浙江专用高考数学新增分大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.5直线平面垂直的判定与性质讲义含解析

1、 8.5直线、平面垂直的判定与性质取新考纲考情考向分析1. 理解空间线面垂直、面面垂直的 判定定理和性质定理.2. 理解直线与平面所成角的概念， 了解二面角及其平面角的概念 .直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内 容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应 用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有 较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想基础知识自主学习 回扣早础知识 训练皐础题目 亍知识梳理1. 直线与平面垂直(1) 定义如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线I与平面a互相垂直，记作I丄a,直线I叫做平面a的垂线，平面 a叫做直线I的垂面.(2) 判定

2、定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面 垂直17错误! ? I丄a性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行azh7错误！ ？ a / b2. 直线和平面所成的角 定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的 角是0的角范围:93. 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 于棱

3、的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2) 平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3) 平面与平面垂直的判定定理与性质定理判定定理性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直错误!? a丄B两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直错误! ? I丄a【概念方法微思考11. 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内

4、的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线 与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面亍基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 直线l与平面a内的无数条直线都垂直，则I丄a .( X )(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.( X )直线a丄a, b丄a，贝y a/ b.( V )若a丄B

5、 , a丄B，贝y a/a .( x )若直线a丄平面a，直线b/a，则直线a与b垂直.( V )(6)若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则 a丄B .( X )题组二教材改编2JP73T1下列命题中错误的是()A. 如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB. 如果平面a不垂直于平面 B，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC. 如果平面 a丄平面 丫，平面 B丄平面 Y , a A B= I，那么I丄平面 丫D. 如果平面a丄平面3，那么平面a内所有直线都垂直于平面3答案 D3 ,即与平面3解析 对于D,若平面a丄平面3，则平面a内的直线可能不垂直于平面的关

6、系还可以是斜交、平行或在平面3内，其他选项均是正确的3. P67练习T2在三棱锥 P- ABC中，点P在平面 ABC中的射影为点 O(1)若PA= PB= PC则点0是厶ABC的心； 若PAI PB, PBL PC PCX PA则点0是厶ABC的心.答案外(2)垂 解析(1)女口图1,连接OA OB OC OP在 Rt POA Rt POB和 Rt POC中 , PA= PC= PB所以OA= OB= OC即0为厶ABQ的外心.如图2,延长AO BO CO分别交BC, AC, AB于点H , D, G/ PCX PA PBL PC PAn PB= P, PA PB?平面 PAB PCX平面 P

7、AB 又 AB?平面 PAB 二 PCX AB/ AEL PO P6 PC= P, PO PC?平面 PGC ABL平面PGC又CG平面PGC ABLCG 即 CG ABC边 AB上的高同理可证 BD AH分别为 ABC边AC BC上的高，即0为厶ABC的垂心 题组三易错自纠4. （2018 台州模拟）若I ,m为两条不同的直线，a为平面，且I丄a,则“ mil a”是“ mil ” 的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由I丄a且m/a能推出ml I，充分性成立；若I丄a且ml I，则mil a或者n? a，必要性不成立，因此m/ a”

8、是ml I ”的充分不必要条件，故选A.5. 如图所示，在正方体 ABCAB1GD中，点O M N分别是线段 BD DD, DC的中点，则直线OM与AC, MN勺位置关系是（）A. 与AC MN均垂直B. 与AC垂直，与MN不垂直C. 与AC不垂直，与 MN垂直D. 与AC MN均不垂直答案 A解析 因为DD丄平面ABCD所以ACL DD ,又因为 ACL BD DDQ BD- D,所以 ACL平面 BDEBi ,因为OM平面BDEB ,所以OIVL AC设正方体的棱长为 2 ,则 OM=1 + 2= .3 , MN=1 + 1= .2 ,ON=1 + 4 =5,所以0和MN= ON,所以OM

9、_ MN故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆 O所在的平面，点 C是圆周上不同于 A, B的任意一点，M N分别为VA VC的中点，则下列结论正确的是 （）A. MIN/ ABB. 平面VACL平面VBCC. MN与 BC所成的角为45D. OCL平面 VAC答案 B解析 由题意得 BC丄AC因为 VAL平面ABC BC?平面ABC所以VA! BC因为A8 V心A,所以BCL平面 VAC因为BC?平面VBC所以平面 VACL平面VBC故选B.题型分类深度剖析直题典越陳庭剖析 虫点难点多维掠究题型一直线与平面垂直的判定与性质71 乂廿例1 如图所示，在直三棱柱 ABC- AB

10、C中，AB= AC= AA= 3，BC= 2，D是BC的中点，F是CC上一点.当CF= 2时，证明：BF丄平面ADF证明 因为AB= AC, D是BC的中点，所以 ADL BC 在直三棱柱 ABC- ABC中，因为BB丄底面 ABC AD?底面ABC所以ADL BB因为 BCH BB= B, BC BB?平面 BBCC,所以ADL平面BBCC因为BF?平面BBCC所以ADL BF.方法一在矩形BBCC中，因为 GF= C 1, B0= CF= 2,所以 Rt DC磴Rt FCB,所以/ CFD=Z CBF,所以/ B FD= 90，所以 B FL FD因为 AB FD= D, AD FD?平面

