(word完整版)初二上动点问题

1、初二上动点问题 1.如图，已知 ABC中，/ B=90 o , AB=8cm, BC=6cm, P、0是厶ABC边上的两个动点， 其中点P从点A开始沿AtB方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿 43A 方向运动，且速度为每秒 2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒. (1) 出发2秒后，求线段PQ的长？ (2) 当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后， PQB是等腰三角形？ (3) 当点Q在边CA上运动时，求能使厶 BCQ成为等腰三角形的运动时间？ CC 2 .如图，在 AB中，已知 AB=AC / BAC=90, BC=10cm直线 CML BC,动点D从点 C开始沿射线.CB方向

2、以每秒3厘米的速度运动，动点 E也同时从点C开始在直线.CM上 以每秒2厘米的速度运动，连接 AD AE,设运动时间为t秒. (1) 求AB的长；(2)当t为多少时， ABD的面积为15cmT? 试卷第7页，总7页 3. ( 1)如图 1:在四边形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=120,/ B=Z ADC=90.E, F 分别是BC, CD上的点.且/ EAF=60探究图中线段 BE, EF, FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G .使 DG=BE .连结 AG ,先证明 ABEAD再证明 AEFAGF得出结论，他的结论应是 1 点，且/ EAF=丄/ BA

3、D上述结论是否仍然成立，并说明理由； 2 (3)如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30。的A处，舰 艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指 令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以 80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E, F处, 且两舰艇之间的夹角为 70,试求此时两舰艇之间的距离. 4. (12 分)在等腰 AB(中，AB=AC=2, / BAC=120 ,AD 丄 BCD,点 O 点 P分别在射 线AD BA上的运动，且保证/ OCP=60，连接 0P. (1

4、) 当点0运动到D点时，如图一，此时 AP= OPC是什么三角形。 (2) 当点0在射线AD其它地方运动时， OPC还满足(1)的结论吗？请用利用图二 说明理由。 (3) 令AO=x AP=y,请直接写出y关于x的函数表达式，以及 x的取值范围。 图一 5. 探究题 如图，点0是等边 ABC内一点，/ AOB= 1100, / 绕点 C按顺时钟方向旋转 60得厶ADC连接OD 求证： COD!等边三角形； 当a= 150时，试判断厶AOD勺形状，并说明理由; 探究：当仅为多少度时， AOD1等腰三角形？ 6. 如图，在 AB(中, Z ACB为锐角，点 D为BC边上一动点，连接 AD,以AD为

5、直角 边且在AD的上方作等腰直角三角形 ADF (1) 如图1,若AB=AC Z BAC=90，当点 D在线段BC上时(不与点 B重合)， 证明： ACFA ABD (2) 如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关 系和位置关系是什么，并说明理由； (3) 如图3,若AB AC, Z BAO90,Z BCA=45，点 D在线段BC上运动(不与点 B重合)，试探究CF与BD位置关系. 7. 在 ABC中，/ ACB=2/ B,如图，当/ C=90 AD为/ BAG的角平分线时，在 AB 上截取 AE=AC连接 DE易证 AB=AC+CD AB AC CD又有怎样

6、的 (1) 如图，当/ CM90, AD为/ BAC的角平分线时，线段 数量关系？请写出你的猜想并证明； (2) 如图，当ADABC的外角平分线时，线段 AB AC CD又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明. 8. 如图，在等边厶 AB中，线段 AM为BC边上的中线.动点 D在直线AM上时，以CD 为一边在CD的下方作等边 CDE连结 BE (1) 填空：/ CAM 度； (2) 若点D在线段AM上时，求证： ADQA BEC (3) 当动点D在直线AM上时，设直线 BE与直线AM的交点为0,试判断/ AOB是否为 定值？并说明理由. C 9. (1)如图(1)，已知：在

7、ABC中，/ BAC= 90 , AB二AC，直线m经过点 A, BD丄直线 m, CE丄直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:MBDACE DE二BD+CE (2)如图，将 中的条件改为：在 AABC中，AB=AC, D、A、E三点都在 直线m上,并且有/ BDA=Z AEC=Z BAC=,其中 为任意锐角或钝角.请问 结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立,请说明理由 （囹1） 10 .如图，等腰直角三角形 讥 的顶点二的坐标为1 , 的坐标为.，直 角顶点，：在第四象限，线段 AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90至 DE. （1） 直接写出点B、D、E

8、的坐标并求出直线 DE的解析式. （2）如图，点P以每秒1个单位的速度沿线段 AC从点A运动到点C的过程中，过 点P作与x轴平行的直线 PG,交直线DE于点G,求与ADPG的面积S与运动时间t 的函数关系式，并求出自变量t的取值范围. （3）如图，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段 AF 以每秒1个单位的速度运动到 F,再沿线段FE以每秒 2个单位的速度运动到 E后停 止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在， 请求 出点F的坐标；若不存在，请说明理由 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 参考答案 1. (1)2.,13

