(完整版)八年级下册初二数学《因式分解》教案

1、因式分解【知识梳理】l因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：ax+bx=133113x(a+b)因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：字母-取各项都含有的字母指数-取相同字母的最低次幂(指数)因式分解的方法l提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

2、公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数-取各项系数的最大公约数【例题】12a3b3c-8a3b2c3+6a4b2c2的公因式是【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是2a3b2c小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。第1页共15页注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式

3、最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。【基础练习】1ax、ay、ax的公因式是_；6mn2、2m2n3、4mn的公因式是_2下列各式变形中，是因式分解的是（）b2x2+2x=2x2(1+)aa22abb21（ab）21c（x2）（x2）x241xdx41（x21）（x1）（x1）3将多项式6x3y23x2y212x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）a3xyb3x2yc3x2y2d3x3y34多项式ana3nan2分解因式的结果是（）aan（1a3a2）ban（a2na2）can（1a2na2）dan（a3an）5把下列各式因式分解：5x2y10xy215xy3x（mn）2（mn）3（

4、x3）26（3x）y（xy）2（yx）32x2n4xnx（ab）2nxy（ba）2n16应用简便方法计算：（1）2012201（2）4.3199.87.6199.81.9199.8（3）说明320043199103198能被7整除第2页共15页【提高练习】1把下列各式因式分解：（1）16a2b8ab_；（2）x3（xy）2x2（yx）2_2在空白处填出适当的式子：（1）x（y1）（）（y1）（x1）；4（2）8ab2+b3c=（）2a3bc）2793如果多项式x2mxn可因式分解为（x1）（x2），则m、n的值为（）am1，n2bm1，n2cm1，n2dm1，n24（2）10（2）11等于（）

5、a210b211c210d22x+y=6,5已知x，y满足求7y（x3y）22（3yx）3的值x-3y=1,6已知xy2，xy=-,求x（xy）2（1y）x（yx）2的值127因式分解：（1）axaybxby；（2）2ax3am10bx15bm第3页共15页l运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。l平方差公式式子：a2-b2=(a+b)(a-b)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。【例题1】在括号内写出适当的式子：025m4（）2；4y2n=（）2；121a2b6（）29【例题2】因式

6、分解：（1）x2y2（）（）；（2）m216（）（）；（3）49a24（）（）；（4）2b22（）（）【基础练习】1下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）ay249x2b1-x4d(p+q)2-92下列因式分解错误的是（）49cm4n2a116a2（14a）（14a）bx3xx（x21）14ca2b2c2（abc）（abc）d3把下列各式因式分解：422m2-0.0ln2=(0.ln+m)(m-0.ln)933（ab）264m481n4（2a3b）2（ba）24利用公式简算：（1）20082008220092；（2）3.145123.14492第4页共15页5已知x2y3，x24y215

7、，（1）求x2y的值；（2）求x和y的值【提高练习】1因式分解下列各式：（1）-116m3+m_；（2）x416_；c1（3）am+1-am-1_；（4）x（x21）x21_2把（3m2n）2（3m2n）2分解因式，结果是（）a0b16n2c36m2d24mn3下列因式分解正确的是（）aa29b2（2a3b）（2a3b）ba581ab4a（a29b2）（a29b2）1（-2a2=(1+2a)(1-2a)dx24y23x6y（x2y）x2y3）224把下列各式因式分解：m2（xy）n2（yx）3（xy）227（3m2n2）2（m23n2）2,y=,求（xy）2（xy）2的值5已知x=222575

8、446分别根据所给条件求出自然数x和y的值：（1）x、y满足x2xy35；（2）x、y满足x2y245第5页共15页a2-2ab+b2=(a-b)2拓展：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全平方公式（1）式子：a2+2ab+b2=(a+b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)【例题】分解因式：【变式练习】x2+14x+49=x2+27x+72=(x+7)2a2-4a+4=a2-22a+22=(a-2)21分解因式：4x2+2x+14=；a2-14a+49=2因式分解4-4a+a2，正确的是()a4(1-a)+a2b(2-a)2c(2-a)(2-a)d(2+a)2【注意】公式中

9、的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)-32当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)【变式练习】1分解因式：2x2-20x+50=2分解因式：4-12(x-y)+9(x-y)2=3分解因式：8x2y-8xy+2y=_4分解因式：(a+b)34(a+b)=_5分解因式：3m(2xy)23mn2_6因式分解：x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)【基础练习】第6页共15页1在括号中填入适当的式子，使等式成立：（1）x26x

10、（）（）2；（2）x2（）4y2（）2；（3）a25a（）（）2；（4）4m212mn（）（）22若4x2mxy25y2（2x5y）2，则m_3将a224a144因式分解，结果为（）a（a18）（a8）b（a12）（a12）c（a12）2d（a12）24下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（）9a21；x24x4；m24mnn2；a2b22ab；m2-a2个21mn+n2;（xy）26z（xy）9z239b3个c4个d5个5下列因式分解正确的是（）a4（mn）24（mn）1（2m2n1）2b18x9x299（x1）2c4（mn）24（nm）1（2m2n1）2da22abb2（ab）26把下

