专题57随机变量及其分布-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板Word版含解析

1、【高考地位】随机变量及其分布列是高考中的常考知识点，主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值、方差的概念，重点考查n次独立重复试验的模型及二项分布，往往涉及古典概型、二项式定理等内容，其难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖在高考中主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 离散型随机变量的分布列的求法使用情景：离散型随机变量的分布列的求法解题模板：第一步 明确随机变量可能取哪些值；第二步 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；第三步 按要求画出其分布列即可.例1在研究塞卡病毒（zika virus）某种疫苗的过程中，为了研

2、究小白鼠连续接种该种疫苗后出现症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期已知小白鼠接种后当天出现症状的概率为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关（1）若出现症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；（2）若在一个接种周期内出现2次货3次症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期，设接种试验持续的接种周期数为，求的分布列及数学期望【答案】（1）（2）【解析】试题解析：（）试验至多持续一个接种周期的概率 5分（）随机变量设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则所以的分布列为：12310分的数学期望.考点：互斥事件概率，概率分布

3、及数学期望第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布xb(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(e(x)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.【变式演练1】近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出

4、200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次（1）选完成关于商品和服务评价的列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量：求对商品和服务全为好评的次数的分布列；求的数学期望和方差附临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828的观测值：（其中）关于商品和服务评价的列联表：对服

5、务好评对服务不满意合计对商品好评80对商品不满意10合计200【答案】（1）能（2）见解析【解析】试题解析：解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关6分 的分布列为：0123由于，则12分考点：卡方公式，概率分布与数学期望【点评】(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的概率分布，正确运用均值、方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布

6、的均值与方差公式计算，则更为简单【变式演练2】中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响.（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？（2）求获胜场数的分布列和数学期望.【答案】（1）会入选最终的大名单；（2）【解析】试题分析： （1）记与，进行对抗赛获胜的事件分别为，至少获胜两场的事件为，则，由于事件，相互独立，所以，所以会入选最终的大名单.（2）获胜场数的可能取值为0,1,2,3，则， ，即

7、可列出获胜场数的分布列，进而求出结果.（2）获胜场数的可能取值为0,1,2,3，则，7分8分9分10分所以获胜场数的分布列为：11分数学期望为.12分考点：1.对立事件的概率；2.离散型分布列和期望.【变式演练3】某公司采用招考方式引进人才，规定必须在，三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试,否则不被录用, 已知考生在每测试个点测试结果互不影响, 若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点测试合格的概率分别为,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是.（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由;（2）假设小李选择测试点进行

8、测试，小王选择测试点进行测试,记为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）选择在测试点（2）【解析】试题分析：（1）问题实质就是求概率最大的两个测试点测试：分三种情况bc,bd,cd；由于各个事件相互独立，所以应用概率乘法公式求概率，因为在各测试点测试概率为，所以选择在测试点测试参加面试的可能性最大.（2）先确定随机变量取法：0,1,2,3,4，再分别求对应概率，列表得概率分布，最后根据数学期望公式求数学期望. （2）记小李在测试点测试合格记为事件,记小王在测试点测试合格记为事件,则.且的所有可能取值为0,1,2,3,4 所以;.考点：相互独立事件概

9、率，概率分布及数学期望.类型二 超几何分布问题的求解使用情景：超几何分布的实际应用解题模板：第一步 分析题意，写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否属于古典概型；第二步 运用古典概型的计算概率公式计算随机变量所有取值所对应的概率；第三步 画出随机变量的分布列并得出结论.例2. 道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20q80时，为酒后驾车；当q80时，为醉酒驾车某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车

10、的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：（）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；（）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义；（）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议【答案】（1），25%；（2）分布列详见解析，；（3）详见解析.考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列点

11、评：考查主要考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，由题意知检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，违法驾车发生的频率为，醉酒驾车占违法驾车总数的百分数为；第二问，由题意得到醉酒驾车的人数为随机变量，从违法驾车的8人中抽取2人，8人中最多有2人醉驾，得到可能取到的值有0，1，2，根据古典概型概率公式得到结果；第三问，被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故，由相互独立事件同时发生的概率和对

