字相乘法进行因式分解讲解与练习试题

1、十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 ( 1)理解二次三项式的意义； ( 2)理解十字相乘法的根据； ( 3)能用十字相乘法分解二次三项式； ( 4)重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1 的二次三项式的十字相乘法 【重点难点解析】 1二次三项式 22 多项式ax bx c，称为字母x的二次三项式，其中 ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项.例 如，x 2x 3和x 5x 6都是关于x的二次三项式. 在多项式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常数，就是关于 x的二次三项式；如果把 x看作常数，就是 关于 y 的二次三项式. 在多项式2a2b2 7ab 3中，把ab看作一个整体，即

2、2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab的二次三项式.同 样，多项式(x y)27(x y) 12，把x+ y看作一个整体，就是关于 x+y的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法. 2.十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+ b)(cx+ d)竖式乘法法则.它的一般规律是： (1) 对于二次项系数为 1的二次三项式x2 px q，如果能把常数项 q分解成两个因数 a, b的积，并且 a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)(x b) 分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”公式中的x可以表

3、示单项式，也可以表示多项 式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为 负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (2) 对于二次项系数不是 1的二次三项式ax2 bx c(a, b, c都是整数且0)来说，如果存在四个整数 那么 ax2 bx c a1a2x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2 )它的特征是 “拆两头， 凑中间”， 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的 办法来确定学习时要注意符号的规律为

4、了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时， 先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号 与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大 的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真 地 验证交 叉相 乘的两 个积 的和是 否等 于一次 项系 数； 二 是由 十字相 乘写 出的因 式漏 写字母 如 ： 22 5x2 6xy 8y 2 (x 2)(5x 4) 3因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤： 先考虑能否提公因式， 再

5、考虑能否运用公式或十字相乘法， 最后考虑分组 分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下： “首 先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式” 【典型热点考题】 例 1 把下列各式分解因式： 2 2 2 (1) x2 2x 15；(2) x2 5xy 6y2 点悟：(1 )常数项15可分为3 X ( 5)，且3 + (-5) =- 2恰为一次项系数； (2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(2y)( 3y),而(2y) + ( 3y) = ( 5y) 恰为一次项系数 解：( 1

6、) x2 2x 15 (x 3)(x 5) ； ( 2) x2 5xy 6y2 (x 2y)(x 3y) 例 2 把下列各式分解因式： ( 1) 2x2 5x 3；( 2) 3x2 8x 3 点悟：我们要把多项式ax2bx c分解成形如(a%GXax?c2)的形式，这里aa2a ,c1c2c而 a1c2 a2c1 b 解：( 1) 2x2 5x 3 (2x 1)(x 3) ； (2)3x2 8x 3 (3x 1)( x 3) 点拨：二次项系数不等于 1 的二次三项式应用十字相乘法分解时， 二次项系数的分解和常数项的分解随机性 较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积

7、累经验，才能提高速度和准确性 例3 把下列各式分解因式： (1) x4 10 x2 9； (2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y) ； (3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 点悟： (1)把 x2 看作一整体，从而转化为关于 x 2的二次三项式； (2) 提取公因式 (x+ y)后，原式可转化为关于 (x+ y)的二次三项式 (3) 22 以 (a2 8a) 为整体，转化为关于 (a2 8a) 的二次三项式 解：(1) x4 10 x2 9 (x2 1)(x2 9) =(x+ 1)(x 1)(x+ 3)(x 3). 2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)

8、 (x 2 y)7(x y)2 5(x y) 2 =(x+ y)(x+ y) 17(x+ y)+ 2 =(x+ y)(x+ y 1)(7x+ 7y+ 2). ( 3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120 22 (a2 8a 12)(a2 8a 10) (a 2)(a 6)(a2 8a 10) 点拨： 要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构 成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再 分解为止 例 4 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 点悟：把x2 2x看作一

