人教A数学新优化大一轮课件：第十章算法初步、统计与统计案例10.3

1、丛书主编志鸦优化系列丛书任志池10.3用样本估计总体10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题知识梳理1 统计图表(1) 频率分布直方图的画法步骤求极羌(即一组数据中最大值与最小值的羌)： 决定_组距与组数： 将数据分组： 列频率分布表： 画频率分布直方图(2) 频率分布折线图和总体密度曲线劲页率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的 屮点，就得到频率分布折线图.总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分组数 增加. 组距 减小相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线. 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线总体密度曲线反映了总体 在各个范围内取值的

2、百分比，它能提供更加精细的信息.知识梳理(3) 茎叶图:茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生 长出来的数当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它 不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示 都带来方便.(4) 茎叶图的画法步骤第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的两侧.知识梳理2 样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出现次数 最多 的数据叫做这组数 据的众数中位数将一组数据按大小依次排列，把处在屮间位置的 一个数据（或最中间两个数据的平均数 ）叫做这

3、组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积和应该相等平均数样本数据的算术平均数，即乂 =二+恋+切 n方差52=（X1 -X）2 +（X2-X）2+ - +（X-X）2,其中 S 为标准差3标准差、方差的实际意义:标准差和方差都反映了样本数据的离散程度方差（标准差）越小，样本数据越稳定，波动越小.知识梳理常用结论1频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1) 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3) 平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个 小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

4、2若数据可,勺,再的平均数为壬，方差为则数据 mxx+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是血X+，方差为加唧.考点自测1判断下列结论是否正确，正确的画“V”,错误的画“X”.(1) 平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.(V )(2) 组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大.(V )(3) 频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该 区间内的频率越大.(V )(4) 茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记 一次(X )(5) 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形 式，前者准确，后者直观.(V )(6) 在频率分布直方图中，最高的

5、小长方形底边中点的横坐标是众 数( V )考点自测2. （2018全国1,文3）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收 入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:种植收入60%念第三产业收入品其他收入种植收入30%、第三产业收入28% 37% r一/ 30%血其他收入养殖收入建设前经济收入构成比例殖收入建设后经济收入构成比例考点自测则下面结论中不正确的是（）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍a丄;i! 1）、 X jA C*jC

6、 0X1 l J Jta、C: I J关闭: 设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设| 后种植收入为2X0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收关闭i解答案10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题考点自测3. （2018广西柳州中学5月模拟，5）根据下图给出的2000年至2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）25-20-15单位：亿美元单仏1400K A130012001100关闭对于选项A.2000年以来我国实际利用外资规模，基本上是逐年上升的刑用外资规模与年份正相关，所以选项A是错

7、误的;对于选项B,2010年以来我 国实际利用外资规模,2012年比2011年少，所以选项B是错误的;对于选项C, 从折线图可以看出,2008年我国实际利用外资同比增速最大，所以选项C是C解答案考点自测4. （2018宁夏平罗中学5月模拟，3）某高校调查了320名学生每周的 自习时间（单位:小时），制成了下图所示的频率分布直方图,其中自 习时间的范围是175,30，样本数据分组为17.5,20,20,22.5,22.5,25,25,27.5,27.5,30.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（B ）A.68B.72C.76D.80解析:由频率分布直方图可得,32

8、0名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是320 X （0.02+0.07） X 2.5=72 人，故选B.考点自测5. （2018江苏,3）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如 图所示.那么这5位裁判打出的分数的平均数为908 9 99 0 11解析:由题中茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.考点1频率分布直方图及其应用（2018江西南昌模拟,19）我国是世界严重缺水的国家，城市缺 水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试 行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x（

9、吨）,用水量不超过X的部分按平价收费，超过X的部分按议价收费, 为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样,获得了 100位居民 某年的月用水量（单位:吨），将数据按照0,0.5）,0.5,1）,4,4.5）,分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图.考点1求直方图中a的值;(2)己知平价收费标准为4元/吨,议价收费标准为8元/吨,当x=3时, 估计该市居民的月平均水费(同一组中的数据用该组区间的中点 值代替)考点1解(1)由频率分布直方图，可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04) X 0.5二 1，解得a二0.30(2)设居民月用水量为t吨，相应

10、的水费为y元,则y=4t,0 t 3,即y=4匚0 t 3,由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费 数据分组与频率分布表如下：组号123456789分组0,2)2,4)4,6)6,8)8,10)10,12)12,16)16，20)20,24)频率0.040.080.150.200.260.150.060.040.0210.3用样本估计总体第十章关键能力学案突破必备知识预案自诊考点1根据题意，该市居民的月平均水费估计为1 X 0.04+3 X 0.08+5 X 0.15+7 X 0.20+9 X 0.26+11 X0.15+14X 0.06+ 18X 0.04+22 X 0.0

