(完整版)函数的周期性与对称性.

1、 函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对

2、称，则函数f(x)必为周期函数，且 t4|ab|3.函数y= f (x)图象本身的对称性（自身对称）若 f (x + a) = f (x + b)f (x)，则 具有周期性；若f (a + x) = f (b - x)f (x)，则 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。(a + x) + (b - x) a + b图象关于直线 = = 对称x1、 f (a + x) = f (b - x) y = f (x)推论 1： f (a + x) = f (a - x) y = f (x)推论 2、 f (x) = f (2a - x) y = f (x)22x = a的图象关于直线 对称

3、x = a的图象关于直线 对称推论 3、 f (-x) = f (2a + x) y = f (x)x = a的图象关于直线 对称a + b2、 f (a + x) + f (b - x) = 2c y = f (x)的图象关于点(c, ) 对称2推论 1、 f (a + x) + f (a - x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称推论 2、 f (x) + f (2a - x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称推论 3、 f (-x) + f (2a + x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称例

4、题分析：(x) (-,+)1设 f 是上的奇函数，f (x + 2) = - f (x) ，当0 x 1时， f (x) = x ，则f (47.5)等于()（a）0.5 （b）- 0.52、（山东）已知定义在r 上的奇函数 f 满足a1 b0 c1（c）1.5 （d）-1.5(x)f (x + 2) = - f (x)f (6)，则 的值为（ ）d2(x)rf (1)= 2, f (x +1) = f (x + 6), f (10).求3设 f 是定义在 上的奇函数，1(x)x( + 2) =，若 _f (1)= -5 ，则 f f (5) =4函数 f 对于任意实数 满足条件 f xf (

5、x)1 (x)是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线x =1对称。r5已知 f（1）求 f（3）若 f(0)f (x)是周期函数；的值；（2）证明(x) = x(0 0 在1,3上的解集为()a(1,3) b(1,1) c(1,0)(1,3) d(1,0)(0,1)2设函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且对任意的xr 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x1 2 0,1时，f(x)1x，则：2 是函数 f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；1 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3. 2其中所有正确命题的序号是_3设

6、定义在 r 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tr，都有 f(t)f(1t)，且 x 0， 时，12312131415 f(x)x ，则 f(3)f 的值等于(2)a b c d 24若偶函数 yf(x)为 r 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)(x1)(xa)(3x3)，则 f(6)等于_a1 1xf (x) =关于点（ ， ）对称：f (x) + f (1- x) = _5、（1）;2 2a + ax4 -1xf (x) =- 2x +1关于（0，1）对称：f (x) + f (-x) = _（2）2x+1(x) = f (2a - x), f (x) = 0有n个不同的实数根

7、，则设（3）若 fx + x +l + x = _ .12n6设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x.(1)求 f(3)的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积2 7 设f (x)是定义在( , )上以 2 为周期的周期函数，且 f (x)是偶函数，在区间 2 ,3上，f (x) 2(x 3) 4. x 1,2 f (x)的解析式.求 时，2f (x)x对任意实数 满足f(2 x) f(2 x) f(7 x)，f (7 x)且f(0) 0,8.设函数判断函数f (x)图象在区间 30,30x上与 轴至少有多少个交点.y f

8、(x)r是定义在 上的周期函数，周期t 5 y f (x) ( 1 x 1)是，函 数9.已知函数y f (x) 0,1上是一次函数，在1,4x 2时函数取奇函数.又知在上是二次函数，且在得最小值5.f(1) f(4) 0y f(x),x 1,4的解析式；（1）证明：；（2）求y f (x) 4,9在 上的解析式.（3）求11)，（1）判断 f(x)的奇偶性；（2）证明： f (x) 0f (x) x(10.已知2x 1 2 1，1y f (x)是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若11 、 定 义 在上 的 函 数f(a a 1) f(4a 5) 0，求实数a 的范围。22 bxr1

