概率论基础导数概念笔记0001

1、10 定义 、导数概念( 00 ) f / (x0) lim y x0 x x lim f(x) f(x 0) x x0 x x0 lim f(x 0 x) f(x 0) x0 f / (x) lim f(x x) f(x) x0 左导数 f-/(x) lim x 0- f(x 0 x) f(x 0)lim f(x) f(x 0) x x0 x-x0 右导数 f / (x) lim x0 f(x0 x) f(x 0) lim x x0 f(x) f(x 0) x-x0 f /(x0) A f-/(x0) f /(x0) A 可以证明： 可导连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。

2、 20 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 x0,y0 处切线： y y0 f / x0 x x0 xsinx 0 例 1：讨论 f(x)x 在 x=0 处可导性 0 x 0 解： lim f(x) lim xsin 1 0 f(0) x 0 x 0 x f(x) 在 x = 0 连续 f(x) -f(0) 1 lim lim s i n 不存在 x 0 x-0 x 0 x f(x) 在 x = 0 不可导 例 2：已知 f / (x0) 存在 lim h0 f(x 0 2h) -f(x 0 ) h 2f /(x0) im f(x0 5h) - f(x 0) 5f/(x0) f -/ (x

3、) lim f(x) f(x 0) x x0 x -x0 lim x x0 22 x x0 x-x0 lim f(x 0 3h) - f(x 0 - h) lim f(x0 3h) - f(x 0) f(x0 h) - f(x 0) lhim0hlhim0h h 4f /(x0) 例 3：设函数 f(x) 可微， 则lixm0f2(xxx)-f2(x) 2f(x)f /(x) 例 4： P63 例 2-5 2 xx x0 设 f(x) ax bx 0 为使 f(x) 在 x = x0 处可导， 应如何选取常数 a、 b 解：首先 f(x) 必须在 x0 连续 22 lim f(x) lim x

4、 ax b x0 x20 x x0-x x0- lim f(x) lim ax b ax0 b x x0 x x0 lim x x0 2x0 x x0 2 ax b- x0 lim x x0 x- x0 f/ (x) lim f(x) f(x0) x x0 x - x0 lim ax-ax0 a x x0 x -x0 由得) f /(x0) 存在 a 2x0 从而 b x02 例 5：f(x) = x (x-1)(x-2) (x-9) , 则f / 09! / f(x) -f(0) f (0) lim x 0 x -0 lim (x 1)(x 2) (x 9) 9 x0 例 6：设 (fx)

5、在 x = 0 领域内连续， lim f(x) x 0 1 x 1 则 f / (0) 1 f(0) lim f(x) 0 x0 分母 0) f/(0) lim f(x) - f(0) x 0 x-0 lim f(x ) x 0 x lim f(x) x 0 1 x -1 1 x 1 2 1 1 x2 例 7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 f / (0) b (a , b 0)， 问 f / (1) 存在否 ? 解：f /(1) lim f(1 x)-f(1) lim af( x)-af(0) x 0 x x 0 x lim x0 a f( x)-f(0) x af

6、/ (0) ab 、导数的求法 10 显函数导数 求一个显函数的导数需解决： 基本初等函数导数 (P64); 导数四则运算法则 (P65); 复合函数与反函数求导法则 (P66) 。 定理： u x 在 X 有导数 du ， dx y f u 在对应点 u 有导数 dy ， du 则复合函数 y f x 在 X 处也有导数， dy dy du f/ u / x 。 dx du dx 例 1： y xsin 2x2 1 求 y/ 解： y/ sin 2x2 1 x 4x cos 2x2 1 例 2： y ln 1 x2求 y/ 解： 12 / 1 2x x y ln1 x2y/ 2 2 1 x2

7、 1 x2 例 3： y arctg x求 y/ 解： / 1 1 y 1 x 2 x 例 4： 1 arctg y a x 1 解： / ya arctg 1 lna x lna 1x arctg 1 例 5： y ln3 2x 1求 y/ 解： / 2 2 y/ 3ln 2 2x 1 2x 1 例 6： y x x x求 y/ 解： / 1 1 1 y/1 1 2 x x x 2 x x 2 x 例 7： y xsinx求 y/ 解： y esinx lnxy/ xsinx sinx cosx lnx x x b a 例 8： y abxabx求 y/ 解： y/ablnabxlnbabx

8、a1bxlnbaxa1 e2x 例 9：y ln e2ex 1 解： y 12 lne2x lne2x 1 x 12ln e2x 1 y/ 2 2e2x e2x 1 1e 2x 高阶导数、二阶： d2y dx2 x x0 lim x0 f/ x0 x f / x0 x lim f/ x f / x0 解： dy df e2x de2x dxde2x dx f / e2x 2e2x lne2x 2e2x 4xe2x 先讲微分(后页) 20 隐函数导数参数方程导数 如方程 F(x，y)=0 确定了 y=y(x) ，只需方程两边对 x 求 导，注意 y=y(x) 例 10：求下列隐函数的导数 解：