9、;(2) t=83 ; (3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， BCQ等腰三角形 【解析】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ用勾股定理求得PQ即可； (2) 设出发t秒后， PQB能形成等腰三角形，则 BP=BQ由BQ=2t, BP=8-t，列式求得t 即可； (3) 当点Q在CA上运动上，能使 BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： 当CQ=BQ寸(图1)则/ C=Z CBQ可证明/ A=Z ABQ贝U BQ=AQ贝U CQ=AQ从而求得t ; 当CQ=BC寸(图2)，贝U BC+CQ=12易求得t; 当BC=BC时(图3)，过B点作BEL AC于点E，则求得BE、

10、CE即可得出t. 解：(1)BQ=2X 2= 4cm， BP=ABAP=8 2X 仁6cm ， PQ= . BQ2 BP2. 42 6252 2、13 ； (2)BQ=2t，BP= 当CQ=BQ寸(图1)，则/ C=Z CBQ / ABC=90，/ CBQ：+ ABQ=90，/ A+Z C=90， /Z A=Z ABQ BQ=AQ CQ=AQ=5 BC+CQ=1,1 t=11 十 2=5.5 秒. 当CQ=BC寸(如图2)， 则 BC+CQ=1-2t=12 - 2=6 秒 当BC=BC时(如图3)，过B点作BE! AC于点E， 则BE= AB BC AC 6 8 10 24 所以 ce=bOb

11、E， 故 CQ=2CE=7.2 所以 BC+CQ=13.2 t=13.2 - 2=6.6 秒. 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， BCQ为等腰三角形. “点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角 ( c 1 If 01 形的 答案第14页，总13页 判定和性质，注意分类讨论思想的应用 2. ( 1) 5.2 ; (2) 2 或 8;( 3) 2 或 10. 【解析】试题分析：(1)运用勾股定理直接求出；(2 )首先求出ABD中BD边上的高，然 后根据面积公式列出方程， 求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；(3)假设ABD ACE 根据全等三角形的对应边相等得出BD=C

12、E分别用含t的代数式表示 CE和BD，得到关于t 的方程，从而求出t的值. 试题解析: (1) 在 AABC 中，AB=AC, Z BAC=90， 2AB2=BC2, AB=BC=5/2cm； (2)过A作AFL BC交BC于点F， BF D C 则 AF=1 BC=5cm, 2 SAABD=15cm2, / AF X BD=30二 BD=6cm. 若D在B点右侧，则 CD=4cm, t=2s；若D在B点左侧，则 CD=16cm, t=8s. (3) 动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方 向运动6秒时，ABDA ACE 理由如下：(说理过程简要说明即可)

13、当E在射线CM上时，D必在CB上，则需 BD=CE / CE=2t, BD=10- 3t 2t=10 - 3t t=2 证明：在 AABD 和 AACE中， AB AC / B ACE 45， BD CE ABDA ACE (SAS . 当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需 BD=CE / CE=2t, BD=3t - 10, 2t=3t - 10, t=10 证明：在 AABD 和 AACE中， AB AC ABD ACE 135 BD CE ABDA ace 点睛：本题是三角形综合题目， 考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以 及面积的计算；本题综合性强，有一

14、定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论 思想的运用 3 .问题背景：EF= BE+ DF; 探索延伸：EF= BE+ DF仍然成立，理由见解析； 实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里. 【解析】解：问题背景：EF= BE+ DF; 探索延伸：EF= BE+ DF仍然成立. 证明如下：如图，延长 FD到G，使DG= BE,连接AG， / B+/ ADC= 180 / ADC+/ ADG= 180B= Z ADG， 在 AABE 和 AADG 中，鮎二 AD，.A ABEA ADG ( SAS， AE= AG，Z BAE= Z DAG, vZ EAF= Z BAD, Z GAF=

15、Z DAG+ Z DAF= Z BAE+ Z DAF= Z BAD- Z EAF= Z EAF, .Z EAF= Z GAF, I AE=AG AF=AF， AEFA GAF ( SAS ,二 EF= FG, / FG= DG+ DF= BE+ DF, EF= BE+ DF; 实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C, / AOB= 30+ 90+( 90 70 = 140 / EOF= 70EAF= Z AOB， 又 OA= OB，Z OAC+Z OBC=( 90 30 + ( 70+ 50 = 180 符合探索延伸中的 条件， 结论 EF= AE+ BF成立，即 EF= 1.5

