极限求法总结

1、极限的求法极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6. 利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限 312、利用中值定理求极限13、利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限 用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去

2、证明， 在这个过程中， 放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的。例：lim f x A的- 定义是指： 0， =( x0 ，)0，0|x- x0| x x0 |f(x)-A| 为了求 可先对 x0的邻域半径适当限制， 如然后适当放 大 f(x)-A (x) ( 必然保证 (x) 为无穷小 ) ，此时往往要用含绝对值的不x+a=|(x- x0)+( x0 +a)| |x- x0|+| x0 +a| | x0 +a|- 1 从(x) 2，求出 2后，取min(1，2)，当0|x- x0 | 时，就有 |f(x)-A| .极限的求法例：设 lnim xn a则有 lnim x1 x2n .xn a

3、.2证明：因为 lnim xn a ,对0， N1 N1( ) ,当 n N1 时，n N1 时，x1 x2 . xnna x1 x2 . xn na nn0A 其中 A x1 a x2 a xN1是一个定数 , 再由 A ，1 2 N1 n 2解得2An,故取 N max N1,12A 当n N时，x1 x2 . xnn2、直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例 1. 求 .分析 由于 ,所以采用直接代入法原式=3、利用函数的连续性求极限定理 2：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果 x0是函数 f(x) 的 定义区间内的一点，则有 lim f(x) f (x

4、0 )。x x0一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x) 是初等函数， x0是其定义域内一点，则求极限 lim f ( x)时，可把 x0代入 f (x)中计算出函数值，即x x0lim f (x)= f (x0 )。x x0极限的求法对于连续函数的复合函数有这样的定理：若 u (x) 在x0连续且 u0 (x0)，y f (u)在u0处连续，则复合函数 y f (x) 在x0处也连续，从而lim f x f xo 或 lim f x f lim x例：lim lnsin xx2解：复合函数 x= 在处是连续的，即有 lim lnsin x=lnsinln1 02 x 2 24、利用单

5、调有界原理求极限 这种方法是利用定理 : 单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。 例：求 lim a a . ann1解：令 xna a . a ，则 xn 1 a xn ， a a a ，即 xn 1 xn ，所以数列 xn 单调递增，由单调有界定理知， lnim a a . a 有限，并设为 A ，lim xn 1 lim a xn，nn即 A= A , a 1 A2 1a44所5、利用极限的四则运算性质求极限定理1 ：若极限 lim f(x)和lim g (x)都存在，则函数 f(x) g(x)， f(x) g(x)当 x x0x x0x x0 时也存在且 lim f (x)

6、 g(x) lim f (x) lim g(x)x x0x x0x x0 lim f(x) g(x) lim f (x) lim g(x) x x0x x0x x0又若 c 0，则f (x) 在 xx0时也存在，且有 lim f(x)g(x) 0 x x0 g(x)lim f (x)x x0lximx0 g(x)利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现 0 ， ， 等情况，都0 不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、 有理化的运算以及三角函数的有关公式。极限的求法总的说来，就是函数的和、

7、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、 商。例：求 lim( 3 3 3 = 3 x3 1 x1-x3 (2 x) 2 这样得到的新函数当 )x 1 1 x利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量， 有界变量乘无穷小是无 1 x解：由于当 x 1 时， 3 3 与 1 的极限都不存在，故不能利用“极限的和等1 x3 1 x 于和的极限”这一法则，先可进行化简(1 x)(2 x)2(1 x)(1 x x2)23 1 3 (1 x x(1 x x2)x 1 时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即lixm(131 x311xx1(2 x) 2 =1

8、(1 x x2)例2.lim例：4x-7x2 3x 2limx1lxim2(x 1) 1lim(x 1)x 2 3解：当时 x 1 ，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒2数的极限 lxim1 x 4x3-x7 2=0 ，故 lxim1 x2 4x3-x穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。 2例 5 求极限分析 因为 行恒等变形 .不存在 , 不能直接使用运算法则 , 故必须先将函数进解 原式 =( 恒等变形 )极限的求法因为 当时, 即 是当时的无穷小 , 而1, 即是有界函数 , 由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小 ,=0.,即 型未

9、定式7、无穷小量分出法求极限 适用于分子、分母同时趋于分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直 接应用法则 . 注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初 等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据 运算法则即可求出极限 .为什么所给函数中 , 当时，分子、分母同时趋于呢?以当说明：因为 , 但是 趋于 的 速度要比 趋于 的速度快，所以 . 不要认为 仍是 （ 因为 有正负之分 ）.原式（ 分子、分母同除 ）运算法则）当 时， 都趋于 . 无穷大的倒数是无穷小 . ）8、消去零因子法求极限极限的求法适用于分子、分母的极限同时为 0,即

