[中考数学]平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）-（8）

1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）教学目标1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力教学重、难点重点：平行四边形的性质证明 表达格式的逻辑性 完整性 精炼性难点：分析 综合 思考的方法教学过程：一、情境创设根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写下表：平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线平分两组对角从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？如图，图中

2、有_个平行四边形。二、合作交流活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么?活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形对角相等”，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。例1 ：已知：如图， abcd中，e、f分别是ad、bc的中点。求证：be=df分析：可根据证明abecdf得到结论。若将例1中的“e、f分别是ad、bc的中点”改为“ae=ad，cf=bc”，是否还能得到同样的结论？练习：p15

3、1、2例2、 证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。例3（广东省）如图，四边形abcd是平行四边形，点f在ba的延长线上，连结cf交于ad点e求证：(1)cdefae(2)当e是ad的中点，且bc=2cd时，求证：f=bcf证明: （1）四边形abcd为平行四边形ab cd，d=eafdec=aef，cdefae （2）cdefaee是ad的中点af=dcad=bc, bc=2cdad=2afae=aff=aefadcb，aef=bcff=bcf说明 平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段

4、、相似三角形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便.adchb1200练习：1、已知：如图，在平行四边形abcd中，ab8cm，bc10cm，c1200，求bc边上的高ah的长；求平行四边形abcd的面积2、如图，平行四边形abcd中，ab=3，bc=5，ac的垂直平分线交ad于e，则cde的周长是（ b ）a6 b8 c9 d10三、分层训练1abcd的周长为50cm，且ab: bc = 3:2，则ab=_cm，bc=_cm.；2已知abcd中，ab=8，bc=10，b=45, abcd的面积为_.3.在中,ab=ac=5,d是bc上的点,deab交ac于点e,dfac交ab于点f,那

5、么四边形afde的周长是 （ ）a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 4.延长平形四边形abcd的一边ab到e，使bebd，连结de交bc于f，若dab120，cfe135，ab1，则ac 的长为（ ）（a）1（b）1.2（c）（d）1.55如图，四边形abcd是平行四边形，对角线ac、bd相交abcdo于点o，边ab可以看成由_平移得来的，abc可以看成由_绕点o旋转_得来；6、平行四边形abcd的两条对角线ac与bd相交于o，已知ab=8，bc=6，aob的周长为18，求aod的周长。7、已知：如图，abcd中，bd是对角线，aebd于e，cfbd于f. 求证：be=df.四、小结

6、引导学生自我归纳总结1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。五、课堂检测 六、教后感 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）教学目标1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发展推理论证的能力教学重、难点重点：矩形的本质属性难点：矩形性质定理的综合应用教学过程：一、情境创设矩形是特殊的平行四边形

7、，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？ 你能证明这些性质吗？二、合作交流问题一 观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：矩形的4个角都是直角。 矩形的对角线相等。问题三 你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？说说你的证明思路。已知：如图，在abc中，acb=90. 求证：边ab上的中线等于ab.证明：在acb内作bcd=b，cd交ab于点d acb=90acd与bcd互余，a与b互余 bcd=b acd

8、=a da=dc=db，即cd是边ab上的中线，且cd=ab问题四 你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学会思考和猜想：由结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力）例1 、已知：如图，矩形abcd的两条对角线相交于点o，且ac=2ab.求证：aob是等边三角形分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“ac=2ab”即可证得。本题若将“ac=2ab”改为“boc=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？练习：p16页 1、2例2、如图 在矩形abcd中，be平分abc，交cd于点e，点f在边bc上， 如果feae，求证fe=a

9、e。如果fe=ae 你能证明feae吗？练习：思考.如图所示，rtabc中，c=90，ac=12，bc=5，点m在边ab上，且am=6 （1）动点d在边ac上运动，且与点a、c均不重合，设cd=x 设abc与adm的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； 当x取何值时，adm是等腰三角形？写出你的理由 （2）如图，以图中的bc、ca为一组邻边的矩形acbe中，动点d在矩形边上运动一周，能使adm是以amd为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由）例3、（吉林省）如图，在矩形纸片abcd中，ab=3，bc=6，沿ef折叠后，点c落在ab边上的点p处