11、列各式因式分解：a216a64x24y24xy（ab）22（ab）（ab）（ab）24x34x2x7计算：（1）2972（2）10.328若a22a1b26b90，求a2b2的值第7页共15页【提高练习】1把下列各式因式分解：（1）25（pq）210（pq）1_；（2）an1an12an_；（3）（a1）（a5）4_2如果x2kxy9y2是一个完全平方公式，那么k是（）a6b6c6d183如果a2ab4m是一个完全平方公式，那么m是（）16b-128d-b2a1b2b16cb21184如果x22axb是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（）ababa2bcb2adba25把下列各式因式分

12、解：2mx24mxy2my2x3y2x2y2xy314x+x3-x2（m2n2）24m2n2x22x1y2x22xyy22x2y1（a1）2（2a3）2（a1）（32a）2a3=3,求x2+6若x+11xx2的值第8页共15页7若a4b4a2b25，ab2，求a2b2的值8已知x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方和公式，x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a38（2）27a31分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：am+an+bm+bn、a2-b2ab等步骤：1分组2提取公因式【例题1】把多项式ab-a+b-

13、1分解因式解：ab-a+b-1=(ab-a)+(b-1)=a(b-1)+(b-1)=(a+1)(b-1)【变式练习】因式分解：a2-ab+ac-bca3+a2-a-1x2-x-y2-y将多项式分组后能运用公式进行因式分解(三一分项)形式：a22ab+b2-c2【例题2】将多项式a2-2ab-1+b2因式分解解：a2-2ab-1+b2=(a2-2ab+b2)-1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1)第9页共15页【变式练习】因式分解：x2-25+y2-2xy=x2-6xy+9y2-1l十字相乘法(拓展)形式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(二次项系数为1)x2+(p+q

14、)x+pq分析：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和p+q为一次项系数。【例题1】分解因式：x2+2x-32因式分解：x2-5x-6形式：ax2+bx+c=(ax+c)(ax+c).(拓展)1122ax2+bx+c=(axax)+(acx+acx)+(ccx)12122112=(ax+c)(ax+c).1122分析：a=aa；c=cc，b=ac+ac12121221形式如ax2+bx+c的式子要进行因式分解，确定其中的a,a,c,c是一个尝试的过程。1212【例题2】分解因式2x2-x-32=21-3=-31-1=21+(-3)1所以2x2-x-3=(2x-3)(x+1)【基础练习】第10页共

15、15页1将下列各式因式分解：（1）x25x6_；（2）x25x6_；（3）x25x6_；（4）x25x6_2将a210a16因式分解，结果是（）a（a2）（a8）b（a2）（a8）c（a2）（a8）d（a2）（a8）3因式分解的结果是（x3）（x4）的多项式是（）ax27x12bx27x12cx27x12dx27x124如果x2pxq（xa）（xb），那么p等于（）aabbabcabdab5若x2kx36（x12）（x3），则k的值为（）a9b15c15d96把下列各式因式分解m212m20x2xy6y2x210xy9y2（x1）（x4）36ma218ma40mx35x2y24xy27已知xy

16、0，x3y1，求3x212xy13y2的值【提高练习】1多项式x23xyay2可分解为（x5y）（xby），则a、b的值为（）aa10，b2ba10，b2ca10，b2da10，b22若x2（ab）xabx2x30，且ba，则b的值为（）a5b6c5d6第11页共15页3将（xy）25（xy）6因式分解的结果是（）a（xy2）（xy3）c（xy6）（xy1）b（xy2）（xy3）d（xy6）（xy1）4观察下列各式：1234152；23451112；34561192；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由【全章巩固练习】21把(xy)(yx)分解因式为()a(x

17、y)(xy1)b(yx)(xy1)c(yx)(yx1)d(yx)(yx1)2若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是()a8b16c2d43(8)2006(8)2005能被下列数整除的是()a3b5c7d94下列分解因式结果正确的是()a6(x2)+x(2x)=(x2)(6+x)bx3+2x2+x=x(x2+2x)2ca(ab)+ab(ab)=a(ab)d3xn+1+6xn=3xn(x+2)5如果ba=6，ab=7，那么a2bab2的值是()a42b42c13d136已知x27xy+12y2=0，那么x与y的关系是_7利用因式分解简便计算5799449999正确的是()a99(5744)991

18、019999b99(57441)991009900c99(57441)9910210098d99(574499)9921988从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)那么通过计算阴影部分的面积可以验证baab甲乙公式_第12页共15页9在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab)，再沿虚线剪开，如图(1)，然后拼成一个abbb梯形，如图(2)根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是()(1)a(2)aaa2-b2=(a+b)(a-b)b(a+b)2=a2+2ab+b2c(a-b)2=a2-2a

19、b+b2da2-b2=(a-b)210利用简便方法计算：(1)232.718+592.718+182.718；(2)57.61.6+57.618.4+57.6(20)11分解多项式：(1)16x2y2z29(2)81(a+b)24(ab)2(3)x(xy)y(yx)(4)12x3+12x2y3xy2(5)(x+y)2+mx+my(6)a(xa)(x+y)2b(xa)2(x+y)12已知ab2005，ab，求a2bab2的值。2008200513已知(4x2y1)2+xy-2=0，求4x2y4x2y2+xy2的值第13页共15页14求证：无论x、y为何值，4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正。15用分解因式说明：257-512能被60整除。16已知a、b、c是abc的三边的长，且满足a2+2b2+c2-2b