9、方程两边对 x 求导， y/sinx ycosx sin x y 1 y/ 0 1）设 ysinx cos x y 0 求 y/ y / ycosx sin x y sin x y sinx 10 2)设y y x 是由方程 exy lnxy 1 0所确定的隐函数， 求 y/ 0 解： 由原方程知当 x=0 时， 1 y， e 方程两边对 x 求导。 exy y xy / y/1 y 1x 0 ，将 x=0 ， y 1 代入得： e 11 ey/ 0 1 0 y/ 0 1 ee (3) y y x 是由方程 ey xy e 所确定的隐函数 , 试求 y/ 0 , y/ 0 。 解: 方程两边对

10、 x 求导： eyy/ y xy/ 0 方程两边再对 x 求导： eyy/ ey y/ 2 2y/ xy / 0 由原方程知，当 x 0时， y 1，代入 得 y/(0)1 e 1 再将x 0， y 1，y/(0) 1代入式， e 得 y/ (0) 12 e 11 (4) x e2t 解： (5) 3 yt dy dy dt dx d2y dx2 3t2 dx 2e2t dt d dy dx dx 求 dy dx, 3t2e 2t 2 d dy dx dt dx dt 3t(1 t)e 4t 2 设 y y(x) 是由方程组 d2y dx2 3 2t 2 2t 1 32(2te2t e ) 2

11、e12t 2 x t 2t 3 y ey sint 1 0 所确定的函数， 12 求： dy dx 解： dx 2t 2 dt dy eycost e dt y sint dy 0 dt dy dt ey cost 1 ey sint dy dy dt ey cost dx dx 2(t 1)(1 ey sint) dt (6) P90 习题 13 1) 设f (x) 2a3 x 1 a sinx x0 x0 (a 0,a 1), x 0, 解：当 x 0, 求： f / (x) f / (x) 2lna a a / xcosx sinx f / (x)2 f / _(0) lim x0 f(

12、x) f (0) x0 lim x0 121 13 lim x 0 x 2x (a 1) 2 a2 ln a a si nx 1 f / (0) lim f (x) f(0) lim x 0 x x 0 x sinx x cosx 1 lim 2 lim 0 x 0 x2x 0 2x f / (0) f / (0) / / x 0 f / (0) 不存在，故 f /(x) x0 高阶导数( n 阶)略， 例 y x(2x 1)2(x 3)3 y(6) 4 6 ! 2) 设 f (x) 在( , )上具有二阶连续导数，且 f(0) 0， f (x) x 对函数 g(x) a x0 x0 (1)

13、确定 a的值，使 g(x)在( , )上连续 (2) 对( 1)中确定的 a，证明 g(x)在( , )上 一阶导数连续 解： a lim g(x) lim f(x) lim f(x) f(0) f /(0) x 0 x 0 x x 0 x 14 即当 a f / (0), y(x)在x 0连续， 也就是在( , )连续 f(x) f / (0) g/ (0) lim g(x) g(0) lim x x 0 x x 0 x f /(x) f /(x) f /(0) lim lim x 0 2x x 0 2 / xf /(x) f(x) 而 lim g (x) lim x 0 x 0 x2 li

14、m xf /(x) f/(x) f /(x) lim f/(0) g/ 0 x 0 2x x 0 2 2x g/ x 在 x 0连续,即在, 连续 三、 微分 y f(x) dy f / (x) x f /(x)dx 一阶微分形式不变 y f(u) dy f / (u)du ( u自变量) 如y f (u) u (x) dy f /(u) / (x)dx f (u)du ( u 中间变量 ) 例： 22 xx y e ，dy 2xe dx ， dy ex2 dx2 x2 2xex dx 可微 可导 15 三、中值定理，泰勒公式 （放入泰勒级数中讲） 1 罗尔定理 如 f x 满足： （1）在

15、a,b 连续 . （2）在 a,b 可导 . （3）f a f b 则至少存在一点 a,b 使f / 0 16 例 设 g x x x 1 2x 1 3x 1 ，则 在区间（ -1 ，0）内，方程 g/ x 0 有 2个实根；在（ -1 ，1）内g/ x 0有 2 个根 例 设 f x 在0 ，1 可导，且 f 0 f 1 0 ， 证明存在 0,1 ，使ff /0。 证： 设F x xf x 在a,b 可导， F 0 F1 存在0,1 使 F/0 即ff / 0 例 设f x 在0 ，1可导，且f 0 f 1 0, 证明存在 F F/ 0 。 解: 设Fx exf x ，且F 0 F1 由罗尔定理 存在 使F/ 0 即e fe f /0， 亦即ff / 0 17 例 P91 习题 29 设F x f x eg x 2、 拉格朗日中值定理 如 f x 满足：在 a,b 连续；在（ a,b ）连续， 则存在 a,b 使f b f a f / b a 。 推论： 如果在区