11、 ADF所以BF丄平面 ADF方法二 在 Rt BBD中，BD= CD= 1 , BB = 3 , 所以 BD= BD2 BB2=10.在 Rt BCF 中，BC= 2 , CF= 1 ,所以 BF=#B1C2 6F2=5.在 Rt DCF中 , CF= 2 , CD= 1,所以 DF= ,CD2+ CF2 .5.显然 dF+ bf2= B1D2 ,所以/ BFD= 90.所以BFL FD因为 ADA FD= D, AD FD?平面 ADF所以BF丄平面ADF 思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1) 证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质(2) 证明线面垂直的

12、关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练1 (2019 绍兴模拟)如图，在三棱锥 A-BCD中, ABL AD BCL BD平面ABDL平面BCD点E, F(E与A, D不重合)分别在棱AD BD上，且EF丄AD求证：EF/平面ABC(2) ADL AC证明 (1)在平面 ABD内，因为 ABL AD EFL AD贝U AB/ EF又因为EF?平面ABC AB?平面ABC所以EF/平面ABC 因为平面 ABD_平面BCD平面 ABET 平面 BCD= BD BC?平面 BCD BCL BD所以BCL平面ABD因为AD?平面ABD所以BCL AD又 AB丄 AD BCT

13、AB= B, AB?平面 ABC BC?平面 ABC 所以ADL平面ABC又因为AC?平面ABC所以ADL AC题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 (2018 全国I )如图，在平行四边形 ABCM中，AB= AC= 3，/ ACM 90 .以AC为折痕将厶ACM折起，使点 M到达点D的位置，且 AB1 DA(1)证明：平面 ACDL平面ABC2 Q为线段 AD上一点，P为线段BC上一点，且 BA DQ= -DA求三棱锥 Q- ABP勺体积3(1)证明 由已知可得，/ BAC= 90,即卩BAI AC又 BAI AD ADH AC= A, AD AC?平面 ACD所以ABL平面ACD又AB

14、?平面ABC所以平面 ACDL平面ABC 解 由已知可得，DC= CM= AB= 3 , DA= 3 2.2又 BP= DQ= -DA 所以 BP= 2 2.3如图，过点Q作QEL AC垂足为E,1贝U QE/ DC且 QE= DC由已知及可得，DCL平面ABC所以QEL平面ABC QE= 1.因此，三棱锥 Q- ABP的体积为VG-abp- 3 x SaabpX QE=3x2x3x22sin45 x 1= 1.思维升华（1）判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理 （a丄3 , a? a ? a丄B ）.（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线

15、，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练2 （2018 宁波调研）如图，三棱锥 P ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形,PAL PC PB= 2.c29（1）求证：平面 PACL平面ABC若PA= PC,求三棱锥 P- ABC勺体积.证明如图，取AC的中点O,连接BO PO因为 ABC是边长为2的正三角形,所以 BOL AC BO= 3.1因为 PAL PC 所以 PO= ?AC= 1.因为 PB= 2,所以 OP + 0B= PW , 所以POL OB因为 ACT OP= O AC OF?平面 PAC所以BOL平面PAC又OB平面ABC所以平面PACX平面ABC 解 因为 P

16、A= PC PAL PC AC= 2, 所以 PA= PC= 2.2X 2X 3 =由(1)知BOL平面PAC 所以 Wabc= VB-e 3SPAC- BO3X f题型三与垂直有关的探索性问题 /33223所以 A*=2 , AQ= 3A43X2= 1.三棱柱的体积为-4 x( . 3) 2AAi= 9,解得 AA= 3，即 01= AA=、.：3,所以 tan / PA(= 0A=3,因为直线与平面所成角的范围是n所以/ PAO=m6.如图，已知PAL平面ABC BCLAC则图中直角三角形的个数为 答案 4解析 / PA!平面 ABC AB, AC, BQ 平面 ABC PAL AB, P

17、AL AC PAL BC 则厶 PAB PAC为直角三角形.由 BCL AC 且 A8 PA= A,得7.如图，在斜三棱柱BCL平面PAC从而BC丄PC因此 ABC PBC也是直角三角形.ABG- ABC 中，/ BA(= 90 , BCL AC 则 C 在底面 ABC上的射影 H必在直线上.答案 AB解析 / ACL AB ACL BC, ABA BC= B, AC丄平面 ABC又 AC?平面ABC二平面 ABC丄平面 ABC C在平面ABC上的射影H必在两平面交线 AB上 .8.如图所示，在四棱锥P ABCD中, PAL底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上的一动点,当点M满足时，平面M