12、立事件的概率得到要求的概率.【变式演练4】某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在内，同时为了了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了名学生，这名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在内领队人数为人，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率得第一组的频率为，第一组的人数为，由总数等于频数除以频率得，先求第二组的频率为，再确定第二组人

13、数，因此（2）内人数为，再根据分层抽样得抽出人，体能成绩在抽出人，从而随机变量取法有，分别求出各自对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求数学期望,9分分布列为： 12分. 考点：频率分布直方图，概率分布与数学期望【变式演练5】某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示（1）请根据图中所给数据，求出a的值；（2）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用x表示所选学生成绩在60，70）内的人数，求x的分布列和数学期望【答案】（1）（2）123考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列及期望【变式演练

14、6】为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635（）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望【答案】（）；()的分布列为：012p. ()的所有可能取值为0，1，2. ，的分布列为：012p.考点：随机变量的概率、分布列、期望.类型三 二项分布问题的求解使用情景：二项分布的实际应用解题模板：第一步 首先写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否是独立重复试验；第二步 运用二项分布随机

15、变量所对应的各自的概率；第三步 画出分布列表即可得出结论.例3为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利x元，求x的分布列，并求出均值e（x）【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰

16、好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列点评：本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，属于中档题第一问，记“该产品不能销售”为事件a，然后利用对立事件的概率公式解之即可；第二问，由已知可知x的取值为320，200，80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可【变式演练7】甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目，共3关，甲作为嘉宾参与答题，若甲回答错误，乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助

17、机会，若乙回答正确，则甲继续闯关，若某一关通不过，则收获前面所有累积奖金约定每关通过得到奖金2000元，设甲每关通过的概率为，乙每关通过的概率为，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互独立（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】试题分析：（1）甲、乙获得元奖金的概率有两种情况：第一关甲答对，第二关甲、乙都答错；第一关甲答错，乙答对，第二关甲答错故其概率为：；（2）根据题意，利用相互独立事件概率计算公式和二项分布计算公式计算出分布列，并求出数学期望. ；8分10分随机变量的分布列为02

18、00040006000所以（元）（写成也对）12分考点：二项分布【变式演练8】质检部门从企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图4所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内的频率之比为：4：2：1（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）若将频率视概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】试题解析：（1）设区间内的频率为，则区间内的频率分别为和依题意得解得，所以区间内的频率为；（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取件，相当于进行了次独立重

19、复试验，所以的分布列为：01230.0640.2880.4320.216所以的数学期望为，考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量的期望与方差；（3）离散型随机变量及其分布列.【高考再现】1【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换

20、的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（i）求的分布列；（ii）若要求,确定的最小值；（iii）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？【答案】（i）见解析（ii）19（iii）【解析】试题分析：（i）先确定x的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（ii）通过频率大小进行比较；（iii）分别求出n=9,n=20的期望,根据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.所以的分布列为16171819202122（）由（）知,故的最小值

21、为19.（）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.2.【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数

22、012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（）0.55；（）；（）.【解析】 （）记续保人本年度的保费为，则的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求p(a)和p(ab)，再由p(b|a)，求p(b|a)；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事

23、件数n(a)，再在事件a发生的条件下求事件b包含的基本事件数n(ab)，得p(b|a).求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量x的意义，写出x可能取得的全部值；(2)求x的每个值的概率；(3)写出x的分布列；(4)由均值定义求出e(x)3. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两

24、轮活动，求：（i）“星队”至少猜对3个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为x的分布列和数学期望ex.【答案】（）（）分布列见解析，【解析】试题分析：（）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（）由题意，随机变量x的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到x的分布列，根据期望公式求解. ()由题意，随机变量x的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 , , , ,.可得随机变量x的分布列为x012346p所以数学期望.考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和

