(完整版)实变函数论主要知识点

1、 实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和 de morgan 公式；上极限和下极限；( )( )；- b -c = a- b u c练习： 证明 a1 f a = u e f a + 证明 e；nn=12、 对等与基数的定义及性质；练习： 证明(0,1) : ?；证明(0,1) : 0,1；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： 证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；=q；0,1中有理数集 的相关结论；e4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练

2、习： (0,1) =；= p（p 为 cantor 集 ）； 第二章 点 集1、度量空间，n 维欧氏空间中有关概念度量空间(metric space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。设 v 是实数域 r 上的线性空间（或称为向量空间），若 v 上定义着正定对称双线性型 g（g 称为内积），则 v 称为（对于 g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当 v 是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g 是 v 上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（4）g(x,x)=0，而且 g(

3、x,x)=0当且仅当 x=0时成立。这里 x,y,z是 v 中任意向量，k 是任意实数。2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集 e，若在复平面上的一点 z 的任意邻域都有 e 的无穷多个点，则 称 z 为 e 的聚点。内点:如果存在点 p 的某个邻域 u(p)e，则称 p 为 e 的内点。3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、cantor 集的构造和性质；o=p =p =，5、练习： p，；111, ,l , ,l =；2n 第三章 测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；

4、2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、 零测度集的例子和性质；4、 可测集的例子和性质；=mp =练习： mq，；零测度集的任何子集仍为零测度集；有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；0,1中有理数集 e 的相关结论；5、存在不可测集合；第四章 可 测 函 数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习： 第四章习题 3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习： 第四章习题 7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收

5、敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子； 第五章 积 分 论1、非负简单函数 l 积分的定义；1练习： direchlet 函数在 上的 l 积分2、可测函数 l 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（5.4 定理 1 和定理 2 诸条）；3、lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、l 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、riemann 可积的充要条件；练习： 0,1上的 direchlet 函数不是 r-可积的；6、lebesgue 可积的充要条件：若 f 是可测集合 e 上的有界函数，则 f 在 e 上 l-可积 f在 e 上可测；练习： 0,1上的 direchl

6、et 函数是 l-可积的； , 为无理数3x x 0,1(x) =f (x)上是否 可积，r -可积，是否 l -设 f，则在10, x为有理数若可积，求出积分值。g = 2 sinq, g = cos 2q2例 1、求由曲线所围图形公共部分的面积 2 p 2 5 p解：两曲线的交点, , , 2 62 6 ( )121pps = 22 sinq2dq +cos 2qdq6042p6pp(1- cos 2q)dqcos 2qdq= +604p6pp121p3 -1= q -sin 2q6+ sin 2q4= -2620p6例 2.边长为 a 和 b(ab)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边 a 与液面平行位于深为 h 处,而 薄片与液面成a 角,已知液体的密度为 r ,求薄片所受的压力dx= a解:取 x 为积分变量,变化区间为h,h+bsina