18、BL平面PCD只要填写一个你认为正确的条件即可)答案 DML PC 或 BML PC等）解析 / PA!底面 ABCD - BDL PA 连接 AC,贝U BDL AC 且 PAO AC=代二 BDL平面 PAC BDL PC当DML PC或BML PC时，即有 PCL平面 MBD而PC?平面PCD二平面 MBL平面PCD9.如图，在长方体 ABC A1B1GD中，AB= BC= 2, AA= 1,贝U AC与平面 ABCD所成角的正 弦值为.1答案3解析AH连接AC,则/ ACA为AC与平面 ABCD所成的角因为 AB= BC= 2,所以 AC = AC= 2寸2,又 AA= 1,所以 AC

19、= 3,十,AA1 1所以 sin / ACA = ac1= 3.10.如图，在棱长为 2的正方体 ABC ABCD中，E为BC的中点，点 P在线段DE上.点P到直线CC的距离的最小值为答案5解析 点P到直线CG的距离等于点P在平面ABCDt的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P,显然点P到直线CC的距离的最小值为 P C的长度的最小值当P C丄DE时，P C的长度最小，此时P C=2X122+ 1211.如图，在四棱锥 P- ABCD，底面 ABCD1矩形，点E在棱PC上(异于点P, C，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB/ EF；若AF丄EF,求证：平面PADL平面

20、 ABCD证明(1)因为四边形ABCD1矩形,所以AB/ CD又 AB?平面 PDC CD?平面 PDC所以AB/平面PDC又因为AB?平面ABE平面 ABEH平面PDC= EF,所以AB/ EF(2)因为四边形ABC毘矩形，所以ABL AD因为 AFL EF, (1)中已证 AB/ EF,所以ABL AF又 AB! AD由点E在棱PC上(异于点C，所以点F异于点D,所以 AFn AD= A, AF, At?平面 PAD所以ABL平面PAD又AB?平面ABCD所以平面PADL平面ABCD12. (2019 浙江省台州中学模拟 )如图，在四棱锥 P- ABCDL PAL平面ABCD PA= AB

21、 BC口1PB上 ,且 PN= PB4=3, AD= CD= 1，/ ADC= 120,点 M是 AC与 BD的交点，点 N 在线段(1)证明：MN/平面PDC求直线MN与平面PAC所成角的正弦值(1)证明 因为 AB- BC AD= CD所以BD垂直平分线段AC又/ ADC= 120 ,11x/3所以 MD= ?AD= 2 , AM= y.所以AC- .3.又 AB= BC=3 ,所以 ABC是等边三角形，3 BM所以BM= 2,所以MD= 3 ,1又因为PNf= 4PBBM BN所以 MDT NP= 3，所以MM PD又MN平面PDC PD?平面PDC所以MM平面PDC解 因为PA平面 A

22、BCD BD?平面ABCD所以BDL PA又 BDL AC PAG AC= A PA AC?平面 PAC所以BDL平面PAC由（1）知 MN/ PD所以直线MNW平面PAC所成的角即直线 PD与平面PAC所成的角，故/ DPMP为所求的角.在 Rt PAD中, PD= 2,1DM 21所以 sin / DPIW乔DP 241所以直线MNW平面PAC所成角的正弦值为4N技能提升练13. （2018 湖州质检）如图，在正方形 ABCD中E F分别是BC, CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B, C D三点重合，重合后的点记为H那么，在这个空间图形中必

23、有 （）A. AGL平面 EFHB. AHL平面 EFHC. HF丄平面AEFD. HGL平面 AEF答案 B解析 根据折叠前、后 AHL HE AH丄HF不变， AHL平面EFH B正确；过A只有一条直线与平面 EFH垂直，.A不正确；/ AGL EF, EFL GH AGn GH= G, AG GH 平面 HAG： EF丄平面 HAG 又 EF?平面 AEF平面HA（丄平面AEF过点H作直线垂直于平面 AEF 一定在平面 HAG , ：C不正确；由条件证不出 HGL平面AEF ：D不正确故选B.14. （2018 全国I ）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面 a所成的角都相等，则a

24、截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3.竽c.D.答案 A解析 如图所示,在正方体 ABCD- ABCD中，平面 ABD与棱AA, AB , AD所成的角都相 等，又正方体的其余棱都分别与 AiA, AB , AD平行，故正方体 ABC- ABCD的每条棱所在 直线与平面ABD所成的角都相等.取棱AB BB, BC, CD, DD, AD的中点E, F, G H M N则正六边形 EFGHMN在平面与平面ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形efghmf6X 2x x #sin603?4故选A.N拓展冲刺练1 5.（20 1 9 金华模拟）如图，在直角梯形 ABCD中, BCL DC

25、, AEL DC且E为CD的中点，M N分别是AD BE的中点，将三角形 ADE沿 AE折起，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号） 不论D折至何位置（不在平面 ABC内），都有MN/平面DEC 不论D折至何位置（不在平面 ABC内），都有MNL AE 不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN/ AB 在折起过程中，一定不会有 ECL AD答案解析 由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形,DAB所以AB= EC所以AB= DE又 AB/ DE所以四边形ABE助平行四边形, 所以BE= AD折叠后如图所示 过点M作MP/ DE交AE于点P,连接NP因为M N分别是AD BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP/ EC又 ME N