青岛版八年级数学上册轻松证全等专题突破讲练试题含答案

1、轻松证全等 一、全等变换 全等变换是进行全等三角形综合应用时要重点掌握的内容。 全等变换是指将一个图形通过平移、旋转、翻折等方法改变图形位置，但形状、大小均不改变。 平移：将图形平行移动到另一位置。 相关定理：平行线间的平行线段相等，平行线间的距离相等。 度。度或180旋转：图形绕某一点向某一方向旋转一定的角度。通常为60度或90 翻折：将图形沿某一条线折叠。 二、全等三角形常用的辅助线有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。倍长中线法通常是全等1. 变换中的旋转思想的应用。 常用以下形式作辅助线A BCDE AFCBDE 间接倍长作BE，连，DE=A延ADE，连，BEA

2、的延长线CFA于分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种： 2. （1）补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长AB，使BE=BD，连接DE，则AC=AB+BD。 （2）截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在AC上截取AE=AB，连接DE，则AC=AE+EC=AB+BD。 方法归纳： 1. 注意图形是如何变换后全等的，特别注意旋转与翻折的区别。 2. 应用辅助线解决问题时，注意重新绘制图形，不要在习题上直接作线，这样不方便后

3、面改动。 3. 认真读题目、分析已知是关键，注意题干中的条件变化，如中点是否始终在图形的变化中存在，直接影响到证明时是否使用中点这一条件。 技巧归纳： （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，证明两个三角形全等的条件比较充分。只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等。 （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件。解这类问题的基本思路是：逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案。 （

4、3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等。 （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 在近年中考中出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视。 总结：1. 充分理解全等变换的内容，理解图形变化前后的关系为全等。 2. 使用辅助线证明是解题的关键，需要通过不断的训练提高分析能力，掌握不同图形添加不同的辅助线作法。 ABCD，将一块足

5、够大的直角三角板的直角41 例题如图，有一块边长为的正方形塑料模板 FAAECFCBCDE的面积与。顶点落在延长线交于点点，两条直角边分别与则四边形交于点， 。是 D A F E C B AECF的面积等于原正方全等，所以四边形解析：根据全等三角形的判定可知ADF与ABE 形的面积。 答案：解：FAE=90，DAB=90，DAF=BAE?90ABE?ADF? AB?AD ，?BAE?DAF? ）ADFABE（ASAAECF 的面积，的面积正方形四边形ABCDABCD4 正方形边长为AECF16 四边形的面积 本题主要考查全等三角形的判定以及图形转化的应用。点拨： 的度数。，求EAFCD上的一点

6、，BE+DF=EF为ABCD中，EBC上的一点，F为正方形例题2 ADFBCE 解析：延长EB到G，使得BG=DF，易证ABGADF（SAS），可得AF=AG，进而求证AEGAEF，可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解题。 答案：解：延长EB到G，使得BG=DF， 在ABG和ADF中， AB?AD?ABG?ADF?90 由? ?DFBG?可得ABGADF（SAS）， BAG=DAF，AG=AF， 又EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE， 在AEG和AEF中， AE?AE?GE?FE ?AG?AF?AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90，E

7、AG+EAF=90， EAF=45。 故答案为：EAF=45。 点拨：本题是截长补短类证明的典型例题，考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键。 倍长中线证明全等 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。下面举例说明。 拓展 如图，在ABC中，AD为BC边上的中线。已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是_。 解析：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明ABD

8、和ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答。 答案：解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，则AE=2AD=24=8，AD是BC边上的中线，BD=CD， 在ABD和ECD中， BD?CD?ADB?ECD， ?AD?ED?ABDECD（SAS）， AB=EC， 又AC=5，AE=8 5+8=13，85=3， 3CE13， 即AB的取值范围是：3AB13。 故答案为：3AB13。 （答题时间：45分钟） 一、选择题 ABCADBCABACAD。 ）边上的中线。则2+ 1. 如图，在（中，为 A BCD D. 无法比较

9、B. A. 2 AD。 2. A 解析：OA=OA，AOB=AOB，OB=OB，OABOAB（SAS），所以理由是SAS。 3. D 解析：BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在BADABACBADCAEADAE，BADCAE（SAS，），BD=CE，本选项正确；和CAE中，BADCAE，ABD=ACE，ABD+DBC=45，ACE+DBC=45，DBC+DCB=DBC+ACE+ACB= 90，则BDCE，本选项正确；ABC为等腰直角三角形，ABC=ACB=45，ABD+DBC=45，ABD=ACE，ACE+DBC=45，本选项正确；综上，正确的个数为3个。

