“圆锥的体积”教学研究报告

1、“圆锥的体积”教学研究报告一、问题在人教版小学数学教材中，圆锥的体积被编排在六年级 下册第三单元，紧接圆柱的认识这一知识内容。 对这一内容， 教材先提出“我们已经会计算圆柱的体积，如何计算圆锥的 体积”这个问题，通过两个孩子的对话引导学生建立圆柱与 圆锥的关系，并设计了“探究一下圆锥与圆柱体积之间的关 系”的实验。实验的具体操作流程是：各组准备好等底等高 的圆柱、圆锥形容器，用倒沙子或水的方法发现两者之间的 体积关系，得出圆锥的体积公式。诚然，教材这种“提出问题T建立关系T动手操作”的 整体设计是非常系统、完整的。但是仔细思考后我们不难发 现：教材对实验探究的开放性指导不够。要探求圆锥的体积，

2、圆柱有着非常明显的先入为主的味道，两者体积关系的建立、 实验器材的选用、实验的设计似乎都来源于教师（教材），缺少学生温故知新、甄别遴选的探索过程，到最后，学生不 仅对圆锥体积的认识缺乏深度，在探究能力与创新能力的培 养上，效果也是大打折扣。对于学生来说，无论是圆柱的被 选中还是实验器具的优化，以及倒水倒沙的实验方法，都需 要在对圆锥体积的探究过程中遇到问题而逐步产生。基于这 一认识和对学生认知规律的尊重，我们工作室对这一内容的 教学进行了研究，试图通过这一个课例研究“用操作获取结 论”的这一类课例，尽可能多地发挥这类教材所承载的教育 功能，以培养学生的理性精神。（一）教学实践中的问题（二）解决

3、问题的策略弗赖登塔尔说， “学习数学的唯一正确方法是实行再 创造”，也就是说由学生本人把要学的东西自己去发现或创 造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工 作。那么，教师如何引导学生通过自身的体验对“如果当时 的人们有幸具备了我们现在已掌握的知识，他们是怎样把那 些知识创造出来的”这一问题作出回答呢？1.设计具有挑战性的问题好问题能将学生的思维聚焦在探究方法的思考上，使学 生兴趣盎然地投入到学习活动中，以求在掌握基础知识的同 时，思考能力、主动获取知识的能力以及探索合作精神等都 得到较好的发展。在研究圆锥体积公式时，教师可以设计问 题：“今天我们要研究圆锥的体积，按照我们以前研究图

4、形 面积和体积的方法，你觉得应该怎样研究圆锥的体积呢？” 引发学生类比迁移。2.设计具有挑战性的活动教师通过问题激活学生关于转化的经验，采用“面对新 问题T联想旧知识T寻找新旧知识之间的联系T用旧知识解决新问题”的解决策略，学生亲历“选择关系T猜想关系 T验证关系T运用关系”的全过程，学会用联系的方法学习 数学。（1）选择关系。学生在已有的图形知识里搜索与圆锥 有关的立体图形时，会很自然地联想到圆柱， “都有圆形底 面”是产生联想的重要依据。这时，教师不要急于给出等底 等高的一组圆锥和圆柱作为实验器具，可设计一组与圆锥只 等底、或只等高、或等底又等高、或不等底又不等高的圆柱 供学生选择。这个选

5、择的过程既是思辨的过程，也是理性分 析的过程，有利于培养学生的几何直观能力。（ 2）猜想关系。猜想实际上是学生对圆柱和圆锥关系 的进一步思考。这种猜想源于学生的几何直观与自身经验， 有利于培养学生的空间想象能力。二、实践 基于“寻找关系，找准联系”的学习理念，我们给学生 提供了开放的问题情境，遵循学生学习的自然路径，引导学 生寻找解决问题的方法，经历公式产生的过程。教学过程：师：（出示一个圆锥）今天这节课，我们将研究圆锥的 体积。（板书课题）关于几何图形，我们研究过平面图形的 面积以及立体图形如长方体、正方体和圆柱的体积，回顾一下我们的研究方法，你觉得我们可以怎样研究圆锥的体积 呢？生 1 ：

6、一般会转化成我们熟悉的图形。师：有道理！之前我们学习的图形大多都是转化成熟悉 的图形进行推导的，那你们大胆地猜想一下，研究圆锥的体 积，可以转化成哪个立体图形呢？生 2 ：应该是圆柱。?：为什么不转化成长方体或正方体呢？生 2 ：圆锥和圆柱长得更像，底面都是圆形。师：（出示图片）这是我们要研究的圆锥，这些圆柱如 果要你来挑，你会挑哪一个圆柱来研究呢？先独立思考，然 后在小组内交流你的看法。生3 :我们觉得选号圆柱比较靠谱，这两个图形的底 面一样大。生4 :我们觉得选号圆柱也有道理，底面一样大，高 不同，说不定也有关系呢。生5:我们觉得选号圆柱也不错，圆柱的体积是底面 积乘高，要么底相同，看高的