16、X(60 + 80)= 210 海里. 答：此时两舰艇之间的距离是210海里. 4. (1) 1,等边三角形；(2)理由见解析；(3)当0 x 2时，y=2-x ；当2 x 4时， y=x-2 【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到Z B=Z ACB=30，求得Z ACP=30，根 据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过C作CEL AP于E,根据等边三角形的性质得到 CD=CE根据全等三角形的性质得到OC=OP由等边三角形的判定即可得到结论；(3)分两 种情况解决，在AB上找到Q点使得AQ=O4则厶AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质 得到PA=BQ求得AC=AO+AP即可得到

17、结论. 试题解析： (1) AD=AP=1, / AB=AC=2 Z BAC=120 , Z B=Z ACB=30 , Z OCP=60 , Z ACP=30 , Z CAP=180 -Z BAC=60 , / ADL BC Z DAC=60 , PAC DAC 在厶ADC与厶APC中， AC AC , ACD ACF ACDA ACP CD=CP PCO是等边三角形； (2 ) OPC还满足(1)的结论， 理由：过C作CEL AP于E, Z CADZ EAC=60 , ADL CD CD=CE / DCE=60 , / OCEM PCE PEC ODC 在厶OCD与厶PCE中， OCD PC

18、E , CD CE OCD PCE OC=OP OPC是等边三角形； (3 )当 OXW2 时， 在AB上找到Q点使得AQ=OA则厶AOQ为等边三角形, 则/ BQOWPAO=120， 在ABQO和APAO中, PAO APO OP BQO ABO OB BQO PAO( AAS， PA=BQ / AB=BQ+AQ AC=AO+AP / AO=x AP=y, y= - x+2; 当2 x 4时，利用同样的方法可求得 y=x-2 点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 BQA PAO是解题的关键，解决本题时注意分类讨论，要做到不重不漏. 5 . (1)等边

19、三角形；(2)直角三角形；(3)当 的度数为1250或110o或140o时， AOD 是等腰三角形 【解析】(1 )根据旋转的性质可得出 OC=OD结合题意即可证得结论; (2) 结合(1)的结论可作出判断； (3) 找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答 (1) 证明：将 BOC绕点C按顺时针方向旋转 60得厶ADC COCD / OCD600 COD是等边三角形. (2) 解：当 =150时， AOD是直角三角形 理由是：/ BOQA ADC / ADC/ BOC150。 又 COD!等边三角形 / ODC600 来 / ADO/ ADC- / ODC90,即厶AO呢直角

20、三角形 (3) 解：要使 AGAD 需/ AOD/ ADO / AOD 360o 110o 60=190, / ADO60 190= 60 125 要使OAOD 需/ OAD/ ADO / OAD180 (/ AODZ ADO =180190 60 =50 60o=50o 110 要使 DODA需/ OAD/ AOD / AOD 360 110 60 190 180 60 / OAD 2 240 2 190 240 2 ，解得 140 综上所述：当的度数为125或110或140时， AO是等腰三角形 “点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质 与证明、直角

21、三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中 几何演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方 程思想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力 6 见解析 【解析】（1）根据同角的余角相等求出/ CAF/ BAD 然后利用“边角边”证明 ACF和厶ABD 全等 （2）先求出/ CAF/ BAD然后与的思路相同求解即可； （3）过点A作AEL AC交BC于 E，可得 ACE是等直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质 可得AC=AE / AED=45，再根据同角的余角相等求出/ CAF/ EAD然后利用“边角边” 证明 ACF和价 A

22、ED全等，根据全等三角形对应角相等可得/ ACF/ AED然后求出 / BCF=90，从而得到 CFLBD. 解：（1 ）T/BAC=90， ADF是等腰直角三角形， / CAF+/ CAD=90，/ BAD-/ ACD=90， AD=AF / CAF/ BAD 在厶ACF和厶ABD中， AB=AC / CAF2, AD=AF ACFAABD( SAS (2) CF丄 BD 如图2,v ADF是等腰直角三角形, AD=AF / CABd DAF=90 , / CABd CADd DAF+Z CAD 即/ CAFd BAD 在厶ACF和厶ABD中， AB=AC / CAFd BAD AD=AF

23、ACFA ABD( SAS , CF=BD Z ACFd B, / AB=AC Z BAC=90 , B=Z ACB=45 , Z BCFd ACFd ACB=45 +45 =90 , CF丄 BD (3) CF丄 BD / BCA=45 , ACE是等腰直角三角形， AC=AEZ AED=45 , / CAFd CAD=90 , Z EADd CAD=90 , d CAFd EAD 在厶ACF和厶AED中， AC=AE Z CAFd EAD AD=AF ACFA AED( SAS , Z ACFd AED=45 , Z BCFd ACFd BCA=45 +45 =90 , 等腰直角三角形的性

24、 此类题目的特点是 CF丄 BD “点睛”此题是三角形综合题， 主要考查了全等三角形的判定与性质, 质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键， 各小题求解思路一般都相同 7. （ 1）（2）见解析 【解析】（1）首先在AB上截取AE=AC连接DE易证 ADEA ADC（ SAS，则可得/ AEDM C, ED=CD 又由/ ACB=Z B,易证 DE=CD 则可求得 AB=AC+CD （2）首先在 BA的延长线上截取 AE=AC连接 ED,易证 EADA CAD可得 ED=CD / AEDM ACD 又由/ ACB=Z B,易证 DE=EB 则可求得 AC+AB=CD 解

25、：（1）猜想：AB=AC+CD 证明：如图，在 AB上截取AE=AC连接DE, AD为/ BAC的角平分线时, / BADd CAD / AD=AD ADEAADC( SAS , / AEDd C, ED=CD / ACB=d B, d AED=d B, d B=d EDB EB=ED EB=CD AB=AE+DE=AC+.CD (2)猜想：AB+AC=CD / AD平分/ FAC AE=AC 连接 ED. d EADd CAD 在厶 EAD与ACAD中，AE=AC / EADd CAD AD=AD EADA CAD ED=CD / AEDd ACD d FEDd ACB 又d ACB=d B

26、, d FEDd B+d EDB / EDBd B. EB=ED EA+AB=EB=ED=.CD -AC+AB=CD “点睛”此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理.此题难度适中, 解题的关键是注意数形结合思想的应用. 8. 30; 【解析】(1 )根据等边三角形的性质可以直接得出结论； (2) 根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC DC=EC/ ACBM DCE=60，由等式的性质 就可以/ BCEM ACD根据 SAS就可以得出厶ADQA BEC (3) 分情况讨论：当点 D在线段AM上时，如图1，由(2)可知 ACDA BCE就可以求 出结论；当点D在线段 AM的延

27、 长线上 时，如 图2，可 以得出 ACD BCE而有 / CBEM CAD=30而得出结论；当点D在线段 MA的延长线上时，如图 3，通过得出 ACD BCE同样可以得出结论. 解：(1 ) ABC是等边三角形， / BAC=60 . 线段AM为BC边上的中线 1 / CAM=1 / BAC 2 / CAM=30 . 故答案为：30; (2) ABC与厶DEC都是等边三角形 AC=BC CD=CE / ACBd DCE=60 / ACD# DCBM DCB# BCE / ACD# BCE 在厶 ADC和厶 BEC 中，AC=BC# ACD# BCE CD=CE， ACDA BCE( SAS

28、； (3) # AOB是定值，/ AOB=60， 理由如下： 当点D在线段AM上时，如图1， 由（2）可知 ACDA BCE 则# CBE# CAD=30， 又# ABC=60 # CBE# ABC=60 +30 =90 / ABC是等边三角形，线段 AM为BC边上的中线 11 AM平分/ BAC 即/ BAM= # BAC X 60 =30 22 # BOA=90 - 30 =60 当点D在线段AM的延长线上时，如图 2， ABC与厶DEC都是等边三角形 AC=BC CD=CE / ACBd DCE=60 / ACBy DCBM DCB# DCE / ACDM BCE 在厶 ACD 和厶 B

29、CE 中，AC=BC/ ACDM BCE CD=CE ACDA BCE( SAS / CBEd CAD=30 , 同理可得：/ BAM=30 , / BOA=90 - 30 =60. 当点D在线段MA的延长线上时，如图 3, / ABC与厶DEC都是等边三角形 AC=BC CD=CE / ACBd DCE=60 / ACD# ACEd BCEy ACE=60 / ACD# BCE 在厶 ACD 和厶 BCE 中，AC=BC# ACD# BCE CD=CE ACDA BCE( SAS # CBE# CAD 同理可得：# CAM=30 # CBE# CAD=150 # CBO=30，/ BAM=3

30、0， # BOA=90 - 30 =60. 综上，当动点 D在直线 AM上时，/ AOB是定值，/ AOB=60 . “点睛”边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用， 等式的性质的运用， 全等三角 形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键. 9. ( 1)证明见解析；(2)成立，理由见解析. 【解析】试题分析： (1)根据 BD丄直线 m，CE丄直线 m得/ BDA=/ CEA=90。，而 / BAC=90，根据等角的余角相等得/ CAE=Z ABD，然后根据“ AAS 可判断 ADBCEA， 则 AE=BD，AD =CE，于是 DE=AE+AD=BD+CE; (2 )禾U 用/ BDA=Z BAC=a ，贝DBA + Z BAD=Z BAD+Z CAE=180 - a，得出 / CAE=Z ABD，进而得出 AADB CEA即可得出答案. 试题解析：(1)v BD丄直线m，CE丄直线m， Z BDA=Z CEA=90， vZ BAC=90， Z BAD + Z CAE=90， vZ BAD + Z ABD=90， Z CAE=Z ABD， v 在 AADB 和 ACEA 中， ABD CAE BDA CEA， AB AC ADBBA CEA (AAS )， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE； (2)vZ BDA=Z BA