10、，点d落在点q处，ad与pq相交于点h，bpe=30 （1）求be、qf的长（2）求四边形pefh的面积 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解四、分层训练1、已知，在矩形abcd中，aebd，e是垂足，abdceodaeeab=21，求cae的度数。2、 在矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，若对角线ac=10cm，边bc=8cm，则abo的周长为_3、如图1，周长为68的矩形abcd被分成7个全等的矩形，则矩形abcd的面积为（ ）（a）98 （b）196 （c）280 （

11、d）284 （1） (2) (3)4、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为_5、如图3,在矩形abcd中，m是bc的中点，且mamd若矩形abcd的周长为48cm，则矩形abcd的面积为_cm26、已知，如图，矩形abcd的对角线ac，bd相交于点o，e，f分别是oa，ob的中点 （1）求证：adebcf；（2）若ad=4cm，ab=8cm，求of的长7、如图，在矩形abcd中，已知ab=8cm，bc=10cm，折叠矩形的一边ad，使点d落在bc边的中点f处，折痕为ae，求ce的长8、阅读下列过程: 如图，小肖过ab，cd的中点画

12、直线ef，把矩形abcd分割成甲、乙两部分 如图，小徐过a，c两点画直线ac，把矩形abcd分割成丙、丁两部分 回答下列问题： （1）填空：s甲_s乙，s丙_s丁（填“”或“”或“”）； （2）根据小肖、小徐的分割原理，你还能探索出其他的分割方法吗？请在图中任意给出一种；（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？9、（2006年烟台市）如图4,先将一矩形abcd置于直角坐标系中，使点a与坐标系的原点重合，边ab、ad分别落在x轴、y轴上（如图所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30（如图所示），若ab=4，bc=3，则图和图中，点b的坐标为_，点c的坐标为_ 五、小结从位置、形

13、状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。六、课堂检测 七、教后感 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）教学目标1、会归纳菱形的特性并进行证明2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性教学重、难点重点：菱形的性质定理证明难点：性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化教学过程：一、 情境创设1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线

14、剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形? (同桌互相帮助。) 2探索。 请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。 (从边、对角线入手。) (1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。 (学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。) 问题：你怎样发现的?又是怎样验证的? (可以指名学生到讲台上讲解一下他的结果。) 3概括。 菱形特征1：菱形的四条边都相等。 菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 引导学生剖析矩形与菱形的区别。 矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形的

15、四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角。 4请你折折，观察并填空。(引导学生归纳。) (1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_。 (2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_。二、合作交流问题一 观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二 证明：菱形的4条边都相等。 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证

16、得。问题三 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。例 1、 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点a、e、f、c、g、h是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如ac两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点b、m处固定，则b、m之间的距离是多少？ 分析：可将问题归结到菱形abcd中研究，求出bd的长即可。可根据菱形的对角线互

17、相垂直平分利用勾股定理求出bd。练习p18 1、2例2 已知：如图，四边形abcd是菱形，g是ab上任一点，df交ac于点e。求证：agd=cbe分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。练习：1、如图，在菱形abcd中，e、f分别是ab、cd的中点，如果ef=2，那么abcd的周长是（ d ）a4 b8 c12 d162、如图，已知菱形的两条对角线长为，你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面积与，的关系吗？ 拼法（1）拼法（2）或结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半3、己知：如图，菱形abcd中，b=6

18、00，ab4，则以ac为边长的正方形acef的周长为 .四、分层训练1已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_cm2已知四边形abcd是菱形，o是两条对角线的交点，ac=8cm，db=6cm，菱形的边长是_cm3已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为_cm4菱形abcd的周长为40cm，两条对角线ac：bd=4：3，那么对角线ac=_cm，bd=_cm5如图，四边形abcd是菱形，abc=120，ab=12cm，则abd的度数为_，dab的度数为_；对角线bd=_，ac=_；菱形abcd的面积为_6菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ） （a）1个

19、 （b）2个 （c）3个 （d）4个7如图，在菱形abcd中，ceab，e为垂足，bc=2，be=1，求菱形的周长和面积五、小结菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。六、作业 七、教后感 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重、难点重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发

20、展合情推理能力和初步的演绎推理能力难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点教学过程：一、情境创设 这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？二、合作交流探索正方形的性质（1）边的性质： ；（2）角的性质： ；（3）对角线的性质： ；（4）对称性： 。例1、 已知：如