9、2（重庆文）已知定义域为 的函数f (x)t r是奇函数。2x 1aa,bf (t 2t) f(2t k) 02 2 恒成立，（）求的值；（）若对任意的，不等式k求 的取值范围。复习题：3 31a s(n,s )，其前n 项和为 ，点在抛物线y = x2+ x上；各项都为正数的1已知数列22nnn11b 等比数列满足.1632n135a b c = a bc n的前 项和 t（）求数列，的通项公式；（）记,求数列nnnn nnnb + c - a8= s32222在abca b c中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且（其abc2dabcsabc的面积）中为dabcb + c（）求sin

10、2+ cos 2a ；（）若b = 2abc， 的面积为 3，求a 2x3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345acb频率02045（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，a b c求 ， ， 的值；x x x（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 ， ， ，等级系数为 5123的 2 件日用品记为 ， ，现从 ， ， ， ， 这 5 件日用品中任取两件（假y1yx xxy y2123

11、定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并12求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率ppa 底面 abc ， ac bc4. 如图，在三棱锥p - abc中，pa = ac = 2 bc =1.，hh 为 pc 的中点，ah pbc；（）求证：平面pabc（）求经过点的球的表面积。cabx = 8(y +8) ymp,q，动点 在抛物线5.已知抛物线与 轴交点为2uuur uuuurmpmq = 0上滑动，且pq中点 r 的轨迹方程 ；w（1）求（2）点a, b,c, d wa, dyd关于 轴对称，过点 作切线 ，且lbc l d与 平行，点 到在 上，ab, acd ,d1d

12、 + d = 2 | ad|，证明：dabc的距离为，且为直角三角形212ln xf (x) =f (x)的极大值；6. 设函数.（1）求x212elnn(n -1)(n - 2)l 21 (n + n)(2n +1)(n n )（2）求证：（3）当方程2*aax - 2tx -t2f (x) - = 0(ar )g(x) = txf (x) += 0 也有+ 有唯一解时，方程2ex2唯一解，求正实数t 的值；函数的周期性与对称性4 1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。

13、f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 t2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且 t4|ab|3.函数y= f (x)图象本身的对称性（自身对称）若 f (x + a) = f (x + b)，则f (x) 具有周期性；若f (a

14、 + x) = f (b - x) ，则 f (x) 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。(a + x) + (b - x) a + b1、 f (a + x) = f (b - x) y = f (x)图象关于直线 =对称x=22推论 1： f (a + x) = f (a - x) y = f (x)的图象关于直线x = a 对称推论 2、 f (x) = f (2a - x) y = f (x)的图象关于直线x = a 对称推论 3、 f (-x) = f (2a + x) y = f (x)的图象关于直线x = a 对称a + b2、 f (a + x) + f (b -

15、x) = 2c y = f (x)的图象关于点(c, ) 对称2推论 1、 f (a + x) + f (a - x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称推论 2、 f (x) + f (2a - x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称推论 3、 f (-x) + f (2a + x) = 2b y = f (x)( , )的图象关于点 a b 对称例题分析：1设 f(x) (-,+)f (x + 2) = - f (x) ，当0 x 1时， f (x) = x ，则是上的奇函数，f (47.5)等于()（a）0.5（b）- 0.5

16、（c）1.5（d）-1.52、（山东）已知定义在r 上的奇函数 f (x) 满足f (x + 2) = - f (x)，则 f (6) 的值为（ ）a1b0c1d2(x)f (1)= 2, f (x +1) = f (x + 6), f (10).求3设 f是定义在r 上的奇函数，1(x)f (x + 2) =，若 _f (1)= -5 ，则 f f (5) =4函数 f对于任意实数 满足条件xf (x)5 (x)是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线x =1对称。r5已知 f（1）求 f（3）若 f(0)f (x)是周期函数；的值；（2）证明(x) = x(0 0 在1,3上的解集为()a

17、(1,3) b(1,1) c(1,0)(1,3) d(1,0)(0,1)解析：选 c f(x)的图像如图当 x(1,0)时，由 xf(x)0 得 x(1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x(1,3)故 x(1,0)(1,3)2设函数 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且对任意的xr 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x1 2 0,1时，f(x)1x，则：2 是函数 f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；1 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3. 2其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x2)f(

