(完整word版)高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全),推荐文档

1、 必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法1.终边相同角的表示方法：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内可以构成一个集合：|= k360 +,kz 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为| k360 k360 +90 ,kz 第二象限角的集合为| k360 +90 k360 +180 ,kz 第三象限角的集合为| k360 +180 k360 +270 ,kz 第四象限角的集合为| k360 +270 k360 +360 ,kz 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角的终边在某条射线上，其集合表示形式为|=

2、 k360 +,kz ,其中为射线与 x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角的终边在某条直线上，其集合表示形式为|= k180 +,kz ,其中为直线与 x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为|= k90 +,kz ,其中为直线与 x 轴非负半轴形成的任一夹角例：终边在 y 轴非正半轴上的角的集合为|= k360 +270 ,kz 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为|= k180 +135 ,kz 终边在四个象限角平分线上的角的集合为|= k90 +45 ,kz 易错提醒：区别锐角、小于 90 度的角、第一象限角、090、小于 180 度的角考

3、点二 弧度制有关概念与公式1.弧度制与角度制互化180p180 = ，1 =，1 弧度= 57.3p180p2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）pn ra= ra弧长公式：l =, 其中 为弧所对圆心角的弧度数1802 1npr360a1a2a扇形面积公式：s = lr= r| |, 其中 为弧所对圆心角的弧度数221a易错提醒：利用 s=r| |求解扇形面积公式时， 为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数221 规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4 个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数1.任意角的三角函数定义( )设 是一个任意角，它的终边与

4、单位圆交于点p x, y，那么sina = ，cosa = ，tana =yxyx（=|r op|=+x2 y2 ）；arry化简为sina = y, cosa = x, tana =.x2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.3.特殊角三角函数值除此之外，还需记住 15 、75 的正弦、余弦、正切值004.三角函数线yyptpamamox正弦线余弦线正切线typmmoatxoxa终边pp终边a2 经典结论：p(0, ) ，则sin x x tan x(1)若 x2p(0, )x x10，且 x=0 时的相位（x+

5、=）称为初相.如果不满足 0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如 y=-3sin(-2x+60 )的初相是-6000 求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解 .相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2.“一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量 x，不可针对-x 或 2x 等.例：“两域”：(1) 定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2) 值域

6、(最值)：a.直接法（有界法）：利用 sinx，cosx 的值域.b.化一法：化为 y=asin(x+)+k 的形式逐步分析x+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题.例：1.y=asinx +bsinx+c22.y=asinx +bsinxcosx+ccosx223.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4 4.y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)单调性 函数 y=asin(x+)(a0, 0)图象的单调递增区间由 2k- x+2k ，kz 解得

7、, 单调递减区间由222k+ x+0, 0)图象的单调递增区间由 2k+x+2k2,kz 解得, 单调递减区间由2kx+0, 0)图象的单调递增区间由 k- x+k ，kz 解得,.22规律总结：注意 、a 为负数时的处理技巧(2)对称性函数 y=asin(x+)的图象的对称轴由x+= k (kz)解得,对称中心的横坐标由x+= k(kz)解得;2函数 y=acos(x+)的图象的对称轴由x+= k(kz)解得,对称中心的横坐标由x+=k (kz) 解得;2函数 y=atan(x+)的图象的对称中心由x+= k(kz)解得.规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式.无需区分 、a 符号.(3)

8、奇偶性函数 yasin(x)，xr 是奇函数k(kz)，函数 yasin(x)，xr 是偶函数k (k2z)；函数 yacos(x)，xr 是奇函数k (kz)；函数 yacos(x)，xr 是偶函数k(k2z)；k函数 yatan(x)，xr 是奇函数 (kz)2规律总结： 可以是单个角或多个角的代数式.无需区分 、a 符号.(4)周期性2函数 yasin(x)或 yacos(x)的最小正周期 t|，yatan(x) 的最小正周期 t|.考点六 常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系sinqsin q + cos q =1 tan；q =22cosq5

9、2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”（1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脱周，即将不在（0,2）的角化为（0,2）的角：sin(2k+a)=sina； cos(2k+a)=cosa；tan(2k+a)=-tana；（3）化锐，即将在（0,2）的角化为锐角：6 组诱导公式( ) ()()()( )1 sin 2kp +a = sina cos 2kp +a = cosa tan 2kp +a = tana k z，( ) ( )( )( )2 sin p +a = -sina cos p +a = -cosa

10、tan p +a = tana，( ) ( )( )( )3 sin -a = -sina cos -a = cosa tan -a = -tana，( ) ( )( )( )4 sin p -a = sina cos p -a = -cosa tan p -a = -tana，pp( )5 sin-a = cosa cos-a = sina，22pp( )6 sin+a = cosa cos+a = -sina，22口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“k/2a”,做到“两观察、一变”。一观察：k 是奇数还是偶数；二观察：k/2a 终边所在象限，再由 k/2a 终边所在象限，确定原函数对应