21、图，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o；正方形abcd的顶点a与点o重合，ab交bc于点e， ad交cd于点f，e是bc的中点。（1）求证：f是cd的中点（2）若正方形abcd绕点o旋转某个角度后，oe=of吗？分析：（1）方法一ob=oc,e是bc的中点oebc,oec=90eaf=ecf=90ofc=90oc=odf是cd的中点方法二 eaf=90,acbd eoc+cof=dof+cof=90eoc=dof 又oc=od,oce=odf=45oceodf(asa)df=ce=bc=cd,即f是cd的中点。（2）证明方法同前方法二。由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形ab

22、cd绕点o旋转并与正方形abcd分别交bc、cd于点e、f，总有oe=of，be=cf，ec=fd，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形abcd面积的四分之一等等）练习（第18题）a1a2a3a4如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点a1、a2、an分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ c ）acm2 bcm2 ccm2 d cm2cbeadf例2、已知，在正方形abcd中，e是bc的中点，点f在cd上，faebae.求证：afbc+fc. 例3、 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。例4、已知正方形abcd。（1）如图1，e是

23、ad上一点，过be上一点o作be的垂线，交ab于点g，交cd于点h，求证：begh；（2）如图2，过正方形abcd内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交ad、bc于点e、f，交ab、cd于点g、h，ef与gh相等吗？请写出你的结论；（3）当点o在正方形abcd的边上或外部时，过点o作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形abcd外一点o作互相垂直的两条直线m、n，m与ad、bc的延长线分别交于点e、f，n与ab、dc的延长线分别交于点g、h，试就该图对你的结论加以证明。练习：1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方

24、形abcd绕点a逆时针旋转30到正方形abcd，图中阴影部分的面积为（ ）a b c1- d1- 2、已知：如图，正方形abcd的周长为4a，四边形efgh四个顶点e、f、g、h分别在ab、bc、cd、da上滑动，在滑动过程中，始终有ehbdfg，且ehfg，那么四边形efgh的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由三、分层训练 1、如图，正方形abcd中，ab=1，点p是对角线ac上的一点，分别以ap、pc为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_。epdcbaf_f_e_d_c_b_a2、如图,正方形abcd中,daf=25,af交对角线bd于e,交cd于f,

25、则bec= 度.3、如图：正方形abcd中，ac=10，p是ab上任意一点，peac于e，pfbd于f，则pe+pf= 。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 。4、如图,正方形abcd中,点e在bc的延长线上，ae平分dac,则下列结论:（1）e=22.50. (2) afc=112.50. (3) ace=1350（4）ac=ce(5) adce=1. 其中正确的有（ ）（a）5个 （b）4个 （c）3个 （d）2个5、如图，在正方形abcd的边bc上任取一点m，过点c作cndm交ab于n，设正方形对角线交点为o，试确定om与on之间的关系，并说明理由6、（200

26、6济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 8； cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ 得到的阴影部分的面积是，即阴影部分的面积不变16题图四、小结（1） 正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。（2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从

27、特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。五、课堂检测六、教后感平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）教学目标1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程教学重、难点重点：平行四边形判定定理的证明，反证法难点：用反证法证明教学过程：一、情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条 件结 论四边形abcd，对角线ac、bd相交于点

28、o四边形abcd是平行四边形二、合作交流问题一 你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。问题二 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。问题三 你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四 你认为“在四边形abcd中，如果oa=oc，obod，那么四边形abcd不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？分析：假设四边形abcd是平行四边形，那么

29、oa=oc，ob=od，这与条件obod矛盾，所以四边形abcd不是平行四边形。假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。例1 已知：如图，在abcd中，对角线ac、bd相交于点o，aebd，cfbd，垂足分别为e、f。 求证：四边形aecf是平行四边形。分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知oa=oc，再证oe=of即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。练习：p20页 拓展与延伸及练习1、2例2、 (哈尔滨市)如图，已知e为平行四边形abcd中d