9、个变量，利用换元法解之. 解：设x2 2x y，贝U 原式=(y 3)(y 24)+ 90 2 y 27y 162 =(y i8)(y 9) (x2 2x 18)( x2 2x 9). 点拨：本题中将x2 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外， 2 y 27y 162 (y 18)(y 9) 一步，我们用了 “十字相乘法”进行分解. 例5分解因式6x4 5x3 38x2 5x 6. 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之. 解：原式 6(x 占)5(x丄)38 xx 21 21 x26(x-)25(x -)50, xx 1 令x y，则 x 原式 x2(6y2 5

10、y 50) x2(2y5)(3y10) 223 x (2x-5)(3x- 10) xx 2 2 (2x 5x 2)(3x10 x 3) (x 2)(2x 1)(x 3)(3x 1) 但是, 点拨：本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花了乱. 品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节. 例6分解因式x2 2xy y2 5x 5y 6. 点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x y)的二次三项式. 方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于 x 的二次三项式 解法 1： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6

11、(x2 2xy 2 y )( 5x 5y) (x y)2 5(x y) 6 (x y 1) (x y 6) . 解法 2： 2 x 2xy 2 y 5x 5y 6 2 x (2y 5)x 2 y 5y 6 2 x (2y 5)x (y 6)( y 1) x (y 6) x( y 1) =(x y 6)(X y+ 1). 例 7 分解因式： ca(ca) bc(bc)ab(ab) 点悟： 先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组. 解： ca(c a)bc(b c)ab(a b) 2 ac 2 ac b2c bc2 ab(a b) 2 c (a b) c(a2 b2) ab(a b) c2

12、(a b) c(a b)(a b) ab(a b) (a b)c2 c(a b) ab =(a b)(c a)(c b). 点拨： 因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组.此 题展开四项后，根据字母 c 的次数分组，出现了含 a b 的因式，从而能提公因式.随后又出现了关于c 的 二次三项式能再次分解. 4 2 2 例8 已知x 6x x 12有一个因式是x ax 4，求a值和这个多项式的其他因式. 点悟：因为 x4 6x2 x 12是四次多项式， 有一个因式是 x2 ax 4，根据多项式的乘法原则可知道另 个因式是x2 bx 3(a、b是待定常数

13、)，故有x4 6x2 x 12 (x2 ax 4) (x2 bx 3) 根据此 恒等关系式，可求出 a, b的值. 解：设另一个多项式为x2 bx 3，则 x4 6x2 x 12 2 2 (x ax 4)(x bx 3) 43 x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12 , 4243 x 6x x 12与x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12是同一个多项式，所以其对应项 系数分别相等即有 口Q 3 十 4 十 ob = 6, 3a+4i = l. 由、解得，a = 1, b = 1, 代入，等式成立. a= 1 ,另一个因式为x2 x 3. 点拨：这种方

14、法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方 法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视. 【易错例题分析】 例 9 分解因式：5a2b2 23aby 10 y2 . 错解：/10= 5X ( 2), 5 = 1X 5, 5X 5 + 1 X ( 2) = 23, 原式=(5ab+ 5y)( 2ab + 5y). 警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤. 正解：/5 = 1X 5, 10= 5X ( 2), $乂g 5 X 5+ 1X ( 2)= 23. 原式=(ab+ 5y)(5ab 2y). 【同步练习】 、选择题 1.如果x2 px q (

15、x a)(x b)，那么p等于 () A. ab B. a+ b C. ab D. (a + b) 2 2.如果x (a b) x 5b 2 x x 30 ,贝U b为 () A. 5 B. 6 C. 5 D. 6 2 3.多项式x 3x a可分解为(x5)(x b),贝V a, b的值分别为 () A. 10 和2 B. 10 和 2 C. 10 和 2 D. 10 和2 4.不能用十字相乘法分解的是 () 2小 A. x x 2 2 2 B. 3x 10 x 3x 2 C. 4x x 2 D. 5x2 6xy 8y2 5 分解结果等于(x+ y 4)(2x+ 2y 5)的多项式是() A.