11、函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式sin(a b) = sina cos b cosa sin b cos(a b) = cosa cos b m sina sin b；tana tan btan(a b) =,1m tana tan b4.二倍角公式sin 2a = sinacosa cos 2a = cos a -sin a = 2cos a -1=1- 2sin a；22222 tanatan 2a =，1- tan a2二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正

12、切公式，当 = 时的特殊情况倍角是相对的，如 0.5 是 0.25 的倍角，3 是 1.5 的倍角5.升降幂公式cos 2a = cos a -sin a = 2cos a -1=1- 2sin a2222（升幂缩角）.1+ cos 2a1-cos 2acos a =,sin a =22（降幂扩角），226.辅助角公式6 ba ，- a(| a |1) x(2kp + arcsin a,2kp +p - arcsin a),k z.sin x a(| a |1) x(2kp - arccosa,2kp + arccosa),k z.cos x a(a r) x(kp + arctan a,kp

13、 + ),k z.2ptan x 、cos 、tan1、sin- 、cos- 、tan2i考点二 向量的线性运算1.向量的加法法则（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减121 1(a+b)= oc , (a-b)= ba2 21oa+ ob = ocoa- ob = ba2两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零3.向量的数乘运算rr实数l 与向量a 的积叫做向量的数乘，记作l a 其几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩r（1）

14、arll= ar0rararararl 0ll 0ll 0=（2）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，l a4.a 与 b 的数量积运算ab=|a|b|cos=|a|b|cos=x x +y y121 2（1）|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影（2）ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积9 （3） 为 a 与 b 的夹角，0（4）零向量与任一向量的数量积为0（5）ab=-ba（6）向量没有除法，“a/b”没有意义,注意与复数运算的区别bvbvqaoda（7）向量的加

15、法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数易错提醒：向量的数量积与实数运算的区别：（1）向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b（4）|ab|a|b|考点三 向量的运算律1.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;llll(2)（ a）b= （ab）= ab= a（ b）;(3)（a+b

16、）c= a c +bc.考点四 向量的坐标表示及坐标运算1.平面向量基本定理如果 e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 、 ，使得 a=1212e+e不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e 、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1122该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量 a、b 共线.12解题思路：可用两个不共线的向量 e 、e 表示向量 a、b，设 b=a（a0），化成关于 e 、e 的方程，即f() e+g()12121e=0,由于e 、e 不共线，则f()=0，g() =02122.向量的坐标表示( )a 的坐

17、标，记作：a = x，y ，即为向量的坐标a = xi+ yj ，称(x，y)为向量i ， j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得表示(x , y )(x , y )(x + x , y + y )，则 a+b=(1)设 a=,b=1122121210 (x , y )(x , y )(x - x , y - y )，则 a-b=(2)设 a=,b=11221212() ()l a = l x ， y= l x ， l y(3)设1111(x , y )(x , y )，则 ab=|a|b|cos=x x+yy(4)设 a=,b=1122121 2uuur uuur uu

18、urab = ob-oa = (x - x , y - y )(x , y )(x , y ),则（5）设 a，b11222121()2()，a 、b 两点间距离公式2（6）|ab |=x - x2+ y - y121易错提醒：公式（2）与公式（5）的区别向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关考点四 向量的常见公式1.线段的定比分公式uuur uuurpp = pp r，则 的(x , y ) p (x , y )( , )，p x y 是线段pp1（1）定比分点向量公式：设p，的分点,l 是实数，且l111222212 x + xluuur uuurx=12uuur op =

19、ll+l x + x y + y 1+ly y+lop op2,1坐标是，即12121+ l1+ l1+ly=121+luuur uuuruuur1 op = top + (1-t)op=（t）.1+l12（2）定比分点坐标公式：( ) ( ) ( )设p x ，y ，p x ，y ，分点p x，y ，设p 、p 是直线l 上两点，p点在11122212l 上且不同于p 、p ，若存在一实数 l，使 p p = l pp ，则l 叫做p分有向线段1212p p 所成的比（l 0，p在线段p p 内，l 0 推不出 a 与 b 的夹角为锐角，可能为 0；ab0 推不出 a 与 b 的夹角为钝角，可能为 1805.点的平移公式uuur op = op + pp .uuuruuur = + = -x x hx x h= y + ky = y - kyuuur) ，且pp(x, y(h,k) 的坐标为 .注:图形 f 上的任意一点 p(x，y)在平移后图形 上的对应点为pf6.“按向量平移”的几个结论(h,k)(x, y)p (x + h, y + k).(1)点p 按向量 a= 平移后得到点(2)函数y = f (x)(h,k)的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为y = f (x