25、数学期望.【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.4. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（i）设a为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件a发生的概率；（ii）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝

26、对值，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（）（）详见解析【解析】试题分析：（）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：，最后根据概率公式求概率（）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望所以，随机变量分布列为随机变量的数学期望.考点：概率，概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服

27、从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解5. 【2016高考新课标2文数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234保费随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234频数605030302010（）记a为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（）记b为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160”.求的估计值；（iii）求续保人本年度的平均保费估计值.【答案】（）由求的估计值；（）由求的

28、估计值；（iii）根据平均值得计算公式求解.【解析】（）事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故p(b)的估计值为0.3.考点： 样本的频率、平均值的计算.【名师点睛】样本的数字特征常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题.6.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1

29、个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.()求当天小王的该银行卡被锁定的概率；()设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x，求x的分布列和数学期望【答案】()；()分布列见解析，期望为【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密码，共有种，而基本事件总数为，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时

30、矫正。7.【2015高考山东，理19】若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.（i）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（ii）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.【答案】（i）有：125，135，145，235，245，345；（ii）x的分布列为x0-11p【考点定位】1、新

31、定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.【名师点睛】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型. 8.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出

32、3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求x的分布列和均值（数学期望）.【答案】（）；（）.【解析】（）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件. 【考点定位】1.概率；2.随机变量的分布列与期望.【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查二项分布、超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型，运用相应的知识进行解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱，没有理解题中给定的实际意义.9.【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球

33、比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(i)设a为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件a发生的概率；(ii)设x为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量x的分布列和数学期望.【答案】(i) ; (ii) 随机变量的分布列为【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研

34、究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.10.【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。 （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此的可能值分别为，同样根

35、据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望考查学生的数据处理能力与运算求解能力【名师点晴】在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解. 11.【2015高考四川，理17】某市a

36、,b两所中学的学生组队参加辩论赛，a中学推荐3名男生，2名女生，b中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求a中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设x表示参赛的男生人数，求x得分布列和数学期望.【答案】（1）a中学至少1名学生入选的概率为.（2）x的分布列为：x的期望为.【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的

37、能力.【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题. 12.【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量w（单位：吨）是一个随

38、机变量，其分布列为w121518p0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量（）求的分布列和均值；（） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率【答案】（）的分布列为：816010200108000.30.50.2；（）0.973.【考点定位】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布.【名师点睛】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有

39、“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样【反馈练习】1【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】为弘扬民族古典文化，学校举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确给改选手记正10分，否则记负10分.根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”. （1）求且的概率；（2）记，求的分布列，并计算数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】故所求概率为.（2）由可知的取值为10，30，50. 可有，故的分布列为：10

40、3050考点：1.概率加法公式；2.数学期望.2【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】 (本小题满分12分)随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表男女总计读营养说明16824不读营养说明41216总计202040（）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？（）从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其均值（即数学期望）（注：，其中为样本容量）:【答案】(1)能（2）.【解析】的均值为12分考点：独立性

41、检验与离散型随机变量的概率分布列及数学期望.3【四川巴中市2017届“零诊”，18】(本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计. 按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50,60)，90,100的数据).（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者

42、活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80,90)的学生人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率=频数/样本容量，可得，再根据频率之和为1，可求的值；（2）首先确定的可能取值为1，2，3，基本事件的总数为，求出相应的概率列出分布列. 的分布列为123.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型及离散型随机变量分布列的求法.4【湖南永州市2017届高三第一次模拟，19】（本小题12分）2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运

43、会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下表：班号一班二班三班四班五班六班频数5911979满意人数478566（）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望【答案】（）；（）分布列见解析，.【解析】试题分析：（）在被抽取的人中，持满意态度的学生共人，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为；（）分别计算随机变量取为的概率，进而列出分布列.所以的分布列为：012310分所以的期望值为： 12分考点：离散性随机变量及其分布列5【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，18】（本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“