(完整版)2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

1、 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 ii)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，理 1)已知集合mx|(x1) 4，xr，n1,0,1,2,3，则mn()2a0,1,22(2013 课标全国，理 2)设复数z满足(1i)z2i，则z(a1i b1i c1i d1i3(2013 课标全国，理 3)等比数列a的前n项和为s.已知sa10a，a9，则a(b1,0,1,2c1,0,2,3d0,1,2,3)nn321511111-a3b3c9d94(2013 课标全国，理 4

2、)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l ，l ，则( )a 且 lc 与 相交，且交线垂直于 lb 且 ld 与 相交，且交线平行于 l5(2013 课标全国，理 5)已知(1a x)(1x) 的展开式中x 的系数为5，则a()52a46(2013 课标全国，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 n10，那么输出的 s( )b3c2d11 11+ + +l +12 310abc1 11+ + +l +12! 3!10!1 11+ + +l +2 31111 11+ + +l +2! 3!111!d7(2013 课标全国，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxy

3、z中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为( )8(2013 课标全国，理 8)设alog 6，blog 10，clog 14，则()3572013 全国新课标卷2 理科数学 第1页 acbabbcacacbdabc1, x+ y 3,9(2013 课标全国，理 9)已知a0，x，y满足约束条件x若z2xy的最小值为 1，则y a(x -3).a()11a4b2c1d210(2013 课标全国，理 10)已知函数f(x)xaxbxc，下列结论中错误的是()32$a x0r，f(x0)0

4、b函数 yf(x)的图像是中心对称图形c若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减d若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)011(2013 课标全国，理 11)设抛物线c：y2p x(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为2直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x 或 y28xcy24x 或 y216xby22x 或 y28xdy22x 或 y216x12(2013 课标全国，理 12)已知点a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线yaxb(a0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )2 1,2 22 11- ,

5、1 1,3 21-2 3cda(0,1)b第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分uuur uuur13(2013 课标全国，理 13)已知正方形abcd的边长为 2，e为cd的中点，则ae bd_.14(2013 课标全国，理 14)从n个正整数 1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之1和等于 5 的概率为 ，则n_.14 1tan +=15(2013课标全国，理 15)设为第二象限角，若q2 ，则sincos_.416(2013 课标

6、全国，理 16)等差数列a的前n项和为 s，已知s 0，s 25，则ns 的最小值nn1015n为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc面积的最大值2013 全国新课标卷2 理科数学 第2页 18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱abcabc 中，d，e分别是ab，bb 的11112中点，aaaccbab.21(1)证明：bc平面a cd；11(2)求二面角dace的正弦值1

7、19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以x(单位：t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将t表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润t不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量

8、取该区间中点值的概率(例如：若需求量x100,110)，则取 x105，且 x105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求t的数学期望2013 全国新课标卷2 理科数学 第3页 x2y2+ =120(2013 课标全国，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xoy 中，过椭圆 m：(aba2b21交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 .+ y - 3 = 0 m a b0)右焦点的直线 xp abop2(1)求 m 的方程；(2)c，d 为 m 上两点，若四边形 acbd的对角线 cdab，求四边形 acbd面积的最大值21(2013 课标全国，理 21)(本小

9、题满分 12 分)已知函数 f(x)exln(xm)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第4页 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，cd 为abc 外接圆的切线，ab 的延长线交直线 cd 于点 d，e，f 分别为弦 ab 与弦 ac 上的点，且 bcaedcaf，b，e，f，c 四点共圆(1)证明：ca 是abc 外接圆的直径；(2

10、)若 dbbeea，求过 b，e，f，c 四点的圆的面积与abc 外接圆面积的比值23(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程2cos t, =x已知动点 p，q 都在曲线 c： (t 为参数)上，对应参数分别为 t 与 t2(02)，y = 2sin tm 为 pq 的中点(1)求 m 的轨迹的参数方程；(2)将 m 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 m 的轨迹是否过坐标原点2013 全国新课标卷 2 理科数学 第5页 24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc

11、1，证明：1(1)abbcac ；3a b c2 2 2+ + 1b c a(2).2013 全国新课标卷 2 理科数学 第6页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 ii)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：a解析：解不等式(x1) 4，得1x3，即 mx|1x3而 n1,0,1,2,3，所以 mn20,1,2，故选 a.2答案：a2i2i(1+ i)-2 + 2i解析： z=1i.1-i (1-i)(1+ i)23答案：c解析：设数列a 的公比为 q，若 q1，则由 a 9，得

12、a 9，此时 s 27，而 a 10a 99，不满足题n51321意，因此 q1.a (1- q)3q1 时，s a q10a ，11- q3111- q3q10，整理得 q 9.21- q1a a q 9，即 81a 9，a .4951114答案：d解析：因为 m，lm，l ，所以 l.同理可得 l.又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 d.5答案：d5cr5xr2c xc x解析：因为(1x) 的二项展开式的通项为(0r5，rz)，则含 x 的项为ax(10252155a)x ，所以 105a5，a1.26答案：b解析：由程序框图知，当 k1，s0，t1

