点及其应用

1、一、相关知识点1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1 )明确只有当二次项系数 a 0时，整式方程ax bx c 0才是一元二次方程。(2) 各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3) 熟练整理方程的过程3元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 列出实际问题的一元二次方程 二解法1 明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而 把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解

2、法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4 值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如 X2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2 n的方程的解法：当n 0时，x当 n 0 时，x-i x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； “系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； 配方：将方程两边

3、分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式；求解：若n 0时，方程的解为x m . n，若n 0时，方程无实数解。(3)公式法：一元二次方程2ax bx c 0(a0)的根 xb b2 4ac2a当 b2 4ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等;b24ac 0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为x1x2b2a ；当 b2 4ac 0 时，方程无实数根公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a,b, c的值；代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若 b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另

4、外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。 ）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即:若 ab 0,则 a 0或b 0 ； 因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零,得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次 根式的化简问题。 方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便

5、，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。（1） =b2 4ac2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2 bx c 0 （ a 0）当00时方程有实数根；00时方程有两个不相等的实数根；当a00时方程有两个相等的实数根； ）当00时方程无实数根；从

6、左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情况2）已知方程中根的情况,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围3）应用判别式,证明一元二次方程根的情况 先计算出判别式（关键步骤） 用配方法将判别式恒等变形； 判断判别式的符号； 总结出结论（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0, 元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（5）元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等

7、知识综合命题，解答时要在全面 分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用1数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。3增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b ），这四者之间的关系可以用公式a（i x）n b表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，

8、则舍去）。五实际应用（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵 50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有 400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （36岁）已知：a,b,c分别是 ABC的三边长，当m 0时，关于x的一元二次方程c（x2 m） b（x2 m） 2 max 0有两个相等的实数根，求证：ABC

9、是直角三角形。第3页共7页222c a )x c 0没有实数根。(5)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx24x 40与x224mx 4m 4m 50 的根都是整数？ ( m 1)(6)已知关于x的方程x2 2xm21x2 2x 2m0，其中m为实数，(1 )当m为何值时，方程没有实数根？ ( 2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：(1) m 2( 2) x 1, 12.(二)一元二次方程的解法1.开平方法解下列方程：(1) 5x2 125 0 (x-i 5, x25)(2) 169(x 3)228956(x1 百 X222)132(3) y 3610

10、(原方程无实根)(4) (13)m20(m1m20)2.配方法解方程：(1) x2 2x 50(x1. 6 )(2) y25y 10(x -5、212 )3. 公式法解下列方程：23 V3(1) 3x2 6x 2( x 33 )3(2) p2 3 2、3p ( P1 P23 )(4)已知：a,b,c分别是 ABC的三边长，求证：方程 b2x2 (b2第#页共7页4. 因式分解法解下列方程：1 2（1） -X290（ x 6）42(2) y 4y 450 ( y-9,y25)(3) 8x210x 30 ( xi1 ,X24(4) . 7x2 . 21x 0 ( X1 0, X2. 3)5解法的灵

11、活运用（用适当方法解下列方程）（1）,2（2x 7）2,128（ x -2 ）22 2 2(2) 2m m 12(m2m)(m6解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：(1) x2 2mx m2 n20(x1 m n, x2 m n)(2) x k为何值时，关于 x的二次方程kx2 6x 9 0（1）有两个不等的实数根（k1且k0）（2）有两个相等的实数根（k1）（3）无实数根（k1） 3a2 4ax 2a 1(X1 3a 1,x2 a 1)（三）一元二次方程的根的判别式1.不解方程判别方程根的情况：（1） 4x2 x 3 7x （有两个不等的实数根）(2) 3(x22) 4x (无实数根)第

12、9页共7页3-)224若方程X222( a 1)x a 4a 50有实数根，求：正整数a.(a 1, a 2,a 3)2 25对任意实数 m,求证：关于x的方程（m 1）x2mx m240无实数根.26. k为何值时，方程(k 1)x(2k3)x (k 3)0有实数根.7 设m为整数，且4m 40 时，方程 x22(2m23)x 4m 14m 80有两个相异整数根,(m 2,捲 x2 或 m 10, X! x2252 )的值及方程的根。（当m=12时，方程的根为 为16, X2 26 ；当m=24时，方程的根为X1 38, X23 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元

13、，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（ 20元）4.已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动,40千米，问几分钟后，两人相甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟 2千米，若正方形广场周长为距2,10千米？（2分钟后）7.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息夕卜,还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数.（20%）&如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东