10、故选D 4. D 解析：解：当两个三角形都是锐角三角形时，如图1，AM，DN分别是ABC和DEF的高，且BC=EF，AM=DN， 图1 AMCDNFACDFAMDN ，AC=DF，和90，在RtAMCRtDNF中，AMCDNF（HL），MCA=NFD， 即这两个三角形的第三条边所对的角也相等；当两个三角形都是钝角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角也相等；当两个三角形都是直角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角相等且互补；当两个三角形一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形时，如图2，AM，DN分别是ABC和DEF的高，且BC=EF，AM=DN，AC=DF，易证得RtAMCRtDN

11、F，ACM=DFN， 而ACB+ACM=180，ACB+DFE =180，即这两个三角形的第三条边所对的角互补。所以如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角相等或互补。故选D。 图2 5. A 解析：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，BAE=CAG=90，ABAE CAEBAG ACBAE+BAC=CAG+BAC，即CAE=BAG，在ABG和AEC中，AG，ABGAEC（SAS），BG=CE，故正确；设BG、CE相交于点N，ABGAEC，ACE=AGB，NCF+NGF=ACF+AGF =90+90=180，CNG=360（

12、NCF+NGF+F）=360（180+90）=90，BGCE，故正确；过点E作EPHA的延长线于P，过点G作GQAM于Q， AHBC，ABH+BAH=90，BAE=90，EAP+BAH=18090=90，AHBPABHABH=EAP，EAM=ABC，故正确，在ABH和EAP中，90，EAPABAE，ABHEAP（AAS），EP=AH，同理可得GQ=AH，EP，=GQ，在EPM和GQMPMQGEMPGMQEPGQ，EPMGQM（AAS中，），EM=GM，AM90，是AEG的中线，故正确。综上所述，结论都正确。故选A。 6. 13 解析：四边形ABCD是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=

13、90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，FBA=EAD（等量代换）；BFa于点F，DEa于点E，AFBDEAFBAEADABDA，AFBDEA（AAS90，），RtDEA在RtAFB和中，AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。故答案为：13。 7. 、解析：BEC=ADC=90，BCE=CAD，ABE=BAD 正确；BCE+ECA=90，ECA+CAD=90，BCE=CAD，又E=ACB=90，AC=BC，CEBADC 正确；CE=AD，BE=CD，ADBE=DE 正确；而不能证明，故答案为、。故填、。 8. ?或? 解析：

14、根据SSS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的对应角相等可得出，故真命题是?；根据SAS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的对应边相等可得出，故真命题是?。故填?或?。 9. EF 解析：如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM，AD是ABC的中线，BD=CD，在ACDADDMADCMDBCDBD，ACDMBD（SAS），M=CAD，和MBD中，AC=BM，BE=AC，BM=BE，M=BEM，BEM=CAD，BEM=AEF（对顶角相等），AEF=CAD，AF=EF（等角对等边）。即与AF相等的线段是EF。 CDCFBCFCEBCESAS），= ，10. 证明：如图在（上截取

15、2=1。 ADBCADCBCD=180，+，又 DCECDE=90， +2+3=90，1+4=90， 3=4。 FDEADE中，3=4，DE=DE，FDE=ADE。在 与FDEADEASADFDA， ），=（CDDFCFCDADBC。= +=+，11. BE+CFFP=EF。 中，的中点，BD=CD，在BDE和CDPD是BCDP=DE，连接CP、FP，证明：延长ED至P，使CDCDPBDDPDEEDB，EF=FP，DE=DP，BDECDP（SAS，），BE=CP，DEDF， 。CP+CF=BE+CFFP=EF在CFP中，CBFDBGBGCBFBDG60，BF中，BCBD，）12. （1证明：在

16、CBF和DBGDHF=CBF=60，又CFB=DFH，CBFDBG，BCF=BDG，CF=DG；（2）解：，（SAS） FHG=180DHF=18060=120。，CH=AEH，使1）延长FC到AE+CF=EF1），（2）如图2，（1）中结论不成立。证明：（13. （CHBCHABCAB，连接BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90，在BCH和BAE中，AE，MBN=60CBH=ABE，ABC=120BCHBAE（SAS），BH=BE， ABE+CBF=12060=60，EBFHBFBHBE，HBC+CBF=60，HBF=60=MBN，在HBF和EBF中，BFBF）12）证明：（），HF=EF，HF=HC+CF=AE+CF，EF=AE+CF。（，HBFEBF（SAS，连接BQAQ=CFAE=EF+CF，证明：在