11、2=8.42 元.10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题考点1系.解题心得1 频率分布直方图的性质.小长方形的面积二组距 鹽=频率；组距(2) 各小长方形的面积之和等于1;(3) 小长方形的高二鬻，所有小长方形的高的和为缶.2要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关考点1对点训练1（1）（2018黑龙江大庆二模，11）下面是追踪调查200个某 种电子元件寿命（单位:h）的频率分布直方图如图.其中300400、400500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有 一个与原数据相符，这个说法是（B ）寿命在300400的频数是90; 寿命在400500的

12、矩形的面积是0.2; 用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为:150 X 0.1+250 X 0.15+350 X 0.45+450 X 0.15+550 X0.15; 寿命超过400 h的频率为0.3.A. B. C. D考点1（2）（2018四川成都石室中学二诊,从某小学随机抽取100名同 学，将他们的身高（单位:厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在120，130），130,140），140,150三组内的学生中，用 分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140,150内的 学生中选取的人数应为3.考点1解析:若正确，则300400对应的频率为0.45,则400

13、500对应的频率为0.15,则错误;电子元件的平均寿命为150 X 0.1+250 X 0.15+350 X 0.45+450 X 0.15+550 X 0.15,则正确;寿命超过400 h的频率为0.15+0.15二0.3,则正确，故不符合题意;若 正确，则300400对应的频率为0.4,则妙昔误;电子元件的平均寿 命为 150 X 0.1+250 X 0.15+350 X 0.4+450 X 0.2+550 X 0.15,则昔误; 寿命超过400 h的频率为0.2+0.15=0.35,则妙昔误，故符合题意.故选 B.(2)0.035+a+0.02+0.01 +0.005=0.1，解得a二0

14、.03.三组的比值为10.03 ; 0.02 ; 0.01=3 ;2 : 1，故140J50内取 18X 才3(人).10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题关键能力学案突破必备知识预案自诊考点2茎叶图的应用例2（1）（2018黑龙江模拟一，4）如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中彳立数、众数、A.323432B.334535C.344532D.333635极差分别是（B ）12 520 2 3 331 2 4 4 8 945 5 5 7考点2（2）（2018河北石家庄二模,9）某学校A、B两个班的数学兴趣小组 在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下,通过茎

15、叶图比较两个 班数学兴趣小组成绩的平均值及方差.4班班45 8351 3 64 262 4 56 8 8 4 673 3 4 02 8 6 5 183 25 291A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩； B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩； A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差; B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差. 其中正确结论的编号为（A ）C.D.关键能力学案突破必备知识预案自诊考点2解析：从茎叶图中知共有16个数据，按照从小到大排序后中间 的两个数据为32,34,所以这组数据的中位数为33;45出现的次数最 多，所以这组数据的众数为45;最大

16、值是47,最小值是12,故极差为35, 故选B.(2)A班平均值7&标准差11.03.B班平均值66,标准差13.24,故A班 平均值高，标准差小，故选A.10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题考点2思考如何制作茎叶图？使用茎叶图统计数据有什么优缺点?如何 用茎叶图估计样本数据特征？解题心得1一般制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字 作为“茎”，个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎，茎按从小到大 的顺序由上到下列出.2. 茎叶图的优缺点如下：(1) 优点:一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶 图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.(2

17、) 缺点:样本数据较多或数据位数较多时，不方便表示数据.3. 对于给定两组数据的茎叶图，可根据“重心”下移者平均数较大, 数据集中者方差较小来估计数字特征.考点2对点训练2（2018湖北5月冲刺，2）某学校在校艺术节活动中，有 24名学生参加了学校组织的唱歌比赛，他们比赛的成绩的茎叶图如 图所示，将他们的比赛成绩从低到高编号为124号,再用系统抽样 方法抽出6名同学周末到某音乐学院参观学习，则样本中比赛成绩 不超过85分的学生人数为（B ）80 0 1 2 2 3 4 7A.l B.2C.3 D.不确定（2）（2018安徽芜湖5月模拟，13）某校开展“爱我家乡鴻讲比赛

18、，9位 评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高 分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时，发现有一个 数字在茎叶图中无法看清，若记分员计算无误，则数字X二 .8 8 9 9923x21410.3用样本估计总体第十章关键能力学案突破必备知识预案自诊考点2解析：(1)因为比赛成绩不超过85分的学生人数有8人，所以样 本中比赛成绩不超过85分的学生人数为x6=2,故选B.(2)由题意知去掉一个最低分8&若最高分为94时，去掉最高分 94,余下的7个分数平均值是91,即孰89+89+92+93+90+X+91)二91， 解得x=l;若最高分为(90+x)分，去掉最高分90+

19、x,则余下的7个分数1平均值是产(89+89+92+93+91 +94)91，不满足题意故答案为110.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题8 8 59 1 5 4 2 0 3300123456兀（次）考押点2考点3样本的数字特征及其应用(1)(2018云南曲靖一中4月模拟,5)我校高三8个学生参加数学 竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（A ）A.91 9.5B.91 9C.92 8.5D.92 8(2)(2018贵州黔东南二模，3)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲、乙两组数据的平均数分别为壬甲、壬乙,