16、 2(x y)2 13(x y) 20 B. (2x 2y)2 13(x y) 20 C. 2(x y)2 13(x y) 20 D. 2(x y)2 9(x y) 20 6.将下述多项式分解后，有相同因式 x 1的多项式有 () x27 x 6 ； 3x2 2x 1 ； 2 x 5x 6 ； 4x2 5x 9 ； 2 15x 23x 8; 42 x 11x12 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 7 X2 3x 10 2 8. m 5m 6 (m + a)(m + b). a =, b =. 2 9. 2x 5x 3 (x 3)(). 2 2 10. x 2y (x

17、y)(). 2 n2 11. aa (_) ( ). m 13 若 x y= 6, xy 17，则代数式 x3y 2x 36 y2 xy3的值为 三、解答题 (1) 4 x 7x2 6 - 4 (2) x (3) 4x4 65x 2 2 . y 1 6y4 ； 6 (4) a (5) 6a4 5a3 4a2 ； (6) 4a6 15. 把下列 各式分 解因式 (1) (x2 3)2 4x2 ； (2) x 2(x 2)2 9 ; (3) (3x2 2x 1)2 (2x2 3x 3)2 ; (4) (x2 x)2 17(x2 x) 60 - (5) (x2 2x)2 7(x2 ；2x) 8 ;

18、(6) (2a b)2 14(2a b) 48. 16. 把下列 各式分 解因式 (1) (a b)x2 2 ax a b ； (2) 2 x (p2 q2)x pq(p q）（ (p q); (3) x2 2xy 3y2 2x 10y 1 8 - (4) 4x2 4xy 3y2 4x 1 l0y 3; (5) (x2 3x 2)(x2 7x 1 12) 120 ； (6) (x2 xy 2 2 y )(x xy 2y2 )12y4. 17. 已知2x37 ，x2 1 9x 60 i有因 式 2x 5, 把它分解因式 18. 已知x+ y= 2, xy= a+ 4, x3 y3 26, 求a的

19、值. 14 .把下列各式分解因式: 参考答案 3 36 7a b 8b ； 5x2 36 ； 37a4b2 9a2b4. 【同步练习】 1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. 7. (x+ 5)(x 2)8. 1 或一6, - 6 或 1 9. 2x+ 1 nn 10. xy, x+ 2y 11. 牙,a,_ 4m2m 12 . - 2, 3x+ 1 或 x+ 213 . 17 2 2 14. (1)原式(x 1)(x6) (x 1)(x 1)(x2 6) (2) 原式 (x2 9)(x2 4) (x 3)( x 3)(x2 4) (3) 原式 (4x2 y2)(x2 16y

20、2) (2x y)(2x y) (x 4y)(x 4y) (4) 原式 3 (a 8b3)(a3 b3) (a 2b)(a2 2ab 4b2 )(a b)(a2 ab b2) (5) 原式 a2 (6a2 5a 4) 2 a (2a 1)(3a 4) (6) 原式 a2 (4a437a 2b2 9b4) a2(4a2 b2)(a2 9b2) a2(2a b)(2a b)(a 3b)(a 3b) 2 2 15. (1)原式(x 3 2x)(x 3 2x) (x 3)( x 1)( x 3)( x 1) (2) 原式 x(x 2) 3 x(x 2) 3 (x2 2x 3)(x2 2x 3) (x 3)( x 1)(x2 2x 3) (3) 原式 (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (3x2 2x 1 2x2 3x 3) (5x2 5x 4)( x 2)(： x 1) (4) 原式 (x2 x 1 2)(x2 x 5) (x 4)(x 3)( x2 x 5) 5) 原式 (x2 2x 8)( x2 2x 1) 2 (x 2)( x 4)(x 1)2 ( 6)原式 (2a b 6)(2a b