30、c边的延长线上的一点，且ce=dc，连结ae，分别交bc、bd于点f、g，连结ac交bd于o，连结of.求证：ab=2of. 证明: 连结be四边形abcd为平行四边形ab cd，ao=oc=,ab=cdce=cd，ab=ce，四边形abec为平行四边形， bf=fc， 即ab=2of.说明 能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样更简便练习1如图，平行四边形abcd中，ef为边ad、bc上的点，且ae=cf，连结af、ec、be、df交于m、n，试说明：mfne是平行四边形2.如图：已知在abc中，ab=ac，d为bc上任意一点，deac交ab于e，dfab交ac于f，求

31、证：de+df=ac3.平行四边形abcd中，e、 g、f、h分别是四条边上的点，且ae=cf，bg=dh求证：ef和gh互相平分4.已知：如图，在平行四边形abcd中，连结bd求作：a的平分线ae交bc于e，交bd 于f；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）求证：abbe； mednf1题cbaabcd第2题第4题三、分层训练：1.已知adbc，要使四边形abcd为平行四边形，需要增加条件 （只需填一个你认为正确的条件即可）. 2.已知：abcd的周长是30cm，对角线ac，bd相交于点o，aob的周长比boc的周长为5cm ，则这个平行四边形的各边长为.3.如图，在abcd中，

32、efbc，ghab， ef、gh的交点p在bd上，则图中有 对四边形面积相等；它们是 4.abcd中，过o点的直线ef分别交ad、cb于e、f，ab2.4，bc=4,oe=1.1,则四边形cdef的周长为_.5.abcd中，ac、bd的长满足方程，则cb的长的取值范围为 .6、（2006广东省）如图，在abcd中，dab=60，点e、f分别在cd、ab的延长线上，且ae=ad，cf=cb (1)求证：四边形afce是平行四边形 (2)若去掉已知条件的“dab=60，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由四、小结1.从边与边的关系:两组对边分别平行一组对边平行且相等一

33、组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。两组对边分别相等 2.从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3.从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形。五、课堂检测 六、教后感 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6）教学目标1、会证明矩形的判定定理2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明教学重、难点重点：矩形判定定理的证明难点：矩形判定定理的应用教学过程：一、情境创设具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩形？同学之间进行交流。二、探索活动问题一 如图，在abcd中，ac=bd，由

34、此你可得到什么？问题二 如图，要证abcd是矩形，需证什么？为什么？根据矩形的定义，只要证abcd的一个角是直角；或证abo+cbo=90；或证abc=dcb.问题三 说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。由问题二可得出多种证明思路。三、例题教学例1、 p22 例5练习：p23 1、2例2、 已知：如图，abcd的四个内角平分线相交于点e、f、g、h。 求证：eg=fh 分析：由abcd，得对边abcd，可证abc+bcd=180再由两角的平分线可得gbc+gcb=90,从而得hgf=90，同理可证得hef=90，ahb=90,再由对顶角相等得ehg=90，从而可得四边形efgh是矩

35、形，再由矩形的对角线相等得出结论。例3 已知：平行四边形abcd的对角线ac、bd相交于o，aob是等边三角形，ab4cm，求这个平行四边形的面积（如图438）。 分析解题思路：（1）先判定平行四边形abcd为矩形。badco（2）求出rtabc的直角边bc的长。（3）计算sabbc小结：（1）具有平行四边形的所有性质。（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。（3）矩形的判定方法1、2都是有两个条件：是平行四边形，有一个角是直角或对角线相等。判定方法3的两个条件是：是四边形，有三个直角。 练习：1.如图，bo是rtabc斜边上的中线，延长bo至点d，使bo=do，连结ad，cd，则四边形a

36、bcd是矩形吗？请说明理由2已知：如图，bc是等腰bed底边ed上的高，四边形abec是平行四边形求证：四边形abcd是矩形例4、（2006年青岛市）如图，在abcd中，e、f分别为边ab、cd的中点，bd是对角线，agdb交cb的延长线于g（1）求证：adecbf；（2）若四边形bedf是菱形，则四边形agbd是什么特殊四边形？并证明你的结论 【解析】（1）四边形abcd是平行四边形 1=c，ad=cb，ab=cd 点e、f分别是ab、cd的中点， ae=ab，cf=cd ae=cf adecbf （2）当四边形bedf是菱形时，四边形agbd是矩形 四边形abcd是平行四边形， adbc

