6重在怎样教短除法

1、重在怎样教“短除法”深圳市南山区前海小学 刘畅518052约分和通分是小学分数的两个重要知识点。约分的关键是要找到分子和分母的最 大公因数，而通分的关键是要找到儿个分母的最小公倍数（为叙述方便，以下将 最大公因数和最小公倍数简称为“两最”）。课改后教材一般都只学习用列举法找“两最S而对用短除法找“两最”仅作简单介绍，不要求学生掌握。要不要教“短除法”一直是小学数学教师争论较多的问题之一，主要有两种观点。 赞成：学习列举法之后，还是要教短除法，这是数学知识的升华。列举法只适合 较小的数，速度太慢，且数字较大时不易找“两最S而短除法找“两最”速度 快，特别适合数字较大的数。列举法一次只能找到“两最

2、”中的一种，而短除法 一次能同时找到“两最”。反对：短除法不利于学生真正理解数学意义，是一种较模式化的方法。教给学生 后，学生只是生搬硬套的使用，并不理解。并且会产生依赖心理，对提高数感, 深层理解数学意义，锻炼思维能力不利。而列举法用途广，直接明了、易懂，不 易遗忘，特别适合思维能力弱的学生，有利于学生对“两最”意义的理解。不讲 短除法能节省学生大量时间和精力。短除法其实是一种很好的找“两最”的工具。反方的主要理山是：学生不易理解， 难教难学。笔者认为：短除法并不难学、难理解；重要的是如何教短除法，使学生易学.易 理解。不能将短除法与列举法对立起来，而应将两者统一：列举法的学习有利于 短除法

3、的理解。仔细研究列举法和短除法后，会发现列举法和短除法的特点分别是：1 列举法：因数层面，普选，局部思维，因数间有包含关系，建立在一个数写成 两个因数的乘积之上（有序找因数）；公倍数与公因数分离。例：24： 1, 24； 2, 12； 3, 8； 4, 630： 1, 30； 2, 15； 3, 10； 5, 6公因数：1, 2, 3, 6最大公因数：6这里公因数2、3与6之间有包含关系。24： 24, 48, 72, 96, 120,30： 30, 60, 90, 120,公倍数：120, 240, 最小公倍数:120 在找公倍数时没有用到公因数，公倍数与公因数是分离的.因此，列举法找“两

4、最”虽直观、易理解，但耗时长、效率低。2短除法：公因数层面，精选，整体思维，公因数间互斥（H互质，是说各公因 数对原数而言彼此独立，没有重叠），建立在一个数写成多个因数的乘积之上； 公倍数与公因数相关。（后面有说明）短除法的传统教法是：先教互质概念，再教质因数，分解质因数，才能作好教 短除法的准备。这个准备过程概念太多，时间太长，分析过细，使学生易产生畏 惧情绪。其实只要学习两个概念就能使学生理解短除法：公因数与互质。公因数学生在列 举法里就理解了，实际上只要补充一个互质概念就可以了。在学习列举法找最大公因数时，常会遇到两个数的最大公因数是1,这样的两数 就是互质数。学生在前面多处见过互质现象

5、，只是没有取名而已，所以互质概念 学生也很易理解。互质两数有三种可能：A、两数都是质数，如3和7； B、一个 质数，一个合数，如7和9； C、两个合数，如4和9。有了公因数和互质这两个概念，在学习短除法前，先学习短除法的过渡形式，它 是建立在将一个数写成多个因数的乘积基础之上的（不是分解质因数,学生有 期乘法经验，很易理解）。例：24 二 2X3X430=2X3X5显然，2和3是24和30的两个较小的公因数，且互不包含，相斥；而它们剩下 的两个因数4和5 （称为24和30各自独有的因数）互质。不难想到：24和30 的最大公因数是互斥的两个公因数2和3的乘积：2X3=6这里还要说明一个显而易见的

6、事实：两个非零数的乘积一定是它们的公倍.24 是 3） X5二（2X3）X4X （2X） X数。例：24X30二（2X34） X （2X3X52 的最大公因数和30和30的公倍数，但不是最小公倍数。因为在乘积里，24） X 3和和30的因数组成，2430的最小公倍数应是：（2X3乘了两次。根据243和 的最大公因数302X3与它们各自独有的因数4X4X5=120,也就是20与,一 举两得。的乘积。在这里，公倍数与公因数相关的方法可用一种简单的格式表示 30上面不同于列举法的找24和的“两最”22430出来：3121545最大：2X3二6最小：（2X3） X4X5=120这就是短除法。其中“最大

7、”是指最大公因数，“最小”是指最小公倍数；符号 _相当于仁短除法的思想就是：先找到两数的一个公因数，用两数分别除以公因数，得到两 数中间的商；再找两个中间商的一个公因数，用两个中间商分别除以这个公因数, 得到下一步的两个商；依此类推，直到最后两个商（实际是两数各自独有因数） 互质为止。将这样找到的左边的公因数（彼此不包含，互斥）全部相乘，乘积就是 所要找的两数的最大公因数；将左边全部公因数与最下面两个互质的独有因数相 乘，乘积就是两数的最小公倍数。可形象地记成：最大乘左边，最小乘半圈。山此可见，短除法只需要建立在互斥的公因数（只要按短除法这种方式去找公因 数，公因数一定是互斥的，不会包含）和互

8、质概念之上即可完成，并不需要再去 学习质因数、分解质因数这些概念。而且有前面过渡形式的铺垫，学生一般都能 理解。当要找三个数的“两最”时，需将互质概念稍加推广。例：15 = 3X520 =5X2X230 = 3X5X2从过渡形式不难看岀，3是15、20和30的一个公因数，但3不是13、20.30的一个公因数。先仿照两数短除法做三数短除法的第一步：和 5152030515332112030464221和6三数只有公因数1,即3、4和6互质。因此，商315、4、20和30三数的 最大公因数是5。但13、20和30三数最小公倍数是不是：5X3X4X6呢？从 15. 20和30的因数组成看，5X3X4

9、X6肯定是三数的公倍数，但不是三数的最 小公倍数。因为三个商3、4和6虽然互质，但它们中的两个数间并不互质，如 3和6, 4和6,还可以找两个数间的公因数如下：找到3和6的公因数3, 4照打找到4和2的公因数2, 1照写最后的三个商1、2和1不仅三个数互质（三个数只有公因数1）,而且其中每两 个数都互质。但一定要注意：左边三个公因数中，5是15、20和30三个数的公 因数，而3和2只是其中两个数的公因数。因此，公因数3和2没有资格参与 15、20和30三个数最大公因数的计算，只能参与三个数的最小公倍数的计算。 对照15、20和30三个数因数乘积的过渡形式，我们确信三个数的：最大：5最小:5X3

10、X2X1X2X1=60事实证明，在列举法的公因数和互质这两个概念之上，不用增加其它成本（传统 教法的质因数和分解质因数），完全可以教好找两个数或三个数“两最”的短除 法，学生也易懂易用。笔者和周圉同事的教学实践也证明短除法是可教可学的， 学生反馈的效果很好，使用率很高（尤其在大数时）。退一步讲：不能因为少数 人的不理解，而否定短除法比列举法的优越性，更不能因此而不让大多数能理解 短除法的同学去学习、运用它。实际使用时，绝大部分是要找两个数的最大公因数和最小公倍数，用短除法比用 列举法找要快，而且两数时的短除法也较易理解和掌握；少数要找三个数或以上 的一组数的最大公因数和最小公倍数时，用短除法比用列举法更是快多了，虽然