13、 时，t1，s1；11当 k2 时，t = ， s=1+；22111=s =1+ +当 k3 时，t，；232 231111当 k4 时，t =， s =1+ +；2342 23 23411 11=s =1+ + +l +当 k10 时，t，k 增加 1 变为 11，满足 kn，输出 s，234l 102! 3!10!所以 b 正确7答案：a解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 oxyz 的图像为下图：2013 全国新课标卷 2 理科数学 第7页 则它在平面zox上的投影即正视图为8答案：d，故选 a.lg6lg2=1+ lg3 ，b =lg10lg5lg2lg14lg7lg2解析：根据公

14、式变形，a =1+ lg5 ，c =1+lg7 ，因为 lg 7lg 5lg3lg2 lg2 lg2时 ，f(n)0,0nn =时 ，f(n)0，所以当当 n时，f(n)取最小值，而 nn ，则 f(6)3348，f(7)49，所以当 n7 时，f(n)取最小值49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b又 a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由，和 c(0，)得 sin bcos b，=又 b(0，)，所以 b.412= acsin b =ac(2)abc的

15、面积 s.24由已知及余弦定理得 4a c .222accos44又 a c 2ac，故ac，当且仅当 ac 时，等号成立222 - 2因此abc 面积的最大值为 2+1 .18解：(1)连结 ac 交 a c 于点 f，则 f 为 ac 中点111又 d 是 ab 中点，连结 df，则 bc df.1因为 df 平面 a cd，bc 平面 a cd，111所以 bc 平面 a cd.112(2)由 accbab 得，acbc.2uuur以 c 为坐标原点，ca 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.uuruuuuruuur设 ca2，则 d(1,1,0)，e(0,2,

16、1)，a (2,0,2)，cd (1,1,0)，ce (0,2,1)，ca (2,0,2)11设 n(x ，y ，z )是平面 a cd 的法向量，uuur110,11x + y = 0,nncd =uuurca = 0, 则 即 112x + 2z = 0.111可取 n(1，1，1)同理，设 m 是平面 a ce 的法向量，uuurce = 0,uuur1mm则 可取 m(2,1，2)ca = 0,1nm3=从而 cosn，m，| n | m | 36故 sinn，m.32013 全国新课标卷 2 理科数学 第10页 6即二面角dace的正弦值为.3119解：(1)当x100,130)时，

17、t500x300(130x)800x39 000，当x130,150时，t50013065 000.800x -39000,100 x 130,=所以t 65000,130 x 150.(2)由(1)知利润t不少于 57 000 元当且仅当 120x150.由直方图知需求量x120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润t不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得t的分布列为tp45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.4所以et45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20解：(1)设

18、a(x，y)，b(x，y)，p(x，y)，11x2200xyyy - y21222+a2 b2=1，+a2 b2=1，= -1，1则1222x2- x1b (x + x )y - y2= -=1.1由此可得212a ( y + y )x - x2212112 ，y=因为xx2x，yy2y，0120120x0所以a2b.22又由题意知，m的右焦点为( 3 ，0)，故ab3.22因此a6，b3.22所以m的方程为x2y2+ =1.6 3x + y - 3 = 0,(2)由x2y2+ =1, 6 34 33x =,x =0,解得或 = 3.y3y = - ,34 6因此|ab|.3由题意可设直线cd

19、的方程为 n 3，5 33+ n -yx 设c(x，y)，d(x，y)3344y = x + n,由得3x4nx2n60.2 2x2y2+ =1 6 32013 全国新课标卷2 理科数学 第11页 -2n 2(9 - n )2于是 x 3,4.3因为直线 cd 的斜率为 1，432 | x - x |=9 - n2 .所以|cd|4318 69s = | cd | ab |=9 - n2 .由已知，四边形 acbd的面积28 6当 n0 时，s 取得最大值，最大值为.38 6所以四边形 acbd面积的最大值为.3211e -解：(1)f(x).xx + m由 x0 是 f(x)的极值点得 f(

20、0)0，所以 m1.1e -于是 f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x).xx +11e -函数 f(x)在(1，)单调递增，且 f(0)0.xx +1因此当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.所以 f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)当 m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.1e -当 m2 时，函数 f(x)在(2，)单调递增xx + 2又 f(1)0，f(0)0，故 f(x)0 在(2，)有唯一实根 x ，且 x (1,0)00当 x(2，x )时，f(x)0；0当 x(x ，)时，f(x)0，从而当 xx 时，f(x)取得最小值001由 f(x )0 得e x ，ln(x 2)x ，0x+ 200001( +1)x02故 f(x)f(x )x 0.x+ 20x0+ 200综上，当 m2 时，f(x)0.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22解：(1)因为 cd 为abc 外接