37、agbd， 四边形agbd是平行四边形 四边形bedf是菱形， de=be ae=be， ae=be=de 1=2，3=4 1+2+3+4=180， 22+23=180 2+3=90 即adb=90， 四边形agbd是矩形四、分层训练 1下列说法错误的是（ ） （a）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（b）矩形的四个角都是直角，并且对角线相等 （c）对角线相等的平行四边形是矩形 （d）有两个角是直角的四边形是矩形2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（ ） （a）梯形 （b）矩形 （c）正方形 （d）不是平行四边形3如图，e，f，g，h分别是四边形abcd四条边的中点，要使四边形efgh为矩

38、形，四边形abcd应具备的条件是（ ） （a）一组对边平行而另一组对边不平行;（b）对角线相等（c）对角线互相垂直; （d）对角线互相平分 4工人师傅在做门框或矩形零件时，常常测量它们的两条对角线是否相等来检查直角的精度，为什么?8.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使ab=cd，ef=gh； （2）摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是_形，根据的数学原理是：_； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是_形，根据的数学原理是：_五、小结进行推理论证常常需

39、要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索并获得证明的思路。六、作业 七、教后感 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）教学目标1、会证明菱形的判定定理2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明教学重、难点重点：菱形判定定理的证明难点：菱形判定定理的应用教学过程：一、情境创设具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？同学之间进行交流。二、探索活动探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。问题一 如图，在abcd中，对角线ac、bd相交于

40、点o，且acbd，由此你可证得什么？（可得到两对全等的等腰三角形和四个全等的直角三角形，还可得到ac、bd互相垂直平分）问题二 如图，要证平行四边形abcd是菱形，需证什么？为什么？（要证平行四边形是菱形，根据菱形的定义，只需证一组邻边相等即可）问题三 说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。（思路一：证相邻的两个直角三角形全等得出一组邻边相等即可；思路二：由垂直平分线的性质可得一组邻边相等。）可选择思路二证明。思考与探索 你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图的理由。作法一：可利用“四边相等的四边形是菱形”来作，先作一个角，再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长，再分别以两个截

41、点为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧相交于一点，这点即为菱形的第四个顶点； 作法二：可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作，可先作出两条互相垂直平分的线段，再将两条线段的四个端点顺次连结起来，即作出了一个菱形。例1、 已知：如图，在abc中，abc=90，ad是角平分线，点e、f分别在ac、ad上，且ae=ab，efbc。求证：四边形cdef是菱形。分析：由已知ad为角平分线，ae=ab联想到“三线合一”，因此连结be，可得到四边形bdef的对角线互相垂直，只需证四边形bdef是平行四边形即可，而已知ef与bd平行，只需证ef=bd，这可由全等三角形解决。练习：1、已知：如图，在abc

42、d中，对角线bd平分abc。 求证：四边形abcd是菱形。2、已知：如图，在abc中，ad是角平分线，e是ab上一点，且ae=ac，egbc，eg交ad于点g。 求证：四边形edcg是菱形。例2、如图，在rtabc中，acb=90，bac=60，de垂直平分bc，垂足为d，交ab于点e，又点f在de的延长线上，且af=ce求证：四边形acef为菱形 【分析】欲证四边形acef为菱形，可先证四边形acef为平行四边形，然后再证acef为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形 练习：1、（2006年河南省）如图，在abc中，acb=90，ac=2，bc=3d是bc边上一点，直线debc于

43、d，交ab于e，cfab交直线df于f设cd=x （1）当x取何值时，四边形eacf是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形eacd的面积等于2？2如图，点e、f是菱形abcd的边bc、cd上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使ae=af，你添加的条件是_ 四、分层训练1、判断（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（ ）（3）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形。（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）2、(1)如图，o是矩形abcd的对角线的交点，deac，cebd，de和ce相交于e，求证：四边形

44、oced是菱形。3、已知：如图，ad是abc的角平分线，deac交ab于点e，dfab交ac于点f，请判断四边形aedf的形状，并说明理由。 4、已知：如图，abcd的对角线ac的垂直平分线与边ad、bc分别相交于点e、f。求证：四边形afce是菱形。5、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形，并说出这样剪的依据。五目标检测六、小结1、 用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图依据。2、 菱形的判定方法。七、教后感平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（8）教学目标1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、在探究与证明正方形判定定理的过程中，进