27.由三角函数的零点或极值点构成的数列试题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明由三角函数的零点或极值点构成的数列试题由三角函数的零点或极值点构成的数列试题类型 三角函数与数列的一个独具特色的结合点是以三角函数的零点或极值点构成数列,该类数列试题加密了三角函数与数列的结合,拓展了高考命题范围,具有探究的必要性和紧迫性.母题结构:探究由三角函数的零点或极值点构成的数列试题类型和基本问题.母题解析:由三角函数的零点或极值点构成的数列试题类型有:三角函数的零点、三角函数的极值(点)、三角函数的极大(小)值(点)构成数列;基本问题是研究该类数列的性质. 1.零点构成 子题类型:

2、(2014年湖南高考试题)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x0).()求f(x)的单调区间;()记xi为f(x)的从小到大的第i(in*)个零点,证明:对一切in*,有+0(x)0;当x(2k+,2k+2)时,sinx0;故f(x)的单调递减区间为(2k,2k+)(kn*),单调递增区间为(2k+,2k+2)(kn*);()由f()=0x1=;又由f(x)的单调区间为(n-1),n)(nn*),且f(n-1)f(n)0(n-1)xnn(n2)当n2时,当n3时,=(-);当n=1时,=;当n=2时,+;当n3时,+4+1+(1-)+(-)+(-)=(6-)0,函数f(x)=eaxs

3、inx(x0,+),记xn为f(x)的从小到大的第n(nn*)个极值点.证明:()数列f(xn)是等比数列; ()若a,则对一切nn*,xn|f(xn)|恒成立.解析:()由(x)=aeaxsinx+eaxcosx=eax(asinx+cosx)=aeaxcosx(tanx+),令(x)=0tanx+=0tanx=-第n个正根xn满足:(n-1)+xnn,即xn=n-,其中,tan=,00,且ce时,excx;又xnxnexne(axn)ea.点评:由三角函数的极值(点)构成的数列可分为极值点和极值构成的数列两类,对此类问题关键是说明导函数的零点是否都是函数的极值点. 3.极大(小)值(点)构

4、成 子题类型:(2012年安徽高考试题)设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn.()求数列xn; ()设xn的前n项和为sn,求sinsn.解析:()由f(x)=+sinx(x)=+cosx,令(x)=0cosx=-x=2n;又因f(x)的极小值点y=cosx单调递增部分与y=-的交点x=2n-xn=2n-(nn+);()由xn=2n-sn=n(n+1)-,注意到:n(n+1)为偶数sinsn=sinn(n+1)-=-sin;当n=3k-2(kn+)时,sinsn=-;当n=3k-1(kn+)时,sinsn=;当n=3k-2(kn+)时,sinsn=0.点评:对三

5、角函数的极大(小)值(点)构成的数列问题关键是区分导函数的零点中,哪些是极大值点,哪些是极小值点. 4.子题系列:1.(2004年全国高考试题)己知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足(x)=0的所有正数x从小到大排成数列xn.()证明:数列f(xn)为等比数列; ()记sn是数列xnf(xn)的前n项和,求.2.(2015年湖南高考文科试题)已知a0,函数f(x)=aexcosx(x0,+).记xe为f(x)的从小到大的第n(nn*)个极值点.()证明:数列f(xn)是等比数列; ()若对一切nn*,xn|f(xn)|恒成立,求a的取值范围.3.(2005年天津高考试题)设函数

6、f(x)=xsinx(xr).()证明:f(x+2k)-f(x)=2ksinx,其中k为整数;()设x0为f(x)的一个极值点,证明:f(x0)2=;()设f(x)在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,an,证明:an+1-ang(x1)g(xn)的最小值=g(x1)=eeaea的取值范围是e,+).3.解:()f(x+2k)-f(x)=(x+2k)sin(x+2k)-xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx;()由(x0)=0sinx0+x0cosx0=0tanx0=-x0,所以,f(x0)2=x02sin2x0=x02=;()由x00,且x0=-tanx0存在非负整数k,使x0(k+,k+),(x)在x0左右两边的符号总相反每个x0都是f(x)的极值点an(n+,n+)an+1(