18、x)，则 yf(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；1 当1x0 时 0x1，f(x)f(x) 1x， 26 函数 yf(x)的图像如图所示：当 3x4 时，1x4 0)，2(1)+ f (4) = 0 a(1- 2) - 5 + a(4 - 2) - 5 = 0 a = 2，由 f得22(x) = 2(x - 2) - 5(1 x 4) f.2 y又知 y= f (x)(-1 x 1)是奇函数， f (0) = 0，= f (x) 0,1在f (x) = kx(0 x 1)上是一次函数，可设而 f k从而当(1)= 2(1- 2) - 5 = -3，2= -3，当0 x 1时， f (x)

19、 = -3x，-1 x 0时， f (x) = - f (-x) = -3x，故-1 x 1时， f (x) = -3x.4 x 6时，有 -1 x -5 1， f (x) = f (x -5) = -3(x -5) = -3x +15.6 x 9时，1 x -5 4当，(x) = f (x - 5) = 2(x - 5) - 2 - 5 = 2(x - 7) - 5 f22-3x +15, 4 x 6(x) = f.2(x - 7) -5, 6 010.已知 f，（1）判断的奇偶性；（2）证明：2 -1 2x-1，1y = f (x)是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 若11 、 定

20、 义 在上 的 函 数f af (a2 - a -1) + (4 - 5) 0，求实数a 的范围。-2 + bx(x) =12（重庆文）已知定义域为 的函数 f是奇函数。r2 + ax+1,bt rf (t - 2t) + f (2t - k) 0即（）由已知得23 234sin a =cos a =55b + c1+ cos acos a 1sin2+ cos 2a =+ cos 2a = 2 cos a +-222221641 59= 2 +- =6 分25 25 2 5031（）由（）知sin a = bcsin a = 3,b = 2,s52d abcc = 5 又q a = 6 +

21、c + 2bcos a2224a = 4 + 25 - 2 25 =1325a = 13 12 分3、.解：（1）由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.351 分=0.153 分3因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 b=2011 2等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c=从而 a=0.35-b-c=0.1=0.14 分6 分20所以 a=0.1 b=0.15c=0.1（ 2 ） 从 日 用 品 x , x , x , y , y 中 任 取 两 件 ， 所 有 可 能 结 果11),( x23, x2),( x( x, x, y

22、),( x1, y),12（x ,x ）,( x ,y ),(x ,y ),(x ,y )x ,y ),(y ,y )共 10 种， 9分31321设事件 a 表示“从日用品x ,x ,x ,y ,y 中任取两件，其等级系数相等”，则 a 包21231含的基本事件为(x ,x ),(x ,x ),(x ,x ),(y ,y )共 4 个，11 分2121312124故所求的概率 p(a)=0.412 分10pa 底面abc bc，底面abc，4、（）证明：因为所以 pa bc，ac bcpai ac = a， 所以 bc又因为，平面pac ，又因为 ah 平面pac

23、，所以 bc ah .pa = ac，ah pc ，因为又因为 pc i bc = c是pc 中点， 所以h，所以 ah 平面pbc . 6 分12 分（）s = 9p5、解：（1）显然直线的斜率存在且不为 0，设为 ，设的中点 ( , )pq r x ympk直线mp : y = kx -8与 = 8( + 8)联立解得： (8 ,8 -8)x2yp k k28 844同理：q(- ,-8) pq 的中点r(4k - ,4k + -8)2k k42kk2x = 4k -k, 轨迹方程： = 4 6 分x y24y = 4k+-82k2x2xx2x214x2x2（2）由y =得：y =，设d x( , ), ( , ), ( ,)(- ,则a x)0c xb x0242444012011 k = (x + x ) = x , + = 2x xx04212012bc11 b(2x - x , (2x - x ) ) k = (x - x )2440101ac1014又k =ab(x - x )则k = -kac则dac = dab d = d0112ab+ d = 2 | ad|又d则dac = dab = 45012dabc为直角三角