20、标准差分别为CF甲,CT乙，则(C )A.X,p 壬乙Q甲Ver乙 B壬叩 壬乙，O甲/乙C兀甲 X乙，(7甲VO乙兀乙甲7乙考点3解析：(1)由题意，根据茎叶图，1平均数壬=(2x80+6x90+8+5+1+5+4+2+0+3)=91，8方差 s2=i(88-91)2 + (85-91)2 + . + (93-91)2=討6=95,所 以选A.(2)由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考 试都远高于乙同学，可知壬甲元乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙 同学稳定，故o甲VCT乙故选C.考点3思考众数、中位数、平均数及方差的意义有什么不同？解题心得1众数、中位数、平均数及方差的意义

21、：(1) 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描 述；(2) 平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波 动大小.2. 平均数、方差的公式推广：(1) 若数据兀1也的平均数为元则ax+b,ax2+b,axs+b,-, axn+b的平均数是cix+b.(2) 若数据兀1,兀2,X的方差为$2,则 22二活(好+爲+好)滋；据 xi+b,X2+b,-,xn+b 的方差也为 52;据 ax,ax-.axn 的方差为 a2s2.考点3解析：(1) ： X1,X2?.?X2O21的平均数为3,方差为4,1 ：Y(Xl+X2+X2 021)=3，1 r 2 2 22 021 (

22、13) + (兀2-3) +.+(%2 0213) =4.又 yi=-2(Xi-2)=-2x汁4)=12 2 021,_ 1:歹=石云卜2(Xi+X2+X2 021)+4x2 021=22 02i(X1+X2+X2 021)+4=-2,S21 o 2 2=2 02+4+2)2+(-2兀2 +4 + 2) +.+(-2x2 021 +4 + 2)1 2 2 21=2 021 4(兀3)+4(兀2-3) + . + 4(%2 021-3)1 2 2 2-4x2 q2i (%!-3) + (x2-3) +.+(x2 021-3) =16,:新数据yi，y2,y2 02i的平均数和标准差分别为-2,4

23、,故选D.考点3(2)根据题意可得，从小到大的数字为-3,0,3,x,y,6,8,10, 且总体的中位数为4,则警=4,即x+y二& 所以数据的平均数为壬=-3+0+3+订y+6+8+10=4,O所以数据的方差为1s2(-3-4)2+(0-4)2+(3-4)2+(x-4)2+(y-4)2+(6-4)2+(8-4)2+(10-4)2 81 1-112+(x-4)2+(y-4)2-l 12+2(x-4)2,当x=4时，s?最小，此时y=4,所以2x-y=2x4-4=4要点归纳小结1 两个易误点频率(1) 易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为 丽(2) 在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据,董复出现

24、的数据要重 复记录，同时不要混淆茎叶图中“茎”与“叶”的含义2众数、中位数和平均数的异同众数中位数平均数相同点都是描述一组数据集中趋势的量不同点与这组数据中的 部分数据有关， 出现在这些数据 中不一定在这些数据中 出现，奇数个时,在这组 数据中出现;偶数个时， 为中间两数的平均值不一定在这 些数据中出 现3. 标准差和方差的异同相同点:标准差和方差描述了一组数据围绕 平均数波动的大小.不同点:方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差程 度，标准差则不然.4. 频率与频率比不要搞混直方图与条形图：(1) 条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少,其宽度(表示类 别)是固定的;直方图是用面

25、积表示各组频率的多少,矩形的高度表 示每一组的频率除以组距，宽度则表示各组的组距,因此其高度与 宽度均有意义.(2) 由于分组数据具有连续性,因此直方图的各矩形通常是连续排 列，而条形图则是分开排列.10.3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题数学核心素养例释数据分析数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据 中的有用信息进行分析和推断，并形成知识的过程主要包括:收集 数据，整理数据，提取信息，构建模型，对信息进行分析、推断,获得结 论.在数据分析核心素养的形成过程中，学生能够提升数据处理的能 力,增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题

26、的 习惯，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验.（2018全国1,文某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用 水量数据（单位口3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频 数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用 水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3, B0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用 水量0,0.1)0.1,0.2)020.3)030.4)0.4,0.5)0.5,0.6)频3用样本估计总体第十章必备知识预案自诊关键能力学案突破学科素养微专题-37-(1) 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:频率 组距匚.rr_ -d. -JL_ LI jiii11 1 111 1 1! = 1=TrLL11_J_JlllJ. .JL11 1 1 1 1tf 一厂11 11 1_ -7 r r I. _LI _1_|_JiiiJ. .JL11 1 111t* r11 1 1 1r r r I L 1 1_1_1iii11 1 111 1 1n 1 -r r iii3.43.23.02.8262A2.22.01.81.6L41