10、型未定式 例 4 分析 所给两个函数中 , 分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四 , 故 采用消去零因子法 .原式=（ 因式分解 ）（ 约分消去零因子 ）（ 应用法则 ）9、利用拆项法技巧求极限lim n 例6：1(11.313.5(2n 1)(2n 1) 1( 1 1 )lim1 ) 12n (1 2n1 1) 12分析：由于 (2n 1)(2n 1) =2 (2n 1 2n 1lim1(11)(11)( 1原式 =lnim2(13)(35)(2n 12n 110、换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变 形，使之简化易求。x例: 求 lim x

11、 1x 1 xln x解：令 t xx 1 则 xln x ln(t 1)极限的求法xln(t 1) 1x 1 t lim lim x 1 xln x t 0 ln(t 1例 7 求极限分析 当时 , 分子、分母都趋于, 不能直接应用法则 , 注意到, 故可作变量替换 .解 原式 =（ 令, 引进新的变量 , 将原来的关于 的极限转化为 的极限 .）型 , 最高次幂在分母上 ）11、利用夹逼准则求极限 3 已知xn ,yn ,zn 为三个数列，且满足：（1） yn xn zn ,（n 1,2,3, ） ；（2） lim yn a， lim zn a 。 nn则极限 lim xn 一定存在，且极

12、限值也是 a ，即 lim xn a 。利用夹逼准则求极 nn限关键在于从 xn 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数 列使得 yn xn zn 。例： xnn2 n，求 xn 的极限解：因为 xn 单调递减，所以存在最大项和最小项xnxn11n2 1 n2 11nn2 1极限的求法又因为lnim n2n 1 lnim n2n n ，则lxim xn 1。12、利用中值定理求极限(1)微分中值定理 1 ：若函数 f(x) 满足在 a,b 连续， 在(a ，b)可导； 则在(a ，b)内至少存在一点 ，使得 f( ) f(b) f (a)。basin(sin x) sin x

13、例：求 lixm0x3解： sin(sin x) sin x (sin x x) cos (x sin x) x ， (0 1)lixm0sin(sin x) sin x3xlixm0(sin x x) cos (x sin x) xcosx 1 cos lixm0 3x3sin x lixm0 6x16(2) 积分中值定理 1 ：设函数 f x 在闭区间 a,b 上连续； 号且可积，则在 a,b 上至少有一点 使得bba f x .g x f . a g x dx, ab例：求 lim 4 sin n xdx解： lim 04 sin n xdxn0g x 在 a,b 上不变极限的求法lin

14、m sinxn n( 0)(04)n 4linm (sin )4n=013、利用罗必塔法则求极限定理4:假设当自变量 x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f(x)和g(x)满足：(1) f (x) 和 g(x) 的极限都是 0或都是无穷大；(2) f (x) 和 g(x) 都可导，且 g(x)的导数不为 0；f (x)3)lim gf (xx) 存在(或是无穷大)；则极限 lim f (x) 也一定存在，且等于 lim f (x) ，即 lim f (x) =lim f (x) 。 g(x) g (x) g(x) g (x) 洛必达法则只能对 0 或 型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两

15、种类 0型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 lim f x 等于 A 时，那 g(x)解：么 lim f x 也存在且等于 A. 如果 lim f x 不存在时，并不能断定 lim f x 也不 g(x)g(x)g(x)存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论lim f x 。 g(x)例：求 lxim0ln sinmx ln sinnx由 lxim0 ln sin mx lxim0 ln sinnx所以上述极限是 待定型ln sin mxm cosmx sinnx m sinnxlim lim lim 1 x 0 ln sin nx x 0 n cosnx sinmx

16、 n x 0sin mx14、利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x) 。把所求极限的 和式表示成 f (x) 在某区间 a,b 上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限5极限的求法1 n n n 例：求linm nn1 1 2 (nn1)2n n2n12 n2 n22n2 (nn 1)2 解：由于 n1 n2n12 n2 n22 n2 (nn 1)21 1 12 1 2 n 1 2 1 ()21 ()2nn= 1n1 (1n1)2n区间为 0,1 ，上述和式恰好是 f(x) 1 1x21 可取函数 f (x) 1 21 x2在 0,1 上 n 等分的积分和所以linm n n2 12nnn2 22n2 (n 1)2 11lnim n1 (1 1)2 n12 1 21 ( )2n1 1 1 2dx01 x2415、利用泰勒展开式求极限泰勒展开式 6 ：若 f x 在 x=0 点有直到n+1 阶连续导数，那么f(x) f(0) f (0)x f 2(!0) x2!f (n) (0)n!Rn(x)其中(n 1)(n 1)( )xn 1Rn(x) (n 1)!其中 0 )例：x22cosx e 2 lim4x 0x4解：泰勒展开式4x x 4 cosx 1 (x ) ，2! 4!x2e 2 1 (22x1x