(word完整版)中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等),推荐文档

1、 中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形定圆到定圆 ：圆圆之间，连心线截距最短（长）。举例证明： 定点到定圆 ：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知 o 半径为 r， ao=d ，p 是o 上一点，求 ap 的最大值和最小值。证明：由“两点之间，线段最短”得 ap ao+po ，ao ap+po ，得 d-r apd+r ，ap 最小时点 p 在 b 处，最大时点 p 在 c 处。即过圆心和定点的直线截得的线段 ab 、ac 分别最小、最大值。 (可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关

2、问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（ 1）直接包含基本图形；（ 2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。例 1.在 o 中，圆的半径为 6， b=30 ， ac 是o 的切线，则 cd 的最小简析：由 b=30 知弧 ad 一定，所以 d 是定点， c 是直线 ac 上的动点，即为求定点 d 到定线 ac 的最短路径，求得当 cd ac 时最短为 3。（二）动点路径待

3、确定例 2. ，如图，在 abc 中， acb=90 ， ab=5 ，bc=3 ，p 是 ab 边上的动点（不与点 b 重合），将 bcp 沿 cp 所在的直线翻折， 得到 bcp，连接 ba，则 ba 长度的最小值是简析： a 是定点， b是动点，但题中未明确告知 b点的运动路径，所以需先确定 b点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中 b 的路径是以 c 为圆心， bc 为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为ac-bc=1 。 例 3.在 abc 中， ab=ac=5 ， cos abc=3/5 ，将 abc 绕点 c 顺时针旋转，得到 abc ，点 e 是 bc 上的中点

4、，点 f 为线段 ab 上的动点，在 abc绕点 c 顺时针旋转过程中，点 f 的对应点是 f ，求线段 ef 长度的最大值与最小值的差。简析： e 是定点， f是动点，要确定 f点的运动路径。先确定线段 ab 的运动轨迹是圆环，外圆半径为 bc ，内圆半径为 ab 边上的高， f是 ab 上e 到圆e 到圆环的最短距离为 ef =cf -ce=4.8-3=1.8 ，e 到圆环的最长距离为2线段变换的方法：（ 1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例 4. 如图， aob=30 ，点 m、n 分别是射线 oa 、ob 上的动点， op 平分a

5、ob ，且 op=6 ，当 pmn 的周长最小值为。 pm、mn 、pn 在 oa 、ob 的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段 pm 、mn 、pn 转化为连接两点之间的路径。如图，把点 p 分别沿 oa 、ob 翻折得 p 、p ， pmn 的周长转化为 p m+mn+p n，这三条线段的和正是连接两个定点 p 、p 之间的路径，从而转化为求 p 、p 两1例 5.如图，在锐角 abc 中， ab=4 ， bac=45 ， bac 的平分线交 bc 于。简析：本题的问题也在于动线段 bm 、mn 居于动点轨迹 ad 的同侧，同样把点 n 沿 ad 翻折至

6、ac 上， bm+mn bm+mn ，转化为求点 b 到直线 ac 的最短【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例 6. 如图， m、n 是小河两岸，河宽 20 米， a、b简析：桥长为定值，可以想像把河岸 m 向下平移与 n 重合，同时把点 a 向下平移河宽，此时转化成 n 上的一点到 a、b 的路径之和最短，即转化为定点 a 到定点 b 的最短路径。如下图：思路是把动线 am 平移至 am ，an+bn 即转化为求定点 a 与定点 b 之间的最路径。本题的关键是定长线段 mn 把动线段分隔，此时须通过平移把动线段an 、bn 变为连续路径，也可以把点 b 向上平移 20 米与点 a 连接。例

7、 7. 如图， cd 是直线 y=x 上的一条定长的动线段，且 cd=2 ，点 a（ 4，0），连接 ac 、ad ，设 c 点横坐标为 m，求 m 为何值时， acd 的周长最小，并求出这个最小值。解析：两条动线段 ac 、ad 居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定ac 沿直线 cd 翻折至另一侧，现在把周长转化为 ac+cd+ad ，还需解决一个问题：动线段 ac 与 ad 之间被定长线段 cd 阻断，动线段必须转化成连续的路径。 同上题的道理， 把 ac沿 cd 方向平移 cd 的长度即可，如下图。 现在已经转化为 ad+ad 的最短路径问题，属定点到定点，当 ad 与 ad共线时

8、 ad+ad 最短，即为线段 aa 的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例 8.如图， a 地在公路 bc 旁的沙漠里， a 到 bc 的距离 ah23，ab 219，在公路 bc 上行进的速度是在沙漠里行驶速度的 2 倍。某人在 b 地工作，a 地家中父亲病危，他急着沿直线 ba 赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么，从 b 至 a 怎样行进才能最快到达？简析：bp 段行驶速度是 ap 段的 2 倍，要求时间最短即求 bp/2+ap 最小，从而考虑 bp/2 如何转化，

9、可以构造含 30角利用三角函数关系把 bp/2 转化为另一条线段。如下图，作 cbd=30 ， pqbd，得 pq=1/2bp ，由“垂线段最短”知当 a、p、q 共线时 ap+pq aq 最小。 【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点 a、b，则所有满足 pa/pb=k 且不等于 1 的点 p的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中 po：boao：popa：pbk。例 9. 已知 a(-4 ，-4) 、b(0, 4) 、c(0, -6) 、 d(0, -1) ，ab 与 x 轴交于点e，以点 e 为圆心，ed 长为半径作圆，

10、点 m 为e 上一动点，求 1/2am+cm最小值。的简析：本题的主要问题在于如何转化 1/2am ，注意到由条件知在 m 的运动过程中， em：ae1：2 保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与 aem的相似比为 1：2，这样便可实现 1/2am 的转化，如下图取 en：em1：2， 即可得 emn eam ，再得 mn=1/2am ，显然， mn+cm 的最小值就是定点 n、c 之间的最短路径。之后便是常规方法先求 n 点坐标，再求 cn 的长。【解法大一统】万法归宗：路径成最短，折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）核心方法：同侧变异侧，分散化连续。 （动