7、变化与体积有没有关系；要么 高相同，看底面积的变化与体积有没有关系。生6 :可是号圆柱的底面没有数据，没办法研究啊。师:真好！还知道用控制一个量不变的方法来研究。可 惜，号圆柱的底面半径没有提供。那为什么大家不选号圆柱和号圆柱呢？生 7 ：与要研究的圆锥相比，它们的底不一样，高也不 一样，不太方便研究。师：你们思考问题越来越有数学家的范了，了不起啊！ 那么，你们选择的圆柱与圆锥的体积可能存在怎样的关系呢？ 凭直觉猜猜看。生8圆锥的体积可能是号圆柱体积的一半。师：为什么？你能说说理由吗？生8:我想把圆锥放到号圆柱里面去，圆锥的底面应 该恰好占满圆柱的底面，高与圆柱一样；如果把圆锥倒过来 再放进去

8、一次，结果是一样的，所以我猜想圆锥占圆柱体积 的一半。生9 :老师，我有不同意见，我认为圆锥体积不是号圆柱体积的一半，应该比一半小一些。师:噢？你是怎么想的呢？?:很遗憾， 老师只找到了这样一套实验器材， （展示模 型:等底等高的圆柱和圆锥）怎么办？生 14:先通过实验找出这两个物体之间的体积关系。 师:说说实验设想。生 14:既然是算体积之间的关系， 我们可以用盛水的方 法测量出这两个物体的容积关系。生 15:用圆柱形容器装满水，然后往圆锥形容器里倒，看看能倒满几次。师：分组实验试试看。 （生动手操作）生 16 ：真的能倒满 3 次，说明圆柱的体积是等底等高圆 锥体积的 3 倍。师：有没有人

9、先把圆锥装满水往圆柱里倒的呀？生 17 ：肯定要倒 3 次才能装满圆柱。 师：如果只倒 1 次呢？ 生动手操作，发现如果只倒 1 次，这时形成的圆柱其实 就是刚才的号圆柱。师：测量一下，这时圆柱的高度与圆锥的高度有什么关 系？生 18 ：圆锥的高度是圆柱高度的 3 倍。师：看来，这个号圆柱和圆锥的关系不一般。从这个实验中，你又获得了什么信息呢？ 设计意图综述：圆锥体积的计算公式简单明了，如何让 学生在获得这个公式的同时获得数学思想与方法，体会到数 学学习的乐趣呢？荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说： “没有 一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来。 一个问题被解决后，相应地发展为一种形式

10、化技巧，结果把 求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。 ”那 圆锥体积公式的推导过程设计成什么样子，才能让学生体验 到它被发现时的那个样子呢？1. 自主选择研究对象圆锥与哪个立体图形关系最紧密？教学中教师充分尊 重学生已有的知识经验，放手让学生于联系中寻找问题的切 入点。在这个过程中，学生不仅培养了空间观念，还积累了 遇到问题时主动把未知转化为已知的重要经验。事实上，数 学上很多重要的发现就是从这种主动建立关系开始的。2. 自主设计操作实验本节课的设计突出了学生学习的自主性。教学中，教师 没有直接给出实验操作需要的器材，而是让学生自主选择。 学生于思辨中逐步获得理性分析的经验，思维的

11、深刻性也因 此得到提升。3. 自主发现体积公式在学生看来，公式的得出是一件很高深的事情，是只有 数学家才能完成的重任。但在本节课中，教师大胆地鼓励学 生发明公式，并主动抛出几个形式不同的公式，要求把公式 这个“数”与圆锥这个“形”结合起来思考，培养学生的几 何直观和发散思维能力。学生对圆锥体积的认识也不再浮于 表面，更不是孤立的，而是动态的、立体的、有层次的，这 样获取的知识才有更好的再生性。三、讨论人教版数学教材体系中，以公式形式呈现结论的知识点 不多。在这为数不多的结论性知识的学习过程中，如何把结 论还原成它最初发现时的本来面貌，让学生亲历数学知识发 现的过程，体验数学思考、积极探究所获得的学习乐趣，并 为以后的学习积累活动经验，都是值得我们好好花功夫