2022年温州中学自主招生数学试题

1、温州中学自主招生数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目规定的请将你觉得对的的答案填在答题卷的相应位置1.若1a3，则A2a4B42aC2Da2.方程的实数解的个数是A0个 B1个 C2个 D3个3.如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，OBC30，则下列各式成立的是A B C D4.已知且，那么，的大小关系是A BC D5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形做无滑动旋转，直至回到出发位置时，该圆自转了圈，则A2 B3

2、C4 D6.已知实数满足，则的值为A B C D7.如图，O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DEBC已知AE2 eq r(2)，AC3 eq r(2)，BC6，则O的半径是A3B4 C4 eq r(3) D2 eq r(3)8.在数学活动课上，小明做了一种梯形纸模板，测得其一底边长为40cm，高为8cm，两腰长分别为10cm和A404cm2 B365cm2 C284cm29.对于正整数n，符号n!123n，例如：3！1236，5！12345120，如果20！243290y7664x000，那么xyA1 B1 C2 D10.把数字1，2，3， ，9分别填入右图的9个圈

3、内，规定ABC和DEF的每条边上三个圈内数之和等于18，共有种不同填法，则A4 B5 C6 D二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分请将答案填在答题卷的相应位置11.已知，则 12.如图，等腰直角ABC的腰长为2将ABC绕C点逆时针旋转，则线段AB扫过的面积是 13.若x=（13）（132）（134）（138）（13256），则x3的个位数字是 14.定义一种新的运算“F”：当n为奇数时成果为3n5，当n为偶数时成果为（其中k是使为正奇数），反复运算。例如n26，FF26F13F4411第1次第2次第3次那么当n449时，第次“F”运算的成果是 15.已知有关x的两个一元二次方程：(a

4、1)x2(a22)x(a22a)0，(b1)x2(b22)x(b22b)0其二次项系数不相等且a，b均为正整数，若这两个方程有一种公共根，则ab 16.若两个正整数x，y相加时，得到的数是一种两位数，且个位、十位数字相似；相乘时，得到的数是一种三位数，且个位、十位、百位数字相似，则xy 温州中学自主招生数学试题答 题 卷选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分题号12345678910答案二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分11 ； 12 ； 13 ；14 ； 15 ； 16 ；三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节17.（本题满分10分）已知

5、有关的方程只有一种实数解，求实数的值。18.（本题满分14分）如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，通过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线（）求该抛物线的函数体现式；（）连结AC请问在轴上与否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，祈求出点Q的坐标；若不存在，请阐明理由19.（本题满分14分）把26个完全相似的玻璃球分别装在a、b、c、d、e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个。用一台电子称称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响如图，当、的状态时，警铃就响；的状态时，警铃不响。请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的

6、数量的所有组合，例如：（1、3、5、7、10），并阐明理由20.（本题满分16分）把6cm10cm的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，规定分割后的4个图形互为相似或全等请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割措施（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将21.（本题满分16分）如图，在中，AC=3，BC=4，延长BC至D使得BD=2BC，设P为线段AB上一动点(异于点A、B)，连结PD交直线AC于M点，过P、M、B三点做交直线AC于另一点N（）求证：BNPN；（）设的半径为R，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变。其中有且只有一种结论是对的的，请你判断哪一种结论对的，证明对的的结论并求

7、出其值温州中学自主招生数学试题答 题 卷选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分题号12345678910答案CBCDCDDBAC二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分11 1 ； 12 ； 13 3 ；14 8 ； 15 6 ； 16 55或77 ；三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节17.（本题满分10分）已知有关的方程只有一种实数解，求实数的值。解：题中方程可化为（1）当方程有两个相等的实数根时，由此得，此时方程有一种根，验证可知满足题意；（2）当方程有两个不相等的实数根时，由此得若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一种根

8、，验证可知满足题意； 若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一种根，验证可知满足题意； 综上，或或。18.（本题满分14分）如图，直线与轴，轴分别相交于点B、C，通过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线（）求该抛物线的函数体现式；（）连结AC请问在轴上与否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，祈求出点Q的坐标；若不存在，请阐明理由解：（）直线与轴相交于点B，当时，点B的坐标为 又抛物线过x轴上的A、B两点，且对称轴为，点A的坐标为 M过点C，易知C， M又抛物线过点， 解得 ；（）连结PB，由，得，设抛物线的对称轴交x轴于点M，在中

9、，由点，易得，在等腰直角三角形中，由勾股定理，得 假设在轴上存在点Q，使得以点P,B,Q为顶点的三角形与相似当，时，即，的坐标是 当，时，即，的坐标是 点Q不也许在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在点Q符合题意，Q的坐标为或19.（本题满分14分）把26个完全相似的玻璃球分别装在a、b、c、d、e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个。用一台电子称称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响如图，当、的状态时，警铃就响；的状态时，警铃不响。请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：（1、3、5、7、10），并阐明理由解：根据题意，a、b、c、d、e

10、袋中装的玻璃球的数量各不相似。a、b、c、d、e五个袋子里共装有26个玻璃球，这26个玻璃球的重量应是相似的，因此五个袋子的重量各不相似。用一台天平称重，当称到装有11个玻璃球的袋子时，超重警铃就会响，这一条件，应理解为天平称得的玻璃球个数是11或多于11个时，超重警铃就会响。从给出的条件可知：比较（2）、（3）、（4）式可知，ab，ad。由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得：由上面的三个式子可知，b、d两袋中球的数量是4或3或2或1个，但由于ab，ad，因此a袋中球的数量是2或1个，b、d两袋中的球只能是4或3或2个。进一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的数量只能是8或9

11、个。由此可列举出符合题意的数组，分别是：（1、2、3、9、11）、（1、2、4、9、10）、（1、3、4、8、10）、（2、3、4、8、9）。20.（本题满分16分）把6cm10cm的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，规定分割后的4个图形，它们互为相似或全等请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割措施（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将解：（画出其中任意4个即可） 21.（本题满分16分）如图，在中，AC=3，BC=4，延长BC至D使得BD=2BC，设P为线段AB上一动点(异于点A、B)，连结PD交直线AC于M点，过P、M、B三点做交直线AC于另一点N（）求证：BNPN；（）设的半径为R，给出下列两个结论：MN的长度不变；的值不变。其中有且只有一种结论是对的的，请你判断哪一种结论对的，证